小波變換課件雙正交小波第一頁，共四十五頁，2022年，8月28日正交小波的性質對稱性（√），緊支撐（×）對稱性（×），緊支撐（√）對稱性（√），緊支撐（√）光滑性（×）→Harr小波緊支撐且線性相位(對稱性)？雙正交小波！第二頁，共四十五頁，2022年，8月28日5.1濾波器的相位特性在線性系統理論中,濾波器的傳遞函數可表達為

為幅頻特性，為相頻特性。如果可以表示為

式中α和β為常數，那么稱為具有線性相位特性第三頁，共四十五頁，2022年，8月28日輸出信號的相位特性，除了常數β外，與延時為α的輸入信號的相位特性完全一致hf(x)g(x)第四頁，共四十五頁，2022年，8月28日當濾波器具有線性相位特性時,輸出信號將不產生相位畸變。這一點對圖像信號十分重要，因為視覺對于相位畸變非常敏感

線性相位，振幅畸變非線性相位，振幅無畸變濾波器如何具有線性相位特性？

第五頁，共四十五頁，2022年，8月28日定理5.1

濾波器具有線性相位的必要與充分條件是它的脈沖響應函數具有如下關于的共軛對稱性：證明：必要性：

……

充分性：第六頁，共四十五頁，2022年，8月28日推論5.1如果限定脈沖響應為實函數，那么由式(5.1.3)可知，這時必為實數,即

所以實脈沖響函數具有線性相位的必要與充分條件是任何實值脈沖響應的數字濾波器具有線性相位的必充條件是第七頁，共四十五頁，2022年，8月28日正交小波：緊支撐＋線性相位？定理5.2

緊支撐正交小波，除Haar小波之外，不可能是線性相位的。第八頁，共四十五頁，2022年，8月28日5.2雙正交小波的基本性質如果有兩對函數與，其中，尺度函數和分別生成MRA和MRA，而和則分別張成在下述意義上的補空間和：

并且它們之間還滿足如下正交關系：

那么這兩對函數稱為互為對偶的雙正交小波。第九頁，共四十五頁，2022年，8月28日5.2.2雙正交小波的二尺度關系二尺度關系第十頁，共四十五頁，2022年，8月28日令則雙正交基本條件若令則正交基本條件第十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日緊支撐線性相位雙正交小波的和之間的長度關系定理5.3

序列{}，除之外，所有下標為偶數的元素取值為0。證明：利用雙正交基本條件第十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日

和的長度和之間的關系

（1）兩者長度均為奇數，并且長度相差２的奇數倍，因而兩者不可能等長。小波和是一對偶對稱雙正交小波。第十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日（2）；兩者長度均為偶數，并且長度相差２的偶數倍，兩者等長是可能的。小波和是一對反對稱雙正交小波。第十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日（3）L為奇數,為偶數或為L偶數,為奇數序列的終點下標和起點下標關于奇偶性出現矛盾，故此種情況不存在第十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日5.3構造雙正交小波的CDF方法Step1給定2M，根據下式計算Step2Step3當和均為偶數，當和均為奇數，Step4

②①①②第十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日function[y,t]=biofilter1(n)t(1)=sym(1);%syms是定義符號變量；sym則是將字符或者數字轉換為字符。fori=1:nt(i+1)=t(i)*(n+1-i)/i;endfori=1:nt=t/2;endy=sym(0);symsz;n2=floor(n/2);%朝負無窮方式舍入fori=-n2:n-n2y=y+t(n2+i+1)*z^i;end第十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日functiony=biofilter2(n,m)k=(n+m)/2;t(1)=sym(1);forp=2:kt(p)=sym(1);forj=1:p-1t(p)=t(p)*(k-1+p-1+1-j)/j;endendm0=sym(0);symsz;forj=1:km0=m0+t(j)*((z^(-1/2)-z^(1/2))/(2*i))^(2*(j-1));endifn/2==fix(n/2)%fix(n)的意義是取小于n的整數(是向零點舍入）

m0=m0*((z^(1/2)+z^(-1/2))/2)^m;elsem0=m0*z^(1/2)*((z^(1/2)+z^(-1/2))/2)^m;endy=collect(m0);%返回系數整理后的多項式

第十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日>>biofilter2(2,4)ans=1/4/z+1/2+1/4*zans=3/128*z^4-3/64*z^3-1/8*z^2+19/64*z+45/64+19/64/z-1/8/z^2-3/64/z^3+3/128/z^4

>>biofilter2(4,2)

ans=1/16/z^2+1/4/z+3/8+1/4*z+1/16*z^2ans=3/32*z^3-3/8*z^2+5/32*z+5/4+5/32/z-3/8/z^2+3/32/z^3第十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日>>biofilter2(3,3)ans=1/8/z+3/8+3/8*z+1/8*z^2ans=3/64*z^4-9/64*z^3-7/64*z^2+45/64*z+45/64-7/64/z-9/64/z^2+3/64/z^3第二十頁，共四十五頁，2022年，8月28日

>>biofilter2(1,5)ans=1/2+1/2*zans=3/256*z^5-3/256*z^4-11/128*z^3+11/128*z^2+1/2*z+1/2+11/128/z-11/128/z^2-3/256/z^3+3/256/z^4

>>biofilter2(5,1)ans=1/32/z^2+5/32/z+5/16+5/16*z+5/32*z^2+1/32*z^3ans=3/16*z^3-15/16*z^2+5/4*z+5/4-15/16/z+3/16/z^2

第二十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日5.4基于雙正交小波的分解與重構任給重構基分解基在雙正交小波情況下，信號的分解與重構采用不同的基第二十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日

(a)分解(b)重構第二十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日第二十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日第二十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日5.5小波函數的消失矩性質定義5.1當小波函數滿足如下條件時稱具有N階消失矩定理5.4具有N階消失矩，則以為其N重零點。推論5.2具有N階消失矩，則以為其N重零點。

第二十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日5.5.2小波函數的光滑性與消失矩的關系數學上用函數的頻譜在足夠大時的衰減快慢來刻畫的光滑程度定義5.2

如果存在盡可能大的正常數，使成立，則稱具有光滑指數，并記為越大，則表明衰減愈快，因而的頻域定域性愈好第二十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日5.6提升方案1994年WimSweldens提出了一種新的小波構造方法——提升方案(liftingscheme)，也叫第二代小波變換(secondgenerationwavelettransform,SGWT)或[整數到]整數小波變換([integer-to-]integerwavelettransform,[IT]IWT)。第二代小波變換構造方法的特點是：

1、繼承了第一代小波的多分辨率的特性；

2、不依賴傅立葉變換,直接在時域完成小波變換；

3、小波變換后的系數可以是整數；

4、圖象的恢復質量與變換時邊界采用何種延拓方式無關。第二十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日定理5.6

對于一對給定的雙正交尺度函數和，其相應的二尺度系數序列為和，那么所有滿足如下條件的序列將與序列也滿足雙正交關系。式中是一個三角函數多項式。提升方案的基本公式第二十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日簡單的提升步驟：已知：任何一對雙正交尺度函數和(對應于和)，步驟：選擇合適的三角多項式并根據下式獲得新的和新的

用戶定制（custom_design)第三十頁，共四十五頁，2022年，8月28日從haar小波出發的提升已知：要求：提升后小波具有二階消失矩提升：依據定理5.4，提升后的小波所對應的在應具有二重零點，由此獲得三角多項式的具體表達式，并代入提升方案的基本公式即可。將Lazy小波提升到具有二階消失矩的過程與此相同第三十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日交替提升：第一次提升：（和不變）第二次提升：（和不變）

第三十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日

Sweldens分解和重構算法

1、分解算法推導第三十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日按照（）提升則對應的序列根據標準分解算法有（5.6.3）（4.1.5）第三十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日一次提升的分解步驟關于（提升和）：第一步：用和對輸入信號按標準算法作一次分解得

第二步：更新

第三十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日一次提升的分解步驟關于（提升和）第一步：用和對輸入信號按標準算法作一次分解得

第二步：更新

第三十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日交替提升的分解步驟第三十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日2、重構算法針對圖示的分解算法，推導其重構過程第三十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日按照（5.6.4）提升則對應的序列根據標準重構算法有（5.6.4）（4.2.4）第三十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日一次提升的重構步驟第一步：計算