第三章概率3.1隨機事件的概率在自然界和實際生活中，我們會遇到各種各樣的現象．如果從結果能否預知的角度來看，可以分為兩大類：

另一類現象的結果是無法預知的，即在一定的條件下，出現那種結果是無法預先確定的，這類現象稱為隨機現象．

一類現象的結果總是確定的，即在一定的條件下，它所出現的結果是可以預知的，這類現象稱為確定性現象；我們來看下面的一些事件：（1）“導體通電時，發熱”；（2）“拋一塊石頭，下落”；（3）“標準大氣壓下且溫度低于0℃時，冰融化”；（4）“海南七月下雪”；（5）“某人射擊一次，中靶”；（6）“擲一枚硬幣，出現正面”。上面事件發生與否，各有什么特點？一.隨機事件:在一定條件S下,一定會發生的事件,叫做相對于條件S的必然事件,簡稱必然事件.在一定條件S下,一定不會發生的事件，叫做相對于條件S的不可能事件,簡稱不可能事件.在一定條件S下可能發生也可能不發生的事件，叫做相對于條件S的隨機事件；簡稱隨機事件.注意：隨機事件要搞清楚什么是隨機事件的條件和結果。

事件的結果是相應于“一定條件而言的。因此，要弄清某一隨機事件必須明確何為事件發生的條件，何為在此條件下產生的結果。

必然事件和不可能事件統稱確定事件。確定事件和隨機事件統稱為事件,一般用大寫字母A,B,C……表示.

例1:指出下列事件是必然事件，不可能事件，還是隨機事件?(1)某同學競選學生會主席的成功性；（2）當x是實數時，x2≥0;（3）技術充分發達后,不需要任何能量的“永動機”將會出現；（4）一個電影院某天的上座率超過50%.（5）某人給朋友打電話，卻忘記了電話號碼的最后一個數，就隨意的按了一個數字，剛好是朋友的電話號碼。二.概率的定義: 對于隨機事件,知道它發生的可能性大小是非常重要的.用概率度量隨機事件發生的可能性大小能為我們的決策提供關鍵性的依據.那么,如何才能獲得隨機事件發生的概率呢? 必然事件發生的概率為1;不可能事件發生的概率為0;隨機事件發生的概率P(A)∈(0,1).1.擲硬幣試驗:第一步:……第二步:……第三步:……第四步:請把全班每個同學的試驗中正面朝上的次數收集起來,并用條形圖表示.正面出現次數的頻數表第五步:請同學們找出擲硬幣時“正面朝上”這個事件發生的規律性.

隨著試驗次數的增加,正面朝上的頻率穩定于0.5附近.★頻數與頻率： 在相同的條件S下重復n次試驗，觀察某一事件A是否出現，稱n次試驗中事件A出現的次數nA為事件A出現的頻數； 稱事件A出現的比例fn(A)=為事件A出現的頻率.頻率的取值范圍是[0,1].2.由特殊的事件轉到一般事件: 一般說來,隨機事件A在每次試驗中是否發生是不能預知的,但是在大量重復試驗后,隨著試驗次數的增加,事件A發生的頻率會逐漸穩定在區間[0,1]中的一個常數上.3.解釋這個常數代表的意義: 這個常數越接近于1,表明事件A發生的頻率越大,頻數就越多,也就是它發生的可能性越大;反過來,事件發生的可能性越小,頻數就越少,頻率就越小,這個常數也就越小. 因此,我們可以用這個常數來度量事件A發生的可能性的大小. 對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率fn(A)穩定在某個常數上，把這個常數記作P（A），稱為事件A的概率。因此,可以用頻率fn(A)來估計概率P（A）.頻率與概率的區別與聯系：

(1)頻率是概率的近似值,隨著試驗次數的增加,頻率會越來越接近概率.在實際問題中,通常事件的概率未知,常用頻率作為它的近似值.

(2)頻率本身是隨機的,在試驗前不能確定.

(3)概率是一個確定的數,是客觀存在的,與每次試驗無關. 比如一輛汽車在一年內出交通事故的概率就是未知的,保險公司收取汽車的保險費就與此概率有關,一般以當地交通部門的統計數據為依據,得到該事件發生的頻率作為一年內出交通事故的概率的估計值.做同樣次數的重復試驗得到事件的頻率會不同,比如全班每人做了10次擲硬幣的試驗,但得到正面朝上的頻率可以是不同的. 比如,如果一個硬幣是質地均勻的,則擲硬幣出現正面朝上的概率就是0.5,與做多少次試驗無關.注意以下幾點：

（1）求一個事件的概率的基本方法是通過大量的重復試驗；

（3）概率是頻率的穩定值，而頻率是概率的近似值；（2）只有當頻率在某個常數附近擺動時，這個常數才叫做事件的概率；（4）概率反映了隨機事件發生的可能性的大小；（5）必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0．因此．

三.求隨機事件概率的必要性: 知道事件的概率可以為人們做決策提供依據.

概率是用來度量事件發生可能性大小的量.小概率事件很少發生,而大概率事件經常發生.例如天氣預報報道“今天降水的概率是10%”,可能絕大多數人出門都不會帶雨具;而如果天氣預報報道“今天降水的概率是90%”,那么大多數人出門都會帶雨具.例1盒中裝有4個白球5個黑球，從中任意的取出一個球。

（1）“取出的是黃球”是什么事件？概率是多少？

（2）“取出的是白球”是什么事件？概率是多少？

（3）“取出的是白球或者是黑球”是什么事件？概率是多少？是不可能事件，概率是0是隨機事件，概率是4/9是必然事件，概率是1例2某射擊手在同一條件下進行射擊，結果如下表所示：射擊次數n102050100200500擊中靶心次數m9194592178455擊中靶心的頻率（1）填寫表中擊中靶心的頻率；（2）這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是什么？0.920.900.950.900.910.89解（2）由于頻率穩定在常數0.90，所以這個射手射擊一次，擊中靶心的概率約是0.90。 小結：概率實際上是頻率的科學抽象，求某事件的概率可以通過求該事件的頻率而估計。例3某人進行打靶練習，共射擊10次，其中有2次中10環，有3次中9環，有4次中8環，有1次未中靶，則此人中靶的概率大約是________，假設此人射擊1次，試問中靶的概率約為______,中10環的概率約為_________.0.90.90.2課堂練習：1．將一枚硬幣向上拋擲10次，其中正面向上恰有5次是（）

A．必然事件B．隨機事件

C．不可能事件D．無法確定2．下列說法正確的是（）

A．任一事件的概率總在（0.1）內

B．不可能事件的概率不一定為0 C．必然事件的概率一定為1D．以上均不對BC

課堂小結1.隨機事件;2.頻數和頻率;3.概率;4.頻率與概率的區別與聯系.3.1.2概率的意義3.〖教學情境設計〗

[復習回顧]你能回憶一下隨機事件發生的概率的定義嗎? 對于給定的隨機事件A，如果隨著試驗次數的增加，事件A發生的頻率fn(A)穩定在某個常數上，把這個常數記作P（A），稱為事件A的概率。1.概率的正確理解:

〖思考1〗有人說,既然拋擲一枚硬幣出現正面的概率為0.5,那么連續兩次拋擲一枚質地均勻的硬幣,一定是一次正面朝上,一次反面朝上,你認為這種想法正確嗎?做做試驗試試看. 點評:這種想法是錯誤的.因為連續兩次拋擲一枚質地均勻的硬幣僅僅是做兩次重復的試驗,試驗的結果仍然是隨機的,當然可以兩次均出現正面朝上或兩次均出現反面朝上.

〖思考2〗連續兩次拋擲一枚質地均勻的硬幣,你能說說:兩次均正面朝上、一次正面朝上,一次反面朝上、兩次均反面朝上的概率分別是多少嗎? 因為連續兩次拋擲一枚質地均勻的硬幣,可能出現的結果有四種:正正、正反、反正、反反.所以P(兩次均正面朝上)=0.25; P(兩次均反面朝上)=0.25; P(一次正面朝上,一次反面朝上)=0.5.

〖思考3〗做連續拋擲兩枚質地均勻的硬幣100次,預測一下“兩個正面朝上”、“一個正面朝上,一個反面朝上”、“兩個反面朝上”大約各出現多少次? 因為同時拋擲兩枚質地均勻的硬幣,可能出現的結果有四種:正正、正反、反正、反反.所以P(兩個均正面朝上)=0.25; P(兩個均反面朝上)=0.25; P(一個正面朝上,一個反面朝上)=0.5.

做連續拋擲兩枚質地均勻的硬幣100次,可以預見“兩個正面朝上”大約出現25次、“一個正面朝上,一個反面朝上”大約出現50次、“兩個反面朝上”大約出現25次.出現“一個正面朝上,一個反面朝上”的機會要大.歸納小結:

隨機事件在一次試驗中發生與否是隨機的,但隨機中含有規律性.認識了這種隨機性中的規律性,就能使我們比較準確地預測隨機事件發生的可能性. 例如:把同樣大小的9個白色乒乓球和1個黃色乒乓球放在一個不透明的袋子中,每次摸出1球后放回袋中,這樣摸10次, (1)每次摸到白球的可能性大還是黃球的可能性大? (2)摸的10次中是否一定至少有1次摸到黃球? 點評:每次摸到白球的概率是0.9,而每次摸到黃球的概率為0.1,因此每次摸到白球的可能性要大.

盡管每次摸到黃球的概率為0.1,但摸10次球,不一定能摸到黃球.

〖思考4〗如果某種彩票的中獎率為,那么買1000張這種彩票一定能中獎嗎?(假設該彩票有足夠多的張數.)請用概率的意義解釋. 點評:不一定.因為每張彩票是否中獎是隨機的,1000張彩票有幾張中獎也是隨機的.這就是說,每張彩票既可能中獎也可能不中獎,因此1000張彩票中可能沒有一張中獎,也可能有一張、兩張乃至多張中獎. 雖然中獎張數是隨機的,但這種隨機性中具有規律性.即隨著所買彩票張數的增加,其中中獎彩票所占的比例可能越接近于1/1000.2.游戲的公平性: 在各類游戲中,如果每人獲勝的概率相等,那么游戲就是公平的.這就是說,是否公平只要看獲勝的概率是否相等. 例:在一場乒乓球比賽前，裁判員利用抽簽器來決定由誰先發球，請用概率的知識解釋其公平性. 解：這個規則是公平的，因為抽簽上拋后，紅圈朝上與綠圈朝上的概率均是0.5，因此任何一名運動員猜中的概率都是0.5，也就是每個運動員取得先發球權的概率都是0.5。 小結：事實上，只要能使兩個運動員取得先發球權的概率都是0.5的規則都是公平的。3.決策中的概率思想:

〖思考1〗連續擲硬幣100次,結果100次全部是正面朝上,出現這樣的結果,你會怎樣想?如果有51次正面朝上,你又會怎樣想?

〖思考2〗如果一個袋中或者有99個紅球,1個白球,或者有99個白球,1個紅球,事先不知道到底是哪種情況.一個人從袋中隨機摸出1球,結果發現是紅球,你認為這個袋中是有99個紅球,1個白球,還是有99個白球,1個紅球呢?

〖思考3〗如果連續10次擲一枚正方體骰子,結果都是出現1點.你認為這枚骰子的質地均勻嗎?為什么? 點評:如果這枚骰子是均勻的,那么擲一次出現1點的概率是, 連續擲10次出現1點的概率為 這在一次試驗(即連續10投擲一枚骰子)中是幾乎不可能發生的.而當骰子不均勻時,特別是當6點的那面比較重時(例如灌了鉛或水銀),會使出現1點的概率最大,更有可能連續10次出現1點.因此我們可以判斷這枚骰子的質地不均勻.擲一枚骰子的模擬極大似然法

-------如果我們面臨的是從多個可選答案中挑選正確答案的決策任務,那么“使得樣本出現的可能性最大”可以作為決策的準則,這種判斷問題的方法稱為極大似然法.

極大似然法是統計中重要的統計思想方法之一.4.天氣預報的概率解釋:

〖思考〗某地氣象局預報說,明天本地降水概率為70%,你認為下面兩個解釋中哪一個代表氣象局的觀點? (1)明天本地有70%的區域下雨,30%的區域不下雨; (2)明天本地下雨的機會是70%.√ 天氣預報是氣象專家根據觀測到的氣象資料和專家們的實際經驗,經過分析推斷得到的.它不是本書上定義的概率,而是主觀概率的一種. 例:生活中，我們經常聽到這樣的議論：“天氣預報說昨天降水概率為90%，結果根本一點雨都沒下，天氣預報也太不準確了。”學了概率后，你能給出解釋嗎？ 解：天氣預報的“降水”是一個隨機事件，概率為90%指明了“降水”這個隨機事件發生的概率，我們知道：在一次試驗中，概率為90%的事件也可能不出現，因此，“昨天沒有下雨”并不說明“昨天的降水概率為90%”的天氣預報是錯誤的。5.試驗與發現(P110)6.遺傳機理中的統計規律(P110) 課堂小結 概率是一門研究現實世界中廣泛存在的隨機現象的科學，正確理解概率的意義是認識、理解現實生活中有關概率的實例的關鍵，學習過程中應有意識形成概率意識，并用這種意識來理解現實世界，主動參與對事件發生的概率的感受和探索。作業:課本P111頁T2,T3.課本P117頁T6.3.1.3概率的基本性質〖教學情境設計〗

(1)集合有相等、包含關系,如{1，3}={3，1},{2，4}{2，3，4，5}等；

(2)在擲骰子試驗中，可以定義許多事件如：C1={出現1點}，C2={出現2點}，C3={出現1點或2點}，C4={出現的點數為偶數}……

觀察上例，類比集合與集合的關系、運算，你能發現事件的關系與運算嗎？1.事件的關系與運算事件的關系與運算條件符號事件B包含事件A事件的相等并事件(或和事件)交事件(或積事件)如果事件A發生,那么事件B一定發生如果事件A發生,那么事件B一定發生,反過來也對.A=B某事件發生當且僅當事件A發生或事件B發生.A∪B(或A+B)某事件發生當且僅當事件A發生且事件B發生.A∩B(或AB)事件的關系與運算條件含義互斥事件對立事件A∩B為不可能事件(A∩B=)事件A與事件B在任何一次試驗中不會同時發生.A∩B為不可能事件,A∪B為必然事件.事件A與事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發生.3.例題分析： 例1一個射手進行一次射擊,試判斷下列事件哪些是互斥事件?哪些是對立事件?事件A：命中環數大于7環；事件B：命中環數為10環；事件C：命中環數小于6環；事件D：命中環數為6、7、8、9、10環. 分析：要判斷所給事件是對立還是互斥，首先將兩個概念的聯系與區別弄清楚，互斥事件是指不可能同時發生的兩事件，而對立事件是建立在互斥事件的基礎上，兩個事件中一個不發生，另一個必發生。解:互斥事件有:A和C、B和C、C和D.

對立事件有:C和D.練習：從1，2，…，9中任取兩個數，其中（1）恰有一個是偶數和恰有一個是奇數；

（2）至少有一個是奇數和兩個數都是奇數；（3）至少有一個奇數和兩個都是偶數；

（4）至少有一個偶數和至少有一個奇數。

在上述事件中是對立事件的是（

）

A.(1)B.(2)(4)C.(3)D.(1)(3)C練習：判斷下列給出的每對事件，是否為互斥事件，是否為對立事件，并說明理由。

從40張撲克牌（紅桃，黑桃，方塊，梅花點數從1-10各10張）中，任取一張。

（1）“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；

（2）“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；

（3）“抽出的牌點數為5的倍數”與“抽出的牌點數大于9”。是互斥事件，不是對立事件既是互斥事件，又是對立事件不是互斥事件，也不是對立事件2.概率的幾個基本性質:(1)任何事件的概率在0~1之間,即0≤P(A)≤1(2)必然事件的概率為1,即P(Ω)=1(3)不可能事件的概率為0,即(4)如果事件A與事件B互斥,則

P(A∪B)=P(A)+P(B)(5)如果事件B與事件A是互為對立事件,則

P(B)=1-P(A)例2如果從不包括大小王的52張撲克牌中隨機抽取一張，那么取到紅心（事件A）的概率是0.25，取到方塊（事件B）的概率是0.25，問：（1）取到紅色牌（事件C）的概率是多少？（2）取到黑色牌（事件D）的概率是多少？ 分析：事件C=A∪B，且A與B互斥，因此可用互斥事件的概率和公式求解，事件C與事件D是對立事件，因此P(D)=1-P(C)．解:(1)P(C)=P(A)+P(B)=0.25+0.25=0.5;(2)P(D)=1-P(C)=1-0.5=0.5.

例3甲，乙兩人下棋，和棋的概率為1/2，乙獲勝的概率為1/3，求：（1）甲獲勝的概率；（2）甲不輸的概率。分析：甲乙兩人下棋，其結果有甲勝，和棋，乙勝三種，它們是互斥事件。解（1）“甲獲勝”是“和棋或乙勝”的對立事件，所以甲獲勝的概率是P=1-1/2-1/3=1/6。（2）解法1，“甲不輸”看作是“甲勝”，“和棋”這兩個事件的并事件所以P=1/6+1/2=2/3。解法2，“甲不輸”看作是“乙勝”的對立事件，P=1-1/3=2/3。練習某射手射擊一次射中10環，9環，8環，7環的概率是0.24，0.28，0.19，0.16，計算這名射手射擊一次

（1）射中10環或9環的概率；

（2）至少射中7環的概率。（1）P（A∪B）=P（A）+P（B）=0.24+0.28=0.52。（2）因為它們是互斥事件，所以至少射中7環的概率是0.24+0.28+0.19+0.16=0.87練習：某地區的年降水量在下列范圍內的概率如下表所示：

年降水量（mm)[100,150)[150,200)[200,250)[250,300)概率0.12