章末分層突破[自我校對]①回歸分析②相互獨立事件的概率③χ2公式④判斷兩變量的線性相關回歸分析問題建立回歸模型的步驟(1)確定研究對象，明確變量x，y.(2)畫出變量的散點圖，觀察它們之間的關系(如是否存在線性相關關系等).(3)由經驗確定回歸方程的類型(如我們觀察到數據呈線性相關關系，則選用回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))).(4)按一定規則估計回歸方程中的參數(如最小二乘法).(5)得出回歸方程.另外，回歸直線方程只適用于我們所研究的樣本的總體，而且一般都有時間性.樣本的取值范圍一般不能超過回歸直線方程的適用范圍，否則沒有實用價值.假設一個人從出生到死亡，在每個生日那天都測量身高，并作出這些數據散點圖，則這些點將不會落在一條直線上，但在一段時間內的增長數據有時可以用線性回歸來分析.下表是一位母親給兒子作的成長記錄：年齡/周歲3456789身高/cm年齡/周歲10111213141516身高/cm(1)作出這些數據的散點圖；(2)求出這些數據的線性回歸方程；(3)對于這個例子，你如何解釋回歸系數的含義？(4)解釋一下回歸系數與每年平均增長的身高之間的聯系.【精彩點撥】(1)作出散點圖，確定兩個變量是否線性相關；(2)求出a，b，寫出線性回歸方程；(3)回歸系數即b的值，是一個單位變化量；(4)根據線性回歸方程可找出其規律.【規范解答】(1)數據的散點圖如下：(2)用y表示身高，x表示年齡，因為eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,14)×(3＋4＋5＋…＋16)＝，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,14)×＋＋…＋＝132，eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,14,x)iyi－14\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\i\su(i＝1,14,x)\o\al(2,i)－14\o(x,\s\up6(－))2)≈eq\f(18993－14××132,1491－14×≈，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))＝，所以數據的線性回歸方程為y＝＋.(3)在該例中，回歸系數表示該人在一年中增加的高度.(4)回歸系數與每年平均增長的身高之間近似相等.[再練一題]1.假定小麥基本苗數x與成熟期有效穗Y之間存在相關關系，今測得5組數據如下：xY(1)以x為解釋變量，Y為預報變量，作出散點圖；(2)求Y與x之間的回歸方程，對于基本苗數預報有效穗.【解】(1)散點圖如下.(2)由圖看出，樣本點呈條狀分布，有比較好的線性相關關系，因此可以用回歸方程刻畫它們之間的關系.設回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，eq\x\to(x)＝，eq\x\to(y)＝，eq\i\su(i＝1,5,x)eq\o\al(2,i)＝5，eq\i\su(i＝1,5,y)eq\o\al(2,i)＝9.eq\x\to(x)eq\x\to(y)＝1，eq\x\to(y)2＝1，eq\x\to(x)2＝6，eq\i\su(i＝1,5,x)iyi＝6.由eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,5,x)iyi－5eq\x\to(x)eq\x\to(y),\i\su(i＝1,5,x)\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)≈，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝－×≈.故所求的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.當x＝時，eq\o(y,\s\up6(^))＝＋×＝.估計成熟期有效穗約為.獨立性檢驗獨立性檢驗的基本思想類似于反證法，要確認兩個分類變量有關系這一結論成立的可信程度，首先假設該結論不成立，即假設結論“兩個分類變量沒有關系”成立，在該假設下，我們構造的隨機變量χ2應該很小，如果由觀測數據計算得到的χ2的觀測值很大，則在一定程度上說明假設不合理，根據隨機變量χ2的含義，可以通過P(χ2>≈來評價假設不合理的程度，由實際計算出χ2>說明假設不合理的程度約為99%，即兩個分類變量有關系這一結論成立的可信程度為99%.獨立性檢驗的一般步驟：(1)根據樣本數據制成2×2列聯表.(2)根據公式χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)計算χ2的值.(3)比較χ2與臨界值的大小關系并作統計推斷.在某校高三年級一次全年級的大型考試中數學成績優秀和非優秀的學生中，物理、化學、總分也為優秀的人數如下表所示，則數學成績優秀與物理、化學、總分也優秀哪個關系較大？物理優秀化學優秀總分優秀數學優秀228225267數學非優秀14315699注：該年級此次考試中數學成績優秀的有360人，非優秀的有880人.【精彩點撥】分別列出數學與物理，數學與化學，數學與總分優秀的2×2列聯表，求k的值.由觀測值分析，得出結論.【規范解答】(1)列出數學與物理優秀的2×2列聯表如下：物理優秀物理非優秀合計數學優秀228132360數學非優秀143737880合計3718691240n11＝228，n12＝132，n21＝143，n22＝737，n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝371，n＋2＝869，n＝1240.代入公式χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)，得χ21＝eq\f(1240×228×737－132×1432,360×869×371×880)≈3.(2)列出數學與化學優秀的2×2列聯表如下：化學優秀化學非優秀合計數學優秀225135360數學非優秀156724880合計3818591240n11＝225，n12＝135，n21＝156，n22＝724，n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝381，n＋2＝859，n＝1240.代入公式，得χ22＝eq\f(1240×225×724－135×1562,360×880×381×859)≈2.(3)列出數學與總分優秀的2×2列聯表如下：總分優秀總分非優秀合計數學優秀26793360數學非優秀99781880合計3668741240n11＝267，n12＝93，n21＝99，n22＝781，n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝366，n＋2＝874，n＝1240.代入公式，得χ23＝eq\f(1240×267×781－93×992,360×880×366×874)≈5.由上面計算可知數學成績優秀與物理、化學、總分優秀都有關系，由計算分別得到χ2的統計量都大于臨界值，由此說明有99%的把握認為數學優秀與物理、化學、總分優秀都有關系，但與總分優秀關系最大，與物理次之.[再練一題]2.某推銷商為某保健藥品做廣告，在廣告中宣傳：“在服用該藥品的105人中有100人未患A疾病”.經調查發現，在不服用該藥品的418人中僅有18人患A疾病.請用所學知識分析該藥品對預防A疾病是否有效.【解】將問題中的數據寫成如下2×2列聯表：患A疾病不患A疾病合計服用該藥品5100105不服用該藥品18400418合計23500523將上述數據代入公式χ2＝eq\f(nn11n22－n12n212,n1＋n2＋n＋1n＋2)中，計算可得χ2≈4，因為4<，故沒有充分理由認為該保健藥品對預防A疾病有效.轉化與化歸思想在回歸分析中的應用回歸分析是對抽取的樣本進行分析，確定兩個變量的相關關系，并用一個變量的變化去推測另一個變量的變化.如果兩個變量非線性相關，我們可以通過對變量進行變換，轉化為線性相關問題.某商店各個時期的商品流通率Y(%)的商品零售額x(萬元)資料如下：xy64xy散點圖顯示出x與Y的變動關系為一條遞減的曲線.經濟理論和實際經驗都證明，流通率Y決定于商品的零售額x，體現著經營規模效益，假定它們之間存在關系式：y＝a＋eq\f(b,x).試根據上表數據，求出a與b的估計值，并估計商品零售額為30萬元的商品流通率.【規范解答】設u＝eq\f(1,x)，則y＝a＋bu，得下表數據：u30151y64u35624y由表中數據可得Y與u之間的回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－5＋u.所以所求的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－5＋eq\f,x).當x＝30時，y＝5，即商品零售額為30萬元時，商品流通率為5%.[再練一題]3.在某化學實驗中，測得如下表所示的6對數據，其中x(單位：min)表示化學反應進行的時間，Y(單位：mg)表示未轉化物質的質量.x/min123456Y/mg(1)設Y與x之間具有關系y＝cdx，試根據測量數據估計c和d的值(精確到；(2)估計化學反應進行到10min時未轉化物質的質量(精確到.【解】(1)在y＝cdx兩邊取自然對數，令lny＝z，lnc＝a，lnd＝b，則z＝a＋bx.由已知數據，得xi123456yizi由公式得eq\o(a,\s\up6(^))≈5，eq\o(b,\s\up6(^))≈－9，則線性回歸方程為eq\o(z,\s\up6(^))＝5－9x.而lnc＝5，lnd＝－9，故c≈，d≈，所以c，d的估計值分別為,.(2)當x＝10時，由(1)所得公式可得y≈(mg).1.為了解某社區居民的家庭年收入與年支出的關系，隨機調查了該社區5戶家庭，得到如下統計數據表：收入x(萬元)支出y(萬元)根據上表可得回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x).據此估計，該社區一戶年收入為15萬元家庭的年支出為()萬元 萬元萬元 萬元【解析】由題意知，eq\x\to(x)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝10，eq\x\to(y)＝eq\f＋＋＋＋,5)＝8，∴eq\o(a,\s\up6(^))＝8－×10＝，∴當x＝15時，eq\o(y,\s\up6(^))＝×15＋＝(萬元).【答案】B2.某人研究中學生的性別與成績、視力、智商、閱讀量這4個變量的關系，隨機抽查52名中學生，得到統計數據如表1至表4，則與性別有關聯的可能性最大的變量是()表1表2成績性別不及格及格總計男61420女102232總計163652視力性別好差總計男41620女122032總計163652表3表4智商性別偏高正?？傆嬆?1220女82432總計163652閱讀量性別豐富不豐富總計男14620女23032總計163652A.成績 B.視力C.智商 D.閱讀量【解析】A中，a＝6，b＝14，c＝10，d＝22，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，χ2＝eq\f(52×6×22－14×102,20×32×16×36)＝eq\f(13,1440).B中，a＝4，b＝16，c＝12，d＝20，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，χ2＝eq\f(52×4×20－16×122,20×32×16×36)＝eq\f(637,360).C中，a＝8，b＝12，c＝8，d＝24，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，χ2＝eq\f(52×8×24－12×82,20×32×16×36)＝eq\f(13,10).D中，a＝14，b＝6，c＝2，d＝30，a＋b＝20，c＋d＝32，a＋c＝16，b＋d＝36，n＝52，χ2＝eq\f(52×14×30－6×22,20×32×16×36)＝eq\f(3757,160).∵eq\f(13,1440)<eq\f(13,10)<eq\f(637,360)<eq\f(3757,160)，∴與性別有關聯的可能性最大的變量是閱讀量.【答案】D3.如圖3-1是我國2023年至2023年生活垃圾無害化處理量(單位：億噸)的折線圖.圖3-1(1)由折線圖看出，可用線性回歸模型擬合y與t的關系，請用相關系數加以說明；(2)建立y關于t的回歸方程(系數精確到，預測2023年我國生活垃圾無害化處理量.附注：參考數據：eq\i\su(i＝1,7,)yi＝，eq\i\su(i＝1,7,)tiyi＝，eq\r(eq\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝，eq\r(7)≈.參考公式：相關系數r＝eq\f(eq\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),\r(eq\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)2eq\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2))，回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))t中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(eq\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),eq\i\su(i＝1,n,)ti－\x\to(t)2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t).【解】(1)由折線圖中的數據和附注中的參考數據得eq\x\to(t)＝4，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))2＝28，eq\r(eq\i\su(i＝1,7,)yi－\x\to(y)2)＝，eq\i\su(i＝1,7,)(ti－eq\x\to(t))(yi－eq\x\to(y))＝eq\i\su(i＝1,7,)tiyi－eq\x\to(t)eq\i\su(i＝1,7,)yi＝－4×＝，∴r≈eq\f,×2×≈.因為y與t的相關系數近似為，說明y與t的線性相關程度相當大，從而可以用線性回歸模型擬合y與t的關系.(2)由eq\x\to(y)＝eq\f,7)≈及(1)得eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(eq\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)yi－\x\to(y),eq\i\su(i＝1,7,)ti－\x\to(t)2)＝eq\f,28)≈.eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(t)≈－×4≈.所以y關于t的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝＋.將2023年對應的t＝9代入回歸方程得eq\o(y,\s\up6(^))＝＋×9＝.所以預測2023年我國生活垃圾無害化處理量約為億噸.4.某地區2023年至2023年農村居民家庭人均純收入y(單位：千元)的數據如下表：年份2023202320232023202320232023年份代號t1234567人均純收入y(1)求y關于t的線性回歸方程；(2)利用(1)中的回歸方程，分析2023年至2023年該地區農村居民家庭人均純收入的變化情況，并預測該地區2023年農村居民家庭人均純收入.附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計公式分別為：eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))ti－\x\to(t)yi－\o(y,\s