2023/2/411.5正態(tài)(高斯)隨機(jī)過(guò)程一正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的一般概念

1正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的定義

如果隨機(jī)過(guò)程X(t)的任意n維概率分布都是正態(tài)分布，則稱它為正態(tài)隨機(jī)過(guò)程或高斯隨機(jī)過(guò)程，簡(jiǎn)稱正態(tài)過(guò)程或高斯過(guò)程。2023/2/422正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的概率密度函數(shù)

上式中,mX是n維均值向量，K是n維協(xié)方差矩陣2023/2/432023/2/443性質(zhì)

正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的n維概率密度函數(shù)只取決于均值和協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)。4復(fù)隨機(jī)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程

若復(fù)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程Z(t)的n個(gè)采樣時(shí)刻得到n個(gè)復(fù)隨機(jī)變量，即

其中，Xi、Yi皆為實(shí)隨機(jī)變量。此n個(gè)復(fù)隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度應(yīng)是2n維隨機(jī)變量的聯(lián)合概率密度服從正態(tài)分布。2023/2/45二平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程

1平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的定義

若正態(tài)隨機(jī)過(guò)程滿足下列條件，則它是寬平穩(wěn)正態(tài)隨機(jī)過(guò)程。

2023/2/462平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程的n維概率密度函數(shù)

平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程一維概率密度函數(shù)：平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程二維概率密度函數(shù)：其中r為相關(guān)系數(shù)。2023/2/47式中，R是相關(guān)系數(shù)構(gòu)成的行列式，形式如下平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程n維概率密度函數(shù)：

為行列式中元素的代數(shù)余子式。2023/2/48三正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的性質(zhì)

正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的n維概率密度完全由它的均值函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)所確定。性質(zhì)1：性質(zhì)2：正態(tài)過(guò)程的嚴(yán)平穩(wěn)與寬平穩(wěn)等價(jià)。1）由正態(tài)隨機(jī)過(guò)程的概率密度表達(dá)式可知，它的任意n維概率密度僅由均值,方差和相關(guān)系數(shù)唯一確定。如果正態(tài)隨機(jī)過(guò)程X(t)寬平穩(wěn)，則其均值和方差是常數(shù)，相關(guān)系數(shù)只與時(shí)間差有關(guān)，因此它的任意n維概率密度函數(shù)僅與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，因此是嚴(yán)平穩(wěn)的。2）由于正態(tài)過(guò)程的均方值總是有界的，因此嚴(yán)平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程一定是寬平穩(wěn)的。證明2023/2/49性質(zhì)3：正態(tài)過(guò)程的不相關(guān)與相互獨(dú)立等價(jià)。（2）如果Xn（n＝1,2,…）兩兩之間互不相關(guān)，則若X(t)在n個(gè)不同時(shí)刻采樣得到一組隨機(jī)變量為X1,X2,…,Xn證明（1）如果Xn（n＝1,2,…）兩兩之間相互獨(dú)立，則對(duì)任意的則正態(tài)隨機(jī)過(guò)程在n個(gè)不同時(shí)刻的取值不相關(guān)。2023/2/410即兩兩相互獨(dú)立。

因此所以則

2023/2/411性質(zhì)4：平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程與確定信號(hào)之和概率密度函數(shù)仍服從正態(tài)分布。

證明設(shè)X(t)為平穩(wěn)正態(tài)過(guò)程，S(t)為確定性信號(hào)，合成信號(hào)為Y(t)=X(t)+S(t)那么對(duì)于任意時(shí)刻t，Y(t)=X(t)+S(t)為隨機(jī)變量，這時(shí)S(t)具有確定值，由隨機(jī)變量函數(shù)的概率密度求出Y(t)的一維概率密度函數(shù)為：

且服從正態(tài)分布。同理，Y(t)的二維概率密度為：正態(tài)分布同理，可證明合成信號(hào)的n維概率密度也是正態(tài)過(guò)程。

性質(zhì)6：若正態(tài)過(guò)程X(t)在T上均方可微，則其導(dǎo)數(shù)也是正態(tài)過(guò)程。性質(zhì)5：若為維正態(tài)隨機(jī)變量，且均方收斂于即對(duì)每個(gè)，有則為正態(tài)分布的隨機(jī)變量。2023/2/413若正態(tài)過(guò)程X(t)在T上均方可積，則積分過(guò)程性質(zhì)7：

也是正態(tài)過(guò)程。正態(tài)隨機(jī)過(guò)程通過(guò)線性系統(tǒng)后的輸出仍為正態(tài)過(guò)程。

性質(zhì)8：

正態(tài)過(guò)程的線性變換仍為正態(tài)過(guò)程。

推論：2023/2/414例

設(shè)Ｘ(t)為零均值高斯過(guò)程，其協(xié)方差為求在時(shí)刻抽樣的三維概率密度？2023/2/415解由定義式可知其中將K代入，即可得出三維概率密度。2023/2/416例

設(shè)Ｘ(t)為平穩(wěn)高斯過(guò)程，其