差分法和變分法解決平面問題第一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日彈性力學的基本解法是，根據靜力平衡條件、形變與位移之間的幾何條件和形變與應力之間的物理條件，建立微分方程和邊界條件。近似解法

因此，彈性力學問題屬于微分方程的邊界問題。通過求解，得出函數表示的精確解答。

§5-1差分公式的推導

第二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

對于工程實際問題，由于荷載和邊界較復雜，難以求出函數式的解答。為此，人們探討彈性力學的各種近似解法，主要有變分法、差分法和有限單元法。近似解法第三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

差分法是微分方程的一種數值解法。它不是去求解函數，而是求函數在一些結點上的值。 fxo差分法第四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

差分法的內容是：差分法將微分方程用差分方程（代數方程）代替，于是，求解微分方程的問題化為求解差分方程的問題。將導數用有限差商來代替，將微分用有限差分來代替，第五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

導數差分公式的導出：導數差分公式在平面彈性體上劃分等間距h的兩組網格，分別∥x、y軸。網格交點稱為結點，h稱為步長。第六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日應用泰勒級數公式將在點展開，(a)第七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日拋物線差分公式─略去式(a)中以上項，分別用于結點1、3，拋物線差分公式結點3，結點1，第八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式，并由此可導出高階導數公式。從上兩式解出o點的導數公式，第九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

應用泰勒級數導出差分公式，可得出統一的格式，避免任意性，并可估計其誤差量級，式(b)的誤差為。拋物線差分公式第十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日線性差分公式─在式(a)中僅取一、二項時，誤差量級為。線性差分公式式(c)稱為向前差分公式。對結點1，得：第十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日對結點3，得：

式(d)稱為向后差分公式。

線性的向前或向后差分公式，主要用于對時間導數的公式中。第十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日 穩定溫度場中的溫度場函數T(x，y)應滿足下列方程和邊界條件：

（在A中）, (a)

（在上）,

(b)

（在上）.

(c)

例1第十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日穩定溫度場的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第一類邊界條件是已知邊界上的溫度值；在上的第二類邊界條件是已知熱流密度值，其中是導熱系數。第十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日 現在我們將式(a)、(b)、(c)轉化為差分形式。應用圖5－1網格，和拋物線差分公式，第十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日（1）將化為差分公式，得（2）若x邊界516上為第一類邊界條件，則已知。（3）若y邊界627上為第二類邊界條件，已知，則

(d)第十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

由于所以得

這時，邊界點2的是未知的，對2點須列出式（d）的方程。此方程涉及到值，可將式（e）代入。(e)第十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

例2

穩定溫度場問題的差分解。設圖中的矩形域為6m×4m，取網格間距為h=2m，布置網格如圖，各邊界點的已知溫度值如圖所示，試求內結點a、b的穩定溫度值。ab40353025322224222017第十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日解：對a、b列出方程如下：解出

（度）.第十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日1.比較導數的拋物線差分公式和線性差分公式的區別。2.應用拋物線差分公式(5-2)，試導出三階導數的差分公式。思考題第二十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日對于單連體，按應力函數求解時，應滿足:§5-2

應力函數的差分解按求解第二十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日（3）求出后，由下式求應力（假設無體力）:

按求解第二十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日差分法求解1.應力公式(c)的差分表示。對于o點，

差分法求解：第二十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日相容方程(e)化為：對每一內結點，為未知，均應列出式(e)的方程。2.相容方程(a)的差分表示，第二十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日對邊界內一行結點列式(e)方程時，需要求出邊界點和邊界外一行結點（虛結點）的值。 為了求虛結點的值，需要求出邊界點的、值。相容方程第二十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

3.應用應力邊界條件(b)，求出邊界點的、、值。邊界條件第二十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日⑴應力邊界條件用表示取出坐標的正方向作為邊界線s的正向（圖中為順時針向），當移動時，為正，而為負，∴外法線的方向余弦為邊界條件第二十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日(f)邊界條件即將上式和式(d)代入式(b)，得第二十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日邊界條件式(f)、(g)分別是應力邊界條件的微分、積分形式。再將式(f)對s積分，從固定的基點A到邊界任一點B，得第二十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日通過分部積分從A到B積分，得邊界條件(h)⑵由全微分求邊界點的

第三十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日⑶∵A為定點，、和、、均為常數，而式(h)中，加減x，y的一次式不影響應力，∴可取 故邊界結點的和導數值，由式(g)、(h)簡化為邊界條件第三十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

式(i)的物理意義是：第一式表示從A到B邊界上x向面力的主矢量；第二式表示從A到B邊界上y向面力的主矢量改號;第三式表示從A到B邊界上面力對B點的力距，圖中以順時針向為正。因此，可以按物理意義直接求邊界條件和第三十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日⑷由式(i)的第三式，可求出邊界點的值;由式(i)的前兩式，可求出邊界點的、值，然后再求出邊界外一行虛結點的值。邊界條件第三十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日求解步驟（2）由邊界結點的、值，求出邊界外一行虛結點的值；（1）在邊界上選定基點A，令，然后計算邊界上各結點的、、；4.應力函數差分解的步驟第三十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日（3）對邊界內所有結點列式(e)的方程，聯立求各結點的值；求解步驟（5）按式(d)求各結點的應力。（4）求出邊界外一行虛結點的值；第三十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日思考題1、將應力函數看成是覆蓋于區域A和邊界s上的一個曲面，則在邊界上，各點的值與從A（基點）到B面力的合力距有關，的一階導數值與A到B的面力的合力（主矢量）有關；而在區域內，應力分量與曲面的曲率、扭率有關。第三十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日§5－3應力函數差分解的實例問題此題無函數式解答。應用差分法求解。

正方形深梁,上邊受均布荷載，下邊兩角點處有支承反力維持平衡，試求其應力。第三十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日1.本題具有對稱性，取y軸如圖，并取以反映對稱性。取網格如圖。第三十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日 首先考慮對稱性，可以減少未知值數目，并大量減少計算工作量。 按照物理意義，求出邊界點上的和其導數值（如書中所示）：

第三十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日─AB間y向面力主矢量號，─AB間x向面力主矢量，

─AB間面力對B點力矩，注意符號為正.第四十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日5.求出應力，如AM線上各點應力，并繪出分布圖。4.求出邊界外一行虛結點的

值。3.對每一內點列差分方程，求出。2.由邊界點的導數值，求出邊界外一行

虛結點的值。第四十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

比較：材料力學解─AM上為直線分布，彈性力學解─AM上為曲線分布，

由此又說明，材料力學解法只適用于桿件。比較第四十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

（1）差分法是解微分方程邊值問題和彈性力學問題的有效方法。（2）差分法簡便易行，且總能求出解答。（3）差分法可配合材料力學、結構力學解法，精確地分析結構的局部應力狀 態。

差分法優點：差分法評價第四十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日（1）對于曲線邊界和不等間距網格的計算較麻煩。（2）差分法比較適用于平面問題或二維問題。（3）凡是近似解，在求導運算時會降低精度。如的誤差為，則應力的誤差為。

缺點：差分法評價第四十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日思考題：1.試用線性向前或向后差分公式，導出的差分方程。a（Z向厚度）AyB2FFFxaaa2.用差分法計算圖中A點的應力分量。第四十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日§5－4彈性體的形變勢能

外力勢能彈性力學變分法，又稱為能量法。因其中的泛函就是彈性體的能量。泛函─是以函數為自變量（宗量）的一種函數。變分法，是研究泛函及其極值的求解方法。第四十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日應力變分法─取應力函數為自變量，并以余能極小值條件導出變分方程。本章只介紹位移變分法。位移變分法─取位移函數為自變量，并以勢能極小值條件導出變分方程。彈性力學變分法，是區別于微分方程邊值問題的另一種獨立解法。其中分為：第四十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日外力勢能─外力做了功，必然消耗了相同值的勢能。當取時的外力功和能為零，則：(b)外力功和外力勢能1.彈性體上的外力功和外力勢能外力功：第四十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日形變勢能（2）∵應力和應變均從0增長到，故單位體積上，應力所做的功是非線性關系─線性關系─（1）作用于微小單元上的應力，是鄰近部分物體對它的作用力，可看成是作用于微小單元上的“外力”。2.應力的功和形變勢能（內力勢能）第四十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日線性的應力-應變關系非線性的應力-應變關系第五十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日（3）對于平面應力問題或平面應變問題

單元體積上應力所做的功都是

(c)形變勢能第五十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日（4）假設沒有轉化為非機械能和動能，則應力所做的功全部轉化為彈性體的

內力勢能，又稱為形變勢能，或應變

能，存貯于物體內部。─單位體積的形變勢能（形變勢能密度）。形變勢能第五十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日（5）整個彈性體的形變勢能是

(d)形變勢能第五十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日形變勢能對于平面應變問題，將，。再將幾何方程代入，可用位移表示為（6）將物理方程代入，平面應力問題的形變勢能密度，可用形變表示為第五十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日3.形變勢能的性質（1）是應變或位移的二次泛函， 故不能應用疊加原理。（2）應變或位移發生時，總是正的，即（3）的大小與受力次序無關。（4）對應變的導數，等于對應的應力：

(g)形變勢能的性質第五十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

4.彈性體的總勢能，是外力勢能和內力（形變）勢能之和，(h)第五十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日1.試證明在線性的應力與應變關系下，。2.試由式(e)導出式(g)。3.試列出極坐標系中平面應力問題的形變勢能公式，并與式(d)、(e)和(f)相比較。思考題第五十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日§5－5位移變分方程

在位移變分法中，所取泛函為總勢能，其宗量為位移狀態函數

，。 現在來導出位移變分方程。第五十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日⑴用位移表示的平衡微分方程（在A中）⑵用位移表示的應力邊界條件（在上）⑶位移邊界條件（在上）。實際位移(a)其中⑴、⑵屬于靜力平衡條件，⑶屬于約束條件。 對于實際位移，可將⑶看成是必要條件，而⑴、⑵是充分條件。1.實際平衡狀態的位移、，必須滿足第五十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

2.虛位移狀態

⑴虛位移（數學上稱為位移變分），

表示在約束條件允許下，平衡狀態附近的微小位移增量，如圖所示。 虛位移應滿足上的約束邊界條件，即

虛位移(b)（在上）。第六十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

虛位移不是實際外力作用下發生的，而是假想由其他干擾產生的。因此，虛位移狀態

就構成實際平衡狀態附近的一種鄰近狀態。(c)虛位移第六十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日微分─是在同一狀態下，研究由于位置

(坐標)改變而引起函數的改變。其中的自變量為坐標變量x,y；而因變量為函數，如位移，有

(d)⑵變分與微分的比較變分與微分第六十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日變分─是在同一點位置上，由于狀態改變而引起泛函的改變。其中的自變量為狀態函數，如位移；而因變量為泛函，如，，，有

變分與微分(e)第六十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日由于微分和變分都是微量，所以a.它們的運算方式相同，如式(d)，(e)；b.變分和微分可以交換次序，如

變分與微分(f)第六十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日當發生虛位移（位移變分）時，虛位移上功和能由于虛位移引起虛應變，外力勢能的變分：外力的虛功（外力功的變分）：3.在虛位移上彈性體的功和能

第六十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

形變勢能的變分，即實際應力在虛應變上的虛功,

由于實際應力在虛應變之前已存在,∴作為常力計算，故無系數。虛位移上功和能(j)第六十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日（1）在封閉系統中，假設沒有非機械能的改變，也沒有動能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中形變勢能的增加應等于外力勢能的減少（即等于外力所做的虛功）?！辔灰谱兎址匠?.彈性力學中位移變分方程的導出第六十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日（2）位移變分方程─將式(g)的代入上式,得它表示，在實際平衡狀態發生位移的變分時，所引起的形變勢能的變分，等于外力功的變分。位移變分方程第六十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日位移變分方程它表示，在實際平衡狀態發生虛位移時，外力在虛位移上所做的虛功等于應力在虛應變上所做的虛功。（3）虛功方程─將式(j)的代入上式，得第六十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日其中─形變勢能的變分，如式(j)所示，─外力功的變分，如式(g)所示。位移變分方程（4）最小勢能原理─式(k)可寫成其中U─彈性體的形變勢能，如§5-4式(d),

W─彈性體的外力功，如§5-4式(a)?？梢宰C明，式(n)可以寫成為第七十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日證明如下：位移變分方程第七十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日由于彈性體的總勢能為故式(o)可以表示為

再將總勢能對其變量（位移或應變）作二次變分運算，可得

綜合式(p)，(q)，即得(p)(q)(r)位移變分方程第七十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日位移變分方程

這就是最小勢能原理。它表示在給定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態中，實際存在的一組位移對應于總勢能為極小值。第七十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日最小勢能原理：數學表示如圖(a)，物理意義如圖(b)uu（實際位移）(a)(b)第七十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日（5）位移變分方程的又一形式─式(l)

中可化為

又一形式第七十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日應用分部積分公式和格林公式（其中s為平面域A的邊界，l，m為邊界外法線的方向余弦），可將進行轉換。又一形式第七十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日∵在上，虛位移，∴

對其余幾項進行同樣的轉換，并代入式(),可得又一形式的位移變分方程：又一形式例如，對第一項計算，(s)第七十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日因，都是任意的獨立的變分，為了滿足上式,必須（在A中）(v)（在上）(w)又一形式第七十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

由此可見，從位移變分方程可以導出平衡微分方程和應力邊界條件，或者說，位移變分方程等價于平衡微分方程和應力邊界條件。第七十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日⑴實際平衡狀態的位移必須滿足

a.上的約束(位移)邊界條件；

b.上的應力邊界條件；c.域A中的平衡微分方程。5.結論結論⑵位移變分方程可以等價地代替靜力條件b,c。第八十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日結論⑶由此得出一種變分解法，即預先使位移函數滿足上的位移邊界條件，再滿足位移變分方程，必然也可以找出對應于實際平衡狀態的位移解答。第八十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

1.微分和變分各是由什么原因引起的？2.試導出式(u)。3.試比較4.中變分方程

(1)-(5)的不同的物理解釋。4.試證明二階變分。思考題第八十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

位移變分法是取位移為基本未知函數的。位移函數應預先滿足上的位移邊界條件，然后再滿足位移變分方程。§5-6位移變分法第八十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日(a)瑞利-里茨法（1）因位移函數是未知的，在變分法中采用設定位移試函數的方法，令

1.瑞利-里茨法

第八十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日其中和均為設定的x，y的函數，并在邊界上，令

（在上）（在上）(c)(b)瑞利-里茨法第八十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日 ∴u，v已滿足了上的位移邊界條件。 而，用來反映位移狀態的變化， 故位移的變分為瑞利-里茨法(d)第八十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日瑞利-里茨法位移的變分通過，的變分來反映，故形變勢能的變分為（2）位移(a)還必須滿足位移變分方程第八十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日將式(d)，(f)代入(e)得因虛位移（位移變分）中的，是完全任意的、獨立的，為了滿足上式，必須:第八十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日瑞利-里茨法式(g)是瑞利-里茨變分方程。它是關于，的線性代數方程組，由上式可解出，,從而得到位移的解答。第八十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

2.伽遼金法（1）設定位移試函數如式(a)所示，但令

u,v

不僅滿足上的位移邊界條件，而且也滿足上的應力邊界條件（用u,v表示）。伽遼金法第九十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日將位移的變分，（式(d)）代入，同樣由于，為完全任意的和獨立的變分，得到伽遼金法（2）于是，由§5-5中式(u)可見，由于上的應力邊界條件已滿足，設定的位移只需滿足下列變分方程第九十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日將上式括號內的應力用位移來表示，得伽遼金變分方程:伽遼金法第九十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日 式(j)也是關于，的線性代數方程組，從上式解出，，便得到位移的解答。伽遼金法第九十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日試從位移函數的設定，應滿足的變分方程和求解的計算工作量等方面對瑞利-里茨法和伽遼金法進行比較。思考題第九十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日例1

圖示矩形板a×b，在上邊及右邊受有均布壓力及，而左邊和下邊受有法向連桿的約束?！?-7位移變分法例題第九十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

應用瑞利-里茨法，設定位移滿足兩個約束邊界條件

例題(a)(b)第九十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日其余的應力邊界條件及平衡微分方程由下列變分方程代替（其中）：(c)對式(c)右邊的積分，應包含所有的應力邊界條件（當或處積分為0），例題第九十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日且其中的，應代入相應的邊界方程。將式(a)代入U，計算式(c)的左邊項。共建立兩個方程，求出和，得位移解答：例題(d)對于圖示的簡單問題，式(d)正好是其精確解。第九十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日例題(e)例2本題全部為位移邊界條件：第九十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日本題以y軸為對稱軸，∴

u應為x的奇函數,

v應為x的偶函數。例題(f)設定位移勢函數為第一百頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日位移(g)已滿足對稱性條件(f)和全部邊界條件(e)。因全部為位移邊界條件且均已滿足，∴從§5－5式(u)可見，也可應用伽遼金變分法。例題第一百零一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日將位移(g)代入上式，求出得出的位移解答與書中用瑞利-里茨法給出的結果相同。因，故伽遼金變分方程為例題(h)第一百零二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日第五章例題例題1例題2例題3例題4例題5例題7例題6例題第一百零三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日例題1設圖中的矩形域為，取網格間距為h=2m,布置網格如圖，各邊界點的已知溫度值（度）如圖所示，試求內結點a,b的穩定溫度值。ab40353025322224222017第一百零四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日解：對a,b列出方程如下：解出第一百零五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日例題2用差分法計算圖中A和B點的應力分量。FaBxy3aaaA.71（Z向厚度）F65第一百零六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日解：為反映對稱性，取A為基點。令

邊界點的應力函數值：邊界點的導數值：

由上式及，求出邊界外一行虛結點的值：

第一百零七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日對1點列差分方程：代入各值，解出。再求出應力分量：

第一百零八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日例題3

正方形的板塊，厚度，受一對集中力F的作用，如圖。試取，應用差分法求解該問題的應力分量。1098HGEDIJBAChhhh323414323111276xyh=l/4FF第一百零九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日解：⑴本題具有的兩個對稱軸，為了反映對稱性，在y

向外荷載作用下，取

網格結點編號如圖所示。

第一百一十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日⑵計算各邊界結點處的、、值。在A點及J點，各取布置于兩側，以反映荷載的對稱性，按公式（其中即AB之間面力對B點的力矩，圖中以順時針方向為正）。第一百一十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日求出邊界上各結點的值，如下圖所示。 結點 A B CDEGHI J

00000000

讀者可檢驗，上述的值反映了邊界結點和邊界外一行虛結點上值的對稱性。

F/2F/2F/2-Fh/2-Fh/2-Fh第一百一十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日⑶計算邊界外一行結點的值。由得到

由得到第一百一十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日⑷對內結點1、2、3、4分別列出下列類型的方程：0點：對結點1，對結點2，第一百一十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日對結點3，對結點4，解出第一百一十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日⑸按照應力公式及，求得AJ及EI截面上的應力分量：第一百一十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日例題4

試證明，在同樣的應變分量，和下，平面應變情況下單位厚度的形變勢能大于平面應力情況下的形變勢能。例題第一百一十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日對于平面應變情況，只需將上式中，變換為解：平面應力情況下，單位厚度的形變勢能是：例題(a)第一百一十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日代入，得顯然，方括號內將式⑴中的，都作為式(b)的變換，整理后得平面應變情況下的形變勢能公式，

例題(c)第一百一十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日從式⑶可見，在平面應變情況下，形變勢能中的第一、二、三項均大于平面應力情況下的值，而第四項不變。因此，平面應變的形變勢能大于平面應力的形變勢能U

。例題第一百二十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日例題5

圖中表示一板塊，受到鉛直方向均布拉力作用下發生拉伸變形，并使之兩端固定下來，若在其中切開一小口AB時，試說明板的形變勢能將發生什么變化？例題CDEFAB第一百二十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日解：⑴當AB線切開時，AB線上的應力趨于0。而形變勢能是正定的，，當這部應力時，相應的形變勢能也失去因此，板的總的形變勢能減少。 ⑵當AB線切開后，邊界CD和EF仍是固定的，我們可以比較兩種狀態：例題第一百二十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日(b)AB線張開，出現裂紋。這是穩定的平衡狀態。由于系統的穩定平衡狀態與鄰近的狀態相比，總勢能處于極小值，而(a)、(b)兩種狀態的外力勢能不變，因此，(b)的形變勢能小于(a)，即形變勢能將減少。例題(a)AB切開后，仍然處于閉合狀態，不發生張開。這是不穩定的平衡狀態；第一百二十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日例題6

單位厚度的深梁，兩側邊固定，上下邊受均布荷載q作用，如圖所示。試用位移變分法求解其位移。（取，并設）。例題qyxbuvbaaoq第一百二十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日解：在圖示荷載作用下，深梁的位移應對稱于x軸，而反對稱于y軸。因此，位移分量u應為、的奇函數，而v為x、y的偶函數，xy如圖所示。可以設定位移勢函數如下：第一百二十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日上式已滿足兩端的約束邊界條件，以及對稱和反對稱性條件。以下按瑞利-里茨法進行計算。例題第一百二十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日假設只取u，v中一項，即將u和v代入形變勢能公式（平面應力問題），得：例題第一百二十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

在本題中體力，在邊界上只有的均布荷載，。由此，瑞利-里茨方程成為

例題再積分求U，第一百二十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日邊界是，且，從到積分。再將U代入上式，得到兩個求的方程：第一百二十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日當取，且時，上兩式方程簡化為由此解出,位移分量的解答是例題第一百三十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日例題7圖中所示的薄板，厚度，三邊固定，一邊受到均布壓力q的作用。試用瑞利-里茨的位移變分法求解，其中取，。例題第一百三十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日aabxyq第一百三十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日解：在瑞利-里茨法中，設定位移試函數應滿足位移邊界條件，并應反映圖示問題的對稱性。取第一百三十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日上式已反映了位移對稱于y軸的要求：v為x的偶函數，u為x的奇函數。僅取各一項進行運算，由于體力，面力只存在于AB邊（），因此求解的位移變分方程為：例題第一百三十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日當，且取泊松系數時，形變勢能簡化為將u、v代入,例題（a）（b）第一百三十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日形變勢能U為將U及代入式(a)，(b)，得(c)(d)第一百三十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日從式(c)、(d)解出例題于是得到位移分量，再求應力分量，取，得：第一百三十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日例題在對稱軸上，x=0，,在邊界，,第一百三十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日本題中，由于u，v中各只取一項，且取，因此，求出的位移解的精度較低；而由近似解的位移求應力時，其應力精度要降低一階，其精度更差些。對于實際問題，應取更多的項數進行計算。第一百三十九頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

第五章習題提示和答案習題提示和答案5-1參見書中由低階導數推出高階導數的方法。5-2參見書中的方程。5-3注意對稱性的利用，取基點A如圖。答案見書中。5-4注意對稱性的利用,并相應選取基點

A。答案見書中。第一百四十頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日5-7按位移求微分方程的解法中，位移應滿足:

(1)上的位移邊界條件，

(2)上的應力邊界條件，(3)區域A中的平衡微分方程。習題提示和答案5-5注意對稱性的利用，本題有一個對稱軸。5-6注意對稱性的利用，本題有二個對稱軸。第一百四十一頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日5-8在拉伸和彎曲情況下，引用的表達式，再代入書中的公式。在扭轉和彎曲情況下，引用的表達式，再代入書中的公式。習題提示和答案用瑞利-里茨變分法求解時，設定的位移試函數應預先滿足(1)上的位移邊界條件，而(2)和(3)的靜力條件由瑞利-里茨變分法來代替。第一百四十二頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日5-9對于書中圖5-15的問題，可假設

對于書中圖5-16的問題中，y軸是其對稱軸，x軸是其反對稱軸，在設定u、v試函數時，習題提示和答案第一百四十三頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日為滿足全部約束邊界條件，應包含公共因子。此外，其余的乘積項中，應考慮：u應為x和y的奇函數，v應為x和y的偶函數。第一百四十四頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日5-10答案見書中。第一百四十五頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日5-11在u,v

中各取一項,并設時,用瑞利-里茨法得出求解的方程是代入后,上兩式方程是解出習題提示和答案第一百四十六頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日習題提示和答案位移分量的解答為應力分量為第一百四十七頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日

第五章教學參考資料

（一）本章學習重點及要求

1.彈性力學的基本解法是，根據靜力平衡條件，形變和位移之間的幾何條件和形變與應力之間的物理條件建立微分方程和邊界條件，并由此求解應力、形變和位移。從數學上看，彈性力學問題可化為微分方程的邊值問題，通過求解，得出函數式的精確解答。教學參考資料第一百四十八頁，共一百六十七頁，2022年，8月28日 但是對于工程實際問題，由于荷載、邊界等較為復雜，難以求出函數式的解答。從彈性力學基本理論建立以來，為了解決工程實際問題，人們就探討了各種可供應用的近似解法。彈性力學中最主要的近似解法是變分法、差分法和有限單元法分法。教學參考資料第一百四十九頁，共一百六十七頁，