上海市民立中學2021-2022學年高二數學理模擬試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.對兩個變量y和x進行回歸分析，得到一組樣本數據：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則下列說法中不正確的是()A．由樣本數據得到的回歸方程為＝x＋必過樣本點的中心(，)B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．用相關指數R2來刻畫回歸效果，R2的值越小，說明模型的擬合效果越好D．若變量y和x之間的相關系數r＝－0.9362，則變量y和x之間具有線性相關關系參考答案：C2.已知，（e是自然對數的底數），，則a，b，c的大小關系是A. B.C. D.參考答案：A【分析】由題，易知，構造函數，利用導函數求單調性，即可判斷出a、b、c的大小.【詳解】由題，，，所以構造函數當時，，所以函數在是遞增的，所以所以故選A3.函數的導函數是（）A. B.C. D.參考答案：D【分析】根據導數的公式即可得到結論．【詳解】解：由，得故選：D．【點睛】本題考查了導數的基本運算，屬基礎題．

4.如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點】異面直線及其所成的角．【分析】由AC∥A1C1，知∠C1A1B是異面直線A1B與AC所成角（或所成角的補角），由此能求出異面直線A1B與AC所成角的余弦值．【解答】解：連結BC1，∵AC∥A1C1，∴∠C1A1B是異面直線A1B與AC所成角（或所成角的補角），∵在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，∴AB=，，BC1==，A1C1=1，∴cos∠C1A1B===，∴異面直線A1B與AC所成角的余弦值為．故選：D．【點評】本題考查異面直線所成角的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．5.連擲兩次骰子得到的點數分別為和，記向量與向量的夾角為，則的概率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C略6.用反證法證明命題“三角形中最多只有一個內角是鈍角”時，結論的否定是（）A．沒有一個內角是鈍角 B．有兩個內角是鈍角C．有三個內角是鈍角 D．至少有兩個內角是鈍角參考答案：D【考點】2J：命題的否定．【分析】寫出命題“三角形中最多只有一個內角是鈍角”的結論的否定即可【解答】解：命題“三角形中最多只有一個內角是鈍角”的結論的否定是“至少有兩個內角是鈍角”故選D．【點評】本題考查命題的否定，命題中含有量詞最多，書寫否定是用的量詞是至少，注意積累這一類量詞的對應．7.將選項中所示的三角形繞直線l旋轉一周，可以得到下圖所示的幾何體的是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】由幾何體的軸截面特征直接判斷即可。【詳解】由題可得：該幾何體的軸截面是關于直線對稱的，并且的一側是選項B中的三角形形狀。故選：B【點睛】本題主要考查了空間思維能力及關于直線旋轉的幾何體特征，屬于基礎題。8.已知圓x2+y2﹣2x+6y=0，則該圓的圓心及半徑分別為（）A．（1，﹣3），﹣10 B．（1，﹣3）， C．（1，3），﹣10 D．（1，3），﹣參考答案：B【考點】圓的一般方程．【分析】利用圓的一般方程的性質能求出圓C：x2+y2﹣2x+6y=0的圓心和半徑．【解答】解：∵圓C：x2+y2﹣2x+6y=0，∴圓心坐標為（1，﹣3），半徑r==，故選B．9.已知集合，集合，則（

）A．

B.

C.

D.參考答案：C10.已知是橢圓的左焦點,是橢圓上的一點,軸,(為原點),則該橢圓的離心率是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知函數，當時，給出下列幾個結論：①；②；③;④當時，.其中正確的是

（將所有你認為正確的序號填在橫線上）．參考答案：③④12.已知，，試通過計算，，，的值，推測出＝___________參考答案：13.若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命題，則x的取值范圍是．參考答案：[1，2）【考點】元素與集合關系的判斷；四種命題的真假關系．【分析】原命題是假命題可轉化成它的否命題是真命題進行求解，求出滿足條件的x即可．【解答】解：若“x∈[2，5]或x∈{x|x＜1或x＞4}”是假命題則它的否命題為真命題即{x|x＜2或x＞5}且{x|1≤x≤4}是真命題所以的取值范圍是[1，2），故答案為[1，2）．14.已知Z是純虛數，是實數，（i是虛數單位），那么z=

．參考答案：﹣2i【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】設純虛數z=mi（m≠0），代入并整理，由虛部等于0求得m的值，則答案可求．【解答】解：設z=mi（m≠0），則=．∵是實數，∴2+m=0，m=﹣2．∴z=﹣2i．故答案為：﹣2i．15.已知數列{an}為，.若數列{an}為等差數列，則________.參考答案：試題分析：，兩邊同乘以x，則有，兩邊求導，左邊=，右邊=，即（*），對（*）式兩邊再求導，得取x=1，則有∴考點：數列的求和16.已知橢圓（），圓：，過橢圓上任一與頂點不重合的點引圓的兩條切線，切點分別為，直線與軸、軸分別交于點，則

．參考答案：．17.如圖,是從參加低碳生活知識競賽的學生中抽出60名，將其成績整理后畫出的頻率分布直方圖,則這些同學成績的中位數為_______.(保留一位小數)

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，Q是AD的中點．（1）若PA=PD，求證：平面PQB⊥平面PAD；（2）若平面APD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，在線段PC上是否存在點M，使二面角M﹣BQ﹣C的大小為60°．若存在，試確定點M的位置，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】與二面角有關的立體幾何綜合題；平面與平面垂直的判定．【分析】（1）由已知得PQ⊥AD，BQ⊥AD，由此能證明平面PQB⊥平面PAD．（2）以Q為坐標原點，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出存在點M為線段PC靠近P的三等分點滿足題意．【解答】（1）證明：∵PA=PD，Q為AD的中點，∴PQ⊥AD，又∵底面ABCD為菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，又PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，又∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（2）解：∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，∴PQ⊥平面ABCD，以Q為坐標原點，分別以QA，QB，QP為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖則Q（0，0，0），P（0，0，），B（0，，0），C（﹣2，，0）設，0＜λ＜1，則M（﹣2λ，，），平面CBQ的一個法向量=（0，0，1），設平面MBQ的法向量為=（x，y，z），由，得=（，0，），∵二面角M﹣BQ﹣C的大小為60°，∴cos60°=|cos＜＞|=||=，解得，∴=，∴存在點M為線段PC靠近P的三等分點滿足題意．【點評】本題考查平面與平面垂直的證明，考查滿足條件的點是否存在的判斷與證明，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．19.一個容量為M的樣本數據，其頻率分布表如表．分組頻數頻率（10，20]20.10（20，30]3

0.15（30，40]40.20（40，50]

5

0.25（50，60]40.20（60，70]20.10合計

201.00（Ⅰ）完成頻率分布表；（Ⅱ）畫出頻率分布直方圖；（Ⅲ）利用頻率分布直方圖，估計總體的眾數、中位數及平均數．參考答案：【考點】頻率分布表；頻率分布直方圖；眾數、中位數、平均數．【分析】（1）根據小組（10，20]的頻數與頻率，求出樣本容量，再求出各小組對應的數據，補充完整頻率分布表；（2）根據頻率分布表，畫出頻率分布直方圖；（3）根據頻率分布直方圖，求出眾數、平均數與中位數．【解答】解：（1）在小組（10，20]中，頻數是2，頻率是0.10，∴樣本數據為=20；∴小組（20，30]的頻率為=0.15；小組（40，50]的頻數為20﹣2﹣3﹣4﹣4﹣2=5，頻率為=0.25；頻數合計為20；由此補充頻率分布表如下：分組頻數頻率（10，20]20.10（20，30]30.15（30，40]40.20（40，50]50.25（50，60]40.20（60，70]20.10合計201.00（2）根據頻率分布表，畫出頻率分布直方圖如下：（3）根據頻率分布直方圖，得；圖中最高的小矩形的底邊中點坐標是=45，∴眾數為45；平均數為=15×0.1+25×0.15+35×0.20+45×0.25+55×0.20+65×0.10=41；∵0.10+0.15+0.20=0.45＜0.5，0.45+0.25=0.70＞0.5，令0.45+0.25×x=0.5，解得x=2，∴中位數為40+2=42．【點評】本題考查了頻率分布直方圖的應用問題，解題時應利用分布直方圖進行有關的運算，是基礎題目．20.（本題滿分14分)已知菱形ABCD的邊長為2，對角線AC與BD交于點O，且，E為BC中點，將此菱形沿對角線BD折成二面角A-BD-C.(1)求證:面AOC面BCD.(2)當二面角A-BD-C大小為時,求直線AE與面AOC所成角的余弦值參考答案：證明：∵四邊形ABCD為菱形∴對角線相互垂直平分由BDOA,BDOC

OA面AOC

OC面AOC∴BD面AOC又BD面BCD

∴面AOC面BCD……7′

由OABD

OCBD∴∠AOC就是二面角A-BD-C的平面角∴∠AOC=60

易得⊿AOC為正三角形，在菱形ABCD中由邊長為2，∠ABC=120易得OB=1，過E作EF∥OB交OC于F，則EF⊥OC∴EF⊥面AOC，連AF，∴∠EAF就是AE與面AOC所成的角，在Rt⊿AEF中，AF=

EF=

得AE=∴cos∠EAF=,∴AE與面AOC所成的角的余弦為.…………….14′21.已知橢圓的極坐標方程為,點,為其左右焦點.以極點為原點,極軸為軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線的參數方程為(為參