第6章面向方程模擬法第一節原理第二節面向方程模擬法與序貫模擬法的比較第三節大型稀疏非線性方程組的降維解法

一、輸出變量的指定

二、回路搜索法分解方程組

三、不可分解方程組的斷裂降維解法第四節稀疏矩陣的壓縮存儲

一、稀疏矩陣壓縮存儲的信息鏈指針

二、靜態存儲（列表法）

三、動態存儲（三地址法）第一節原理EquationOrientedMethod聯立方程模擬法面向方程法將整個系統聯合建模Subflow(S1,ALFA,S2,S3,S4)S2=S1+S4’以上混合器模型方程

S3=S2*ALFAS4=S2*(1–ALFA)’以上

分割器模型方程EndSub整個系統方程組，整體求解

序貫法模：每個單元為獨立子程序對外提供結果需要迭代循環物流的去哪里？過程系統的模型方程模型方程：模型方程決策變量狀態變量①各種平衡方程②單元聯結方程③設計規定方程④物性方程⑤現象方程模型變量決策變量所有單元模塊的設備參數進料流股變量狀態參數所有中間變量產品流股變量內部變量等模擬結構循環物流方程設計規定方程僅提供方程多!!!特殊處理物性系統的處理占用70~80%的計算量處理方法：1）不提供方程組，僅提供子程序方程數量大幅減少，但需經常調用物性子程序，效果有限2）提供k,h

的方程組，其它物性由子程序調用

k,h最常用，其它較少用到。效果很好物性：焓、相平衡常數、密度、粘度、導熱系數等第一節原理第二節面向方程模擬法與序貫模擬法的比較第三節大型稀疏非線性方程組的降維解法

一、輸出變量的指定

二、回路搜索法分解方程組

三、不可分解方程組的斷裂降維解法第四節稀疏矩陣的壓縮存儲

一、稀疏矩陣壓縮存儲的信息鏈指針

二、靜態存儲（列表法）

三、動態存儲（三地址法）第二節面向方程模擬法與序貫模擬法的比較模擬方法結構特征序貫模塊模擬法面向方程模擬法1.序貫模塊法優點：

①與實際過程的直觀聯系強，軟件的建立、維護和擴充很方便；

②易于通用化；

③需要的計算機內存較小；

④易于診斷出錯位置；缺點：

循環物流及設計問題：慢2.面向方程法優點

①便于實際用戶的提出的質量性能要求。有設計規定的系統，僅增加幾個方程

②用空間換取時間。相同的過程單元出現多次，將占用更多的存儲空間，自由度的選擇也可能各不相同

③以空間換取求解的數值穩定性。有較多回流高度交互作用流程相對容易收斂2.面向方程法缺點

①要求提供較好的初值

②難于自動產生流程的模型方程組，難以通用化

③不容易診斷出現錯誤的地方。序貫法與聯立方程法對比內容序貫法聯立方程法占用存儲空間小大迭代循環圈多少計算效率低高指定設計規定不靈活靈活初值要求低高錯誤診斷易難編程、調試較易較難聯立模塊法序貫模塊法建立流程簡單，處理循環流與設計規定需迭代聯立方程法同時求解，但建模困難聯立模塊法又稱雙層法，將過程系統的近似模型方程與單元模塊交替求解聯立模塊法兼有序貫模塊法和面向方程法的優點。既能使用序貫模塊法積累的大量模塊，又能將最費計算時間的流程收斂和設計約束收斂等迭代循環合并處理，通過聯立求解達到同時收斂斷裂變量不迭代簡化模型的產生！？聯立模塊法特點以簡化模型聯立求解取代序貫法的回路迭代計算和設計規定計算可利用原有的序貫法資源方程數量較聯立方程法要少得多，求解難度大大降低難點：簡化方程的產生及其適用范圍過程系統穩態模擬三種方法的比較方法優點缺點代表軟件系統序貫模塊法與工程師直觀經驗一致，便于學習使用；易于通用化，已積累了豐富的單元模塊；需要計算機內存較小；有錯誤易于診斷檢查；再循環引起的收斂迭代很費機時；進行設計型計算時，很費機時；不宜用于最優化計算；PROCESS(美)CONCEPT(英)CAPES(日)ASPEN(美)FLOWTRAN(美)面向方程法解算快；模擬型計算與設計型計算一樣；適合最優化計算，效率高；便于與動態模擬聯合實現；要求給定較好的初值，否則可能得不到解；計算失敗后診斷錯誤所在困難；形成通用化程序有困難有，故使用不便；難以繼承已有的單元操作模塊。ASCEND-Ⅱ(美)SPEEDUP(英)（雙層法）聯立模塊法可以利用前人開發的單元操作模塊；可以避免序貫模塊法中的循環流迭代；比較容易實現通用。將嚴格模型做成簡化模型時，需要花費機時；用簡化模型來尋求優化時，其解與嚴格與嚴格模型優化解是否一致，有爭論。TISFLO（德）FLOWPACK-Ⅱ(英)第一節原理第二節面向方程模擬法與序貫模擬法的比較第三節大型稀疏非線性方程組的降維解法

一、輸出變量的指定

二、回路搜索法分解方程組

三、不可分解方程組的斷裂降維解法第四節稀疏矩陣的壓縮存儲

一、稀疏矩陣壓縮存儲的信息鏈指針

二、靜態存儲（列表法）

三、動態存儲（三地址法）第三節大型稀疏非線性方程組的降維解法系統方程多，整體求解難度很多處理方法：方程組分解過程系統方程組的特點： 方程數多，變量多每個方程包含的變量不多每個變量存在的方程(出現次數)不多稀疏方程組稀疏比將方程組轉化為有向圖，再應用系統分解的手段分解成可順序求解的子方程組第一節原理第二節面向方程模擬法與序貫模擬法的比較第三節大型稀疏非線性方程組的降維解法

一、輸出變量的指定

二、回路搜索法分解方程組

三、不可分解方程組的斷裂降維解法第四節稀疏矩陣的壓縮存儲

一、稀疏矩陣壓縮存儲的信息鏈指針

二、靜態存儲（列表法）

三、動態存儲（三地址法）

一、輸出變量的指定Hall各異條件？方程組有解的必要條件！輸出變量？介紹方程組決策變量影響時學過！將f2(x,y,z)=0改寫為y=f2’(x,z)，y則稱為f2的輸出變量N維方程組可指定N個不同的輸出變量失敗！x2出現最少，應先考慮f3包含的變量最少，也應優先考慮！成功！包含變量少的方程和出現次數少的變量應先考慮輸出變量的指定方法：1)選事件矩陣中元素最少的行和其與元素最少的列的交點處元素對應的變量作為優先指定的輸出變量，然后從事件矩陣中刪去相應的行和列。2)重復上述過程∶①若矩陣的所有行和列被刪除，則指定完畢。②若有行或列無法刪除，則表示與剩余列對應的變量不存在于與剩余的行對應的方程中。“Steward”通路∶a)從矩陣的不飽和行(無輸出變量的行)或不飽和列(無輸出變量的列)的某一非輸出變量開始，垂直找到與該元素在一列或一行的輸出變量。再轉90，找到另一個非輸出變量，再垂直找到輸出變量，直到找到不飽和列或行中的某一非零元素。b)此軌跡就是“Steward”通路。將此通路上的輸出變量與非輸出變量互換，即可增加一個輸出變量。f1f2f3指定輸出變量的作用？將方程組轉化為有向圖！可應用過程系統分解的手段對方程系統進行分解可及矩陣法索引矩陣法Steward通路搜索法Sargent-Westerberg搜索法（圖解法）例×不飽和行不飽和列×從不飽和行的任一非零開始將出現死循環將Steward通路上的輸出變量與非輸出變量互換可增加一個輸出變量！Steward通路例第一節原理第二節面向方程模擬法與序貫模擬法的比較第三節大型稀疏非線性方程組的降維解法

一、輸出變量的指定

二、回路搜索法分解方程組

三、不可分解方程組的斷裂降維解法第四節稀疏矩陣的壓縮存儲

一、稀疏矩陣壓縮存儲的信息鏈指針

二、靜態存儲（列表法）

三、動態存儲（三地址法）

二、回路搜索法分解方程組回路搜索法分解方程組步驟:1）寫出方程組事件矩陣，指定輸出變量

2）如果每個方程都指定了一個不同的輸出變量，則方程組滿足Hall各異條件，轉6；否則轉3。

3）從不飽和行的一個非零開始搜索Steward通路。如果能從不飽和行走到不飽和列，轉4；否則轉5。4）不能增加輸出變量數目，方程組無解，停止。

5）將Steward通路上的輸出變量與非輸出變量類型互換，則可增加一個輸出變量。如果此時輸出變量的數目與方程數目相等，轉6；否則轉3）

6）將方程以節點形式排成一行，將每個方程與其輸出變量出現的方程節點以有向弧相連，即形成了方程組的有向圖。

7）可以用可及矩陣法、索引矩陣法、Steward通路搜索法和圖解法等分解方程組。不飽和行不飽和列0從不飽和行開始找Steward通路不飽和列將Steward通路上的輸出變量與非輸出變量對換指定輸出變量：最終的輸出變量指定：f1繪制有向圖：f2f3f4f5f1x4f1f2x3f2f3x2f3f4x1f4f5x5f5f1f4f5f2f3搜索回路：f2f3f1f2f5f2

，

f2f5構成回路，將f2f5作為組合節點，改寫有向圖f1f2f5f3f4f2f5f1f4f5內部弧內部弧f1f2f3f4f5搜索回路：f1f2f5，無路可走！刪除f2f5，計入次序表，改寫有向圖f1f3f4次序表f2f5f2f5f2f5f1f3，無路可走！刪除f3，計入次序表，改寫有向圖f3f3f1f4f1，構成回路，形成最后一個組合節點，刪除f1f4，計入次序表f1f4計算順序第一節原理第二節面向方程模擬法與序貫模擬法的比較第三節大型稀疏非線性方程組的降維解法

一、輸出變量的指定

二、回路搜索法分解方程組

三、不可分解方程組的斷裂降維解法第四節稀疏矩陣的壓縮存儲

一、稀疏矩陣壓縮存儲的信息鏈指針

二、靜態存儲（列表法）

三、動態存儲（三地址法）

三、不可分解方程組的斷裂降維解法大規模方程組的處理：分解成小規模方程組，順序求解問題：子方程組規模仍很大整個方程組本身不可分解？必須聯立求解！？斷裂降維求解方程組的斷裂求解步驟如下∶

1)選輸出變量，分解方程組；

2)在分解后的子方程組中選擇包含變量數最少的方程(=k)中的k-1變量作為斷裂變量；選擇k-1個包含變量數最多的方程作為驗算方程；

3)降維后用回路搜索法進一步分解；

4)給斷裂變量賦初值，求解降維后的方程組；

5)驗算斷裂變量直到收斂。例整個方程組不可分解斷裂降維求解––迭代求解迭代求解––要求最少的斷裂變量！––選變量數最少的方程斷裂斷裂x1，即給定x1初值x3=f4’(x1)斷裂變量，賦初值斷裂1個變量，可排除一個方程，2個變量例斷裂變量狀態變量驗算方程驗算方程應選擇含變量數最多的方程方程數比變量數多1個指定輸出變量分解方程組f1f3f5f6求解順序：f5f6f1f3計算步驟：假設x1初值由f4計算出x3聯合求解f1

f3

，得出x2,x4將x1,x2,x3,x4代入f5

f6聯合求解得x5,x6驗算f2是否滿足，若滿足則結束，否則轉6)重新假設x1初值轉2)四、n<m型稀疏非方程組的處理選決策變量獲得的方程組的結構方程組進行分解或斷裂降維按順序聯立求解獲迭代求解分解后的子方程組五、n>m型稀疏非方程組的處理①利用最小二乘法取得一組妥協解。②求解其中的m個方程第一節原理第二節面向方程模擬法與序貫模擬法的比較第三節大型稀疏非線性方程組的降維解法

一、輸出變量的指定

二、回路搜索法分解方程組

三、不可分解方程組的斷裂降維解法第四節稀疏矩陣的壓縮存儲

一、稀疏矩陣壓縮存儲的信息鏈指針

二、靜態存儲（列表法）

三、動態存儲（三地址法）第四節稀疏矩陣的壓縮存儲n=1000，N=2000，=0.2%全部存儲，占用n2即106存儲單位其中998000個為零一次高斯消去運算需1/3n3次加法和乘法運算，約3.33億次以1微秒/次計，耗機時333秒以上采用稀疏矩陣存儲法只存儲非零元素，只對非零元素進行運算需占用10000個存儲單位，進行20000次運算需20毫秒第一節原理第二節面向方程模擬法與序貫模擬法的比較第三節大型稀疏非線性方程組的降維解法

一、輸出變量的指定

二、回路搜索法分解方程組

三、不可分解方程組的斷裂降維解法第四節稀疏矩陣的壓縮存儲

一、稀疏矩陣壓縮存儲的信息鏈指針

二、靜態存儲（列表法）

三、動態存儲（三地址法）

一、稀疏矩陣壓縮存儲的信息鏈指針非零元素屬性∶l

行標；l

列標；l

指向本行中下一個非零元素的指針；l

指向本列中下一個非零元素的指針；l

指向本行中前一個非零元素的指針；l

指向本列中前一個非零元素的指針；第一節原理第二節面向方程模擬法與序貫模擬法的比較第三節大型稀疏非線性方程組的降維解法

一、輸出變量的指定

二、回路搜索法分解方程組

三、不可分解方程組的斷裂降維解法第四節稀疏矩陣的壓縮存儲

一、稀疏矩陣壓縮存儲的信息鏈指針

二、靜態存儲（列表法）

三、動態存儲（三地址法）

二、靜態存儲（列表法）一、靜態存儲(列表法)需三個數組：LA矩陣元素值；LB非零矩陣元素的列標；LC每行的第一個非零元素在LA中的存儲位置；特點：按行或按列順序存儲例LA-346-11233LB12431434LC1457

元素aij訪問步驟∶1)找i行的第一個非零元素的存儲位置，K1=LC(i);2)找i

行的最后一個非零元素的存儲位置，K2=LC(i+1)1;3)比較該行的非零元素下標，找出aij。①令k=K1，若LB(k)=j，則說明已找到aij；aij=LA(k)；②否則，令k=k+1，返回①；最多從d1做到d2，若找不到，則aij值即為零例:訪問a34(i=3,j=4)LA-346-11233LB12431434LC1457

1）找第3行第一個非零位置：

LC(3)=5(d1)2）找第3行最后一個非零位置：

LC(3+1)–1=7–1=6(d2)3）對比列標：

LB(5)=1≠j4）對比本行下一非零的列標：

LB(5+1)=4=j5）已找到aij

，取元素值：

LA(5+1)=2第一節原理第二節面向方程模擬法與序貫模擬法的比較第三節大型稀疏非線性方程組的降維解法

一、輸出變量的指定

二、回路搜索法分解方程組

三、不可分解方程組的斷裂降維解法第四節稀疏矩陣的壓縮存儲

一、稀疏矩陣壓縮存儲的信息鏈指針

二、靜態存儲（列表法）

三、動態存儲（三地址法）

三、動態存儲（三地址法）1)Bending-Hutchison法采用屬性①和②及非零元素值構成鏈表包括五列∶①序號∶可作為存儲數組的下標數值，不占用存儲空間；②變量號(列標)；③方程號(行標)；④非零元素的數值；⑤非零元素的狀態屬性。2)三地址法（按列存儲）由屬性①、②和④及非零元素值構成：每列第一個非零元素在存儲鏈中的位置

──列首址BC[1，n]；2)信息條INF[1∶3(N+M)]；信息條由三個單元構成∶①非零元素值的行號；②非零元素的數值；③該列的下一個非零元素存儲位置。3)第一個空白區的位置─空白區首址S[L]；123d1d2d3例123456789101112131415161718192021222324列首址BC：信息條INF：空白區首址S：13行號元素值下一非零位置本列結束開始下列1-34350072-1224301320最后一列去空白區190結束按列存儲位置動態！1016(1)找aij①計算第j列的第一個非零元素存儲位置∶d=BC(j)；②找j列中的第一個非零元素所在行∶k=INF(d)；③若k=i，則aij=INF(d+1)；

ki，令d=INF(d+2)，轉②；例:找a431234567891011121314151617181920212223243203502-12201-34101643013071列首址BC：信息條INF：空白區首址S：19第3列第一個非零對比行號不等于4去下行對比行號找到啦!取值i=4j=3(2)插入aij，i1<i<i2①找到d1，d2;(j列中與aij相鄰的上下兩個非零位置)②令L=S=d3；③S=INF(L+2);(將d4作為第一個空白區)④INF(L)=i

(在d3保存行號)INF(L+1)=aij(保存元素值)INF(L+2)=d2(將ai,j與ai2,j相連)⑤INF(d1+2)=L

(將ai1,j與ai,j相連)Sd3…d1d1+1d1