2021-2022學年江西省九江市湖口中學高二數學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.四棱錐的底面為菱形，側棱與底面垂直，則側棱與菱形對角線的關系是（）．A．平行 B．相交不垂直C．異面垂直 D．相交垂直參考答案：C∵底面，平面，∴，又∵底面為菱形，∴，∴平面，∴，又，異面，所以側棱與的關系是異面垂直，故選．2.已知等比數列中有，數列是等差數列，且，則A.2

B.4

C.8

D.16參考答案：C略3.在坐標平面上，不等式組所表示的平面區域的面積為（）A． B． C． D．2參考答案：B【考點】二元一次不等式（組）與平面區域．【分析】作出不等式組對應的平面區域，根據對應圖形，求出對應的面積即可．【解答】解：作出不等式組對應的平面區域，則A（0，1），A到直線y=x﹣1，即x﹣y﹣1=0的距離d=，由得，即C（，﹣），由，得，即B（﹣1，﹣2），則|BC|==，則△ABC的面積S==，故選：B4.已知=（i為虛數單位），則復數z=（）A. B. C. D.參考答案：D試題分析：由，得，故選D.考點：復數的運算.5.如圖是無上底的幾何體的三視圖，其中正視圖和側視圖是全等的圖形，外邊界是矩形，它的底邊長為4，寬為3，俯視圖是半徑為2的圓，求該幾何體的表面積和體積．參考答案：考點：由三視圖求面積、體積．專題：空間位置關系與距離．分析：由三視圖由兩部分組成，上面是一個圓柱里面挖取一個倒立的圓錐，下面是一個圓柱．利用表面積與體積計算公式即可得出．解答： 解：由三視圖由兩部分組成，上面是一個圓柱里面挖取一個倒立的圓錐，下面是一個圓柱．其表面積S=π×22+2π×2×3+=；體積V==．點評：本題考查了圓錐與圓柱的表面積與體積計算公式，屬于基礎題．6.雙曲線的虛軸長是（）A．2 B． C． D．8參考答案：B【考點】雙曲線的簡單性質．【分析】根據題意，由雙曲線的標準方程可得b的值，進而由虛軸長為2b，計算可得答案．【解答】解：根據題意，雙曲線的標準方程為，則其中b==2，則虛軸的長2b=4；故選：B．7.如圖，幾何體的正視圖和側視圖都正確的是（）A． B． C． D．參考答案：B【考點】簡單空間圖形的三視圖．【分析】通過簡單幾何體的三視圖的畫法法則，直接判斷四個選項的正誤，即可推出結論．【解答】解：側視圖中，看到一個矩形且不能有實對角線，故A、D排除，

而正視圖中，應該有一條實對角線，且其對角線位置應為B中所示．故選B【點評】本題考查三視圖的畫出法則，做到看得見的為實線，看不到的為虛線，注意排除法，在選擇題中的應用，有時起到事半功倍的效果．8.函數，若，則，大小關系是A．

B．C． D．無法確定參考答案：A9.經過兩點（3，9）、（﹣1，1）的直線在x軸上的截距為(

)A． B． C． D．2參考答案：A【考點】直線的截距式方程；直線的兩點式方程．【專題】計算題．【分析】先由兩點式求方程，再令y=0，我們就可以求出經過兩點（3，9）、（﹣1，1）的直線在x軸上的截距【解答】解：由兩點式可得：即2x﹣y+3=0令y=0，可得x=∴經過兩點（3，9）、（﹣1，1）的直線在x軸上的截距為故選A．【點評】直線在x軸上的截距，就是直線與x軸交點的橫坐標，它不同于距離，可以是正數、負數與0．10.已知點F1、F2分別是橢圓的左、右焦點，過F1且垂直于x軸的直線與橢圓交于M、N兩點，若△MNF2為等腰直角三角形，則該橢圓的離心率e為（）A． B． C． D．參考答案：C【考點】橢圓的簡單性質．【分析】把x=﹣c代入橢圓，解得y=±．由于△MNF2為等腰直角三角形，可得=2c，由離心率公式化簡整理即可得出．【解答】解：把x=﹣c代入橢圓方程，解得y=±，∵△MNF2為等腰直角三角形，∴=2c，即a2﹣c2=2ac，由e=，化為e2+2e﹣1=0，0＜e＜1．解得e=﹣1+．故選C．【點評】本題考查了橢圓的標準方程及其性質：離心率、等腰直角三角形的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知圓C的方程是x2+y2﹣4x=0，直線l：ax﹣y﹣4a+2=0（a∈R）與圓C相交于M、N兩點，設P（4，2），則|PM|+|PN|的取值范圍是

．參考答案：（4，4]

【考點】直線與圓的位置關系．【分析】把直線l的參數方程代入x2+y2﹣4x=0，可得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，利用△＞0，可得sinαcosα＞0，α∈（0，），利用根與系數的好像可得|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4sin（α+），即可得出．【解答】解：把直線l的參數方程，代入x2+y2﹣4x=0，可得t2+4（sinα+cosα）t+4=0，由△=16（sinα+cosα）2﹣16＞0，sinαcosα＞0，又α∈[0，π），∴α∈（0，），∴t1+t2=﹣4（sinα+cosα），t1t2=4．∴t1＜0，t2＜0．∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4（sinα+cosα）=4sin（α+），由α∈（0，），可得α+∈（，），∴＜sin（α+）≤1，∴|PM|+|PN|的取值范圍是（4，4]．故答案為（4，4]．【點評】本題考查了直線參數方程的運用、兩角和差的正弦公式、三角函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．12.已知實數x，y滿足不等式組則的最大值是_____．參考答案：6【分析】作出不等式組對應的平面區域，設z＝2x﹣y，利用目標函數的幾何意義，利用數形結合確定z的最大值．【詳解】設z＝2x﹣y，則y＝2x﹣z，作出不等式對應的平面區域（陰影部分）如圖：平移直線y＝2x﹣z，由圖象可知當直線y＝2x﹣z經過點C（3，0）時，直線y＝2x﹣z的截距最小，此時z最大．z的最大值為z＝2×3＝6，．故答案為：6【點睛】本題主要考查線性規劃的應用，利用目標函數的幾何意義，結合數形結合的數學思想是解決此類問題的基本方法．13.將函數的圖像繞軸旋轉一周所形成的幾何體的體積為__________.

參考答案：14.已知空間三點的坐標為，，，若三點共線，則，參考答案：，15.已知是純虛數，是實數，那么

.參考答案：16.若不等式對任意的均成立，則實數的取值范圍是

.參考答案：17.已知向量＝（1，2），＝（－2，x），若（3＋）∥（3－）則實數x的值為

．參考答案：－4三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.我國是世界上嚴重缺水的國家之一，城市缺水問題較為突出．某市政府為了鼓勵居民節約用水，計劃調整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x（噸），一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費．為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位居民每人的月均用水量（單位：噸），將數據按照[0，0.5），[0.5，1），…，[4，4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求直方圖中a的值；（2）若該市有110萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于3噸的人數，請說明理由；（3）估計居民月均用水量的中位數（精確到0.01）參考答案：【考點】頻率分布直方圖．【分析】（1）由各組頻率和為1，列出方程求出a的值；（2）由題意計算不低于3噸的頻率與頻數即可；（3）利用中位數兩邊的頻率相等，列出方程求出中位數的值．【解答】解：（1）由概率統計相關知識，各組頻率之和的值為1，得0.5×（0.08+0.16+0.3+a+0.52+0.3+0.12+0.08+0.04）=1，解得a=0.4；（2）由題中統計圖可得，不低于3噸的人數所占比例為0.5×（0.12+0.08+0.04）=12%，∴全市月均用水量不低于3噸的人數為110×0.12=13.2（萬）；（3）設中位數為x，則有0.5×（0.08+0.16+0.3+0.4）+0.52×（x﹣2）=0.5，解得x≈2.06，估計中位數是2.06．19.近年來我國電子商務行業迎來篷布發展的新機遇，2015年雙11期間，某購物平臺的銷售業績高達918億人民幣．與此同時，相關管理部門也推出了針對電商的商品和服務的評價體系．現從評價系統中選出200次成功的交易，并對其評價進行統計，對商品的好評率為，對服務的好評率為，其中對商品和服務都做出好評的交易為80次．（1）是否可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認為商品好評與服務好評有關？（2）若針對商品的好評率，采用分層抽樣的方式從這200次交易中取出5次交易，并從中選擇兩次交易進行客戶回訪，求只有一次好評的概率．P（K2≥k）0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（，其中n=a+b+c+d）參考答案：【考點】獨立性檢驗的應用；列舉法計算基本事件數及事件發生的概率．【分析】（1）由已知列出關于商品和服務評價的2×2列聯表，代入公式求得k2的值，對應數表得答案；（2）采用分層抽樣的方式從這200次交易中取出5次交易，則好評的交易次數為3次，不滿意的次數為2次，利用枚舉法得到從5次交易中，取出2次的所有取法，查出其中只有一次好評的情況數，然后利用古典概型概率計算公式求得只有一次好評的概率．【解答】解：（1）由題意可得關于商品和服務評價的2×2列聯表：

對服務好評對服務不滿意合計對商品好評8040120對商品不滿意701080合計15050200得，可以在犯錯誤概率不超過0.1%的前提下，認為商品好評與服務好評有關．（2）若針對商品的好評率，采用分層抽樣的方式從這200次交易中取出5次交易，則好評的交易次數為3次，不滿意的次數為2次，令好評的交易為A，B，C，不滿意的交易為a，b，從5次交易中，取出2次的所有取法為（A，B）、（A，C）、（A，a）、（A，b）、（B，C）、（B，a）、（B，b）、（C，a）、（C，b）、（a，b），共計10種情況，其中只有一次好評的情況是（A，a）、（A，b）、（B，a）、（B，b）、（C，a）、（C，b），共計6種，因此，只有一次好評的概率為．20.（13分）從某節能燈生產線上隨機抽取100件產品進行壽命試驗，按連續使用時間（單位：天）共分5組，得到頻率分布直方圖如圖．（1）請根據頻率分布直方圖，估算樣本數據的眾數和中位數（中位數精確到0.01）；（2）若將頻率視為概率，從該生產線所生產的產品（數量很多）中隨機抽取3個，用ξ表示連續使用壽命高于350天的產品件數，求ξ的分布列和期望．參考答案：21.求證：.參考答案：證明見解析【分析】利用分析法證明不等式；【詳解】證明：要證，只要證，即證即證即證，即證，顯然成立，故，得證【點睛】本題考查分析法證明不等式，屬于基礎題．

22.(滿分12分)設函數。（Ⅰ）若在定義域內存在，而使得不等式能成立，求實數的最小值；（Ⅱ）若函數在區間上恰有兩個不同的零點，求實數的取值范圍。參考答案：解：(Ⅰ)要使得