第4章正弦穩態電路分析4.1正弦信號的基本概念4.2正弦信號的相量表示4.3基本元件VAR和基爾霍夫定律的相量形式4.4復阻抗與復導納型4.5相量法分析4.6正弦穩態電路的功率4.7諧振電路4.1正弦信號的基本概念

4.1.1正弦信號的三要素正弦信號的大小與方向都是隨時間作周期性變化的，信號在任一時刻的值，稱為瞬時值。在指定的參考方向下，正弦電流、電壓的瞬時值可表示為

i(t)=Imsin(ωt

+ψi)(1)u(t)=Umsin(ωt

+ψu)(2)隨時間按正弦規律變化的電流、電壓稱為正弦信號。正弦交流電容易產生、便于控制和變換，能遠距離傳輸。以i(t)為例，說明正弦信號的三要素:i(t)=Imsin(ωt

+ψi)(1)Im

是正弦信號在整個變化過程中可能達到的最大幅值，稱為振幅。（ωt+ψi）是正弦信號的相位，t=0時的相位ψi稱為初相位。通常規定初相滿足|ψi|≤π。ω=d(ωt+ψi)/dt

稱為角速度或角頻率，單位（rad/s），表示正弦信號變化的快慢程度。4.1.2同頻率正弦量的相位差兩同頻率的正弦量為：

i1(t)=Im1sin(ωt

+ψ1)(1)i2(t)=Im2sin(ωt

+ψ2)(2)則，相位差：Δψ=ψ1-

ψ2結論：兩個同頻率的正弦量，相位差在任意瞬間都是常數，等于初相之差。若Δψ>0，則電流i1超前電流i2，或電流i2滯后電流i1；若Δψ=0，則電流i1與i2同相位；若Δψ=±π，電流i1與i2反相；若Δψ=π/2，電流i1與i2正交；4.1.3正弦量的有效值為什么引入有效值？正弦量隨時間變化，不能確切反映周期信號在電路中的整體效應，因此，引入有效值度量正弦量的大小。有效值的定義：按照熱效應定義：設有兩個相同的電阻，分別通以周期電流和直流電流。如果在一周期內，兩個電阻消耗的能量相同，就稱該直流電流值為周期電流的有效值。4.1.3正弦量的有效值例：已知正弦電壓源的頻率為50Hz，初相為π/6弧度，由交流電壓表測得電源開路電壓為220V。求該電源電壓的振幅、角頻率，并寫出其瞬時值表達式。解：因為f=50HZ，ψ=π/6。所以電源電壓瞬時值表達式為：4.2正弦信號的相量表示4.2.1復數及其運算一個復數A可以表示成代數型、指數型或極坐標型，即代數型：A=a

+jb

=rcosθ+jrsinθ

指數型：

A=rejθ

極坐標型：A=r∠θ

式中，為復數單位；a和b分別為復數A的實部和虛部；r和θ分別是A的模和輻角。復數代數型與指數型(或極型)之間的轉換關系為：4.2正弦信號的相量表示4.2.1復數及其運算復數運算：

復數加減：A±B=(a1+ja2)±(b1+jb2)=(a1±b1)+j(a2±b2)

復數乘除：A·B=

r1∠θ1·r2∠θ2=r1r2∠(θ1+θ2)

A／B=

(r1∠θ1)／(r2∠θ2)=r1／r2∠(θ1-θ2)4.2.2正弦量的相量表示正弦信號由振幅、角頻率和初相三個要素確定。在正弦穩態電路中，所有的激勵都是同頻率的正弦量，則電路中的響應也是與激勵同頻的正弦量；因此，只需要確定響應的振幅和初相。用復數表示正弦量由歐拉公式:Imexp[j(ωt+ψ)]=Imcos(ωt+ψ)+jImsin(ωt+ψ)則：

Imsin(ωt+ψ)=

IM{

Imexp[j(ωt+ψ)]}

=

IM{

Imexp(jψ)exp(jωt)

}4.2.2正弦量的相量表示其模和輻角恰好分別對應正弦電流的振幅和初相；用復數形式表示的正弦量稱為正弦量的相量表示；令：Im=Imexp(jψ)=Im∠ψ，

I=Iexp(jψ)=I

∠ψ；??符號上方標記圓點“·”，以與一般復數相區別；復數與正弦量之間只是對應關系，不具有相等關系；可以在復平面上用矢量表示，稱為相量圖。只有同頻率的正弦量才能畫在同一相量圖上，采用復數運算規則進行運算；用相量表示正弦量進行正弦電路運算的方法稱相量法；幅值相量有效值相量例：已知電壓u1=4sin(ωt+60°)V,u2=6sin(ωt+135°)V和u3=8sin(ωt-60°)V。試寫出各電壓的振幅相量，并畫出相量圖。解：正弦電壓u1、u2和u3的振幅相量分別為

U1m=4

∠60，U2m=6

∠135，U3m=8

∠-60；

???例：已知

試求電流：i=i1+i2。解：由已知條件可得：i1←→5∠-36.9Ai2←→10∠51.1A因此，正弦電流i的表達式為:I=i1+i2=(4-j3)+(6+j8)=10+5j=11.18∠26.6A4.3基本元件VAR和基爾霍夫定律

的相量形式4.3.1基本元件VAR的相量形式

1.電阻元件

2.電感元件

3.電容元件1.電阻元件設電阻R的端電壓與電流采用關聯參考方向。設正弦電流由歐姆定律可知電阻元件的端電壓為

比較兩式:U=RI，Um=Rim

可見：電阻元件的I、U是同頻率的正弦量，且電流與電壓同相位。U=RI??以相量形式的伏安關系描述電阻元件特性，故稱為相量模型2.電感元件設電感L的端電壓與電流采用關聯參考方向。設正弦電流通過電感時，端電壓為：

其中，U=ωLI

為電感電壓的有效值，θu=θi+90°為初相。可知：（1）電感電壓和電流是同頻率的正弦量。（2）電感電壓超前電流90°2.電感元件??其相量表達式：U=jωLI令：XL

=ωL=2πfL，叫感抗，單位為歐姆；表明電感受對交流電路的阻礙作用，隨頻率改變。因此，電感具有通直流，阻交流的作用；電壓一定時，感抗越大，電路中的電流越小；U∠θu=ωLI∠θi+90°例:已知一電感元件L=3H，接在的電源上，求（1）感抗的大小；（2）電感元件電流i的表達式。解：3.電容元件設電容C的端電壓與電流采用關聯參考方向。設電容電壓為通過電容的電流為：

u(t)=Usin(ωt+θu)其中，I=ωCU

為電容電流的有效值，θu=θi-90為初相。可知：（1）電容電壓和電流是同頻率的正弦量。（2）電容電流超前電壓90°3.電容元件??其相量表達式：I=jωCU令：XC

=1/ωC=1/(2πfC)，叫容抗，單位為歐姆；表明電容在充放電時對電流的阻礙作用，隨頻率改變。因此，電容感具有通交流，阻直流的作用；電壓一定時，容抗越大，電路中的電流越小；I∠θi=ωCU∠θi-90°例.已知2μF電容兩端的電壓有效值為10V，初相為60o，角頻率為1000rad/s。試求流過電容的電流，寫出其瞬時值解析式。解：電壓的相量形式為：

電容的容抗為：

得:電流的瞬時值解析式為:4.3.2KCL、KVL的相量形式

KCL指出：對于電路中的任意結點，在任一時刻，流出(或流入)該結點的所有支路電流的代數和恒為零。在正弦穩態電路中，各支路電流都是同頻率的正弦量，只是振幅和初相不同，其KCL可表示為：對應的相量關系表示為：

或

??這就是KCL的相量形式。它表明，在正弦穩態電路中，對任一節點，各支路電流相量的代數和恒為零。同理，對于正弦穩態電路中的任一回路，KVL的相量形式為:或

??例.在圖（a）電路中，已知電流，R=100Ω，L=50mH，C=10μF，試用相量法求iR、iL、uS、及i并畫出相量圖。解：畫出電路的相量模型如圖所示。寫出電流iC的相量形式根據各元件電壓、電流的相量關系式可得由基爾霍夫電流定律的相量形式得

即：

4.4復阻抗和復導納4.4.1復阻抗

由上節討論可知，在電流、電壓采用關聯參考方向的條件下，三種基本元件VAR的相量形式是如用振幅相量表示，則為上式與電阻電路中的歐姆定律相似，故稱為歐姆定律的相量形式。????????????4.4復阻抗和復導納4.4.1復阻抗正弦激勵下：無源線性+-?U?IZ+-?U?I，單位：IUZ=iuψ-ψ

=ψ阻抗模阻抗角4.4復阻抗和復導納4.4.1復阻抗阻抗Z可表示成代數式形式：Z=R+jX式中：R是Z的實部，稱為阻抗的電阻分量；

X是Z的虛部，稱為阻抗的電抗分量；它們與阻抗模和阻抗角之間有如下關系

RXφ|Z|阻抗三角形4.4復阻抗和復導納4.4.1復阻抗電路中，電抗X取不同值時，對應的阻抗性質不同。(1)當X>0時，二端網絡端口電壓u在相位上超前電流i，此時電路的阻抗性質是電感性的；(2)當X<0時，電壓u在相位上滯后電流i，此時電路的阻抗性質是電容性的；(3)當X=0時，電壓u與電流i同相，此時電路是電阻性的。

基本元件R、L和C的阻抗分別為：其中，XL稱為感抗；XC稱為容抗；單位為Ω。4.4復阻抗和復導納4.4.2復導納復阻抗的倒數定義為復導納Y，單位為S；UIY=iuψ-ψ

=ψ導納模導納角4.4復阻抗和復導納4.4.2復導納導納Y可表示成代數形式：Y=G+jB式中：G是Y的實部，稱為導納的電導分量；

B是Y的虛部，稱為導納的電納分量；基本元件R、L和C的導納分別為:其中，BL稱為感納；BC稱為容納；G叫電導。單位為S。導納等效轉換為阻抗時，有式中

4.4復阻抗和復導納4.4.2復導納4.4.3阻抗和導納的串、并聯

下面給出阻抗和導納串、并聯的有關結論，其證明方法與電阻電路相似，這里不再重復。設：阻抗Z1=R1+jX1，Z2=R2+jX2；····則，當兩個阻抗Z1和Z2串聯時，其等效阻抗Z為：Z=Z1+Z2=(R1+R2)+j(X1+X2)

分壓公式為：4.4.3阻抗和導納的串、并聯設：阻抗Z1=R1+jX1，Z2=R2+jX2；當兩個阻抗Z1和Z2并聯時，其等效阻抗Z為：Z=Z1Z2

／（Z1+Z2）

分流公式為：····4.4.3阻抗和導納的串、并聯設：導納Y1=G1+jB1，Y2=G2+jB2。當兩個導納Y1和Y2并聯時，其等效導納Y為：Y=Y1+Y2=(G1+G2)+j(B1+B2)

分流公式為：····例:

解:電路如圖,已知R=3Ω，L=2H，ω

=2rad/s。求u1(t)、u2(t)、u

(t)。+u-+u1-iSL+u2-R=3ΩjωL=j4R=3Ω相量模型電流相量：由RL元件相量關系式得：由KVL：寫出u1(t)、u2(t)、u(t)表達式為：畫相量圖+1+j例:如圖(a)電路，已知r=10Ω，L=50mH,R=50Ω，C=20μF,電源us(t)=100sin(103t)V。求:電路的等效阻抗和各支路電流，并畫出電流相量圖。解:電壓源相量和jXL、jXC分別為Us=100

∠0V，jXL=jωL=j50ΩjXC=－j／ωC=－j50Ω

；

?電路的相量模型如圖(b)所示。設R、L串聯支路的阻抗為ZrL,R、C并聯電路的阻抗為ZRC,可得：電路總阻抗Z為電路總電流

由并聯電路分流公式，求得R、C支路電流······例：兩個負載Z1=5+j5Ω和Z2=6-j8Ω相串聯，接在的電源上。試求等效阻抗Z和電路電流i。解：等效阻抗電壓u的相量形式為電流相量為：電流的表達式為：4.5正弦交流電路的相量法分析在簡單的交流電路中，歐姆定律、基爾霍夫定律都可以應用，因此支路電流法、節點電壓法、疊加原理、戴維南定理都可以應用。相量法分析的主要步驟(1)畫電路的相量模型(2)根據KCL、KVL和元件的相量形式，求解得到電壓電流的相量表達式；(3)根據計算得到的電壓、電流相量，寫出相應的瞬時值表達式。各正弦電壓、電流用相量表示，R、L、C元件用相應的阻抗或導納表示。例:在正弦穩態電路中，已知Z1=1+j2Ω，Z2=0.8+j2.8Ω，Z3=40+j30Ω，US1=US2=220V，US2滯后US120?角，

試用支路電流法求各支路電流。解：設US1為參考相量，則

根據KCL、KVL的相量形式列出電路方程代入已知數據得解方程得4.6正弦穩態電路的功率

對于電阻、電容、電感組成的無源二端網絡，都可以等效為復阻抗Z=R+jX，也就是等效為一個電阻與一個電抗串聯的電路。一般的可分別設：式中，φ是端口電壓與電流的相位差。在任一時刻t，電路N的吸收功率：

p(t)=u(t)i(t)=2UIsin(ωt)sin(ωt+φ)=UIcosφ-UIcos(2ωt+φ)稱為瞬時功率

瞬時功率波形圖(1)當u＞0,i＞0或u＜0,i＜0時,p(t)＞0:電路N從外電路吸收功率；(2)當u＞0,i＜0或u＜0,i＞0時,p(t)＜0:電路N向外電路發出功率。

pu，ip

itu

i+u-N1.平均功率P電路的平均功率也稱有功功率，它是瞬時功率在一周期內的平均值，即平均功率代表電路所消耗的功率，所以在正弦穩態電路中通常所說的功率是指平均功率。平均功率的單位是瓦(W)。平均功率不僅與電壓、電流有關，還與電壓、電流的相位差、即電路的阻抗角有關，定義：

λ=cosφ

稱為電路的功率因數.1.平均功率P在RLC串聯電路中，（1）若電路中只包含電阻元件，則φ=0，此時P=I2R，說明電阻是耗能元件；（2）若電路中只包含電容或電感元件時，則φ=±π／2，此時P=0，說明電容或電感是儲能元件，不消耗電能；

2.無功功率Q

為了描述交流電路電源與外電路的能量交換規模，定義：Q=UIsinφ為無功功率，代表二端網絡與外電路交換能量的最大值。無功功率的單位是乏爾(Var)。(1)對于電阻性電路N，φ=0，Q=0，表示N與外電路沒有發生能量互換現象，流入N的能量全部被電阻消耗；(2)N為電感性電路時，φ＞0，Q＞0;Q≠0，表示電路N與外電路之間存在能量互換現象，而不是消耗能量。

(3)N為電容性電路時，φ＜0，Q＜0。電阻元件：電容元件：電感元件：3.視在功率S在二端網絡中，定義電壓與電流有效值的乘積為視在功率：S=UI，單位VA（伏安）。實際用電設備的功率以視在功率表示。

視在功率、有功功率和無功功率的關系如下：

SQ

Pφ功率三角形4.復功率

在工程上為了計算方便，取有功功率P作為實部、無功功率Q作為虛部組成復數，該復數被定義為復功率：

復功率的模為視在功率S，輻角為功率因數角φ。

4.7諧振電路在正弦電源激勵下的RLC串聯電路，通過改變元件參數或調節電源頻率，可使電路端電壓與流入的電流同相，此時稱電路發生了諧振。

4.7.1串聯諧振電路RLC串聯電路如圖所示，設圖中正弦電壓源的角頻率為ω。串聯電路的等效阻抗為:·電路中電流：

若使電壓與電流同相位，則應有φZ=0。即：稱電路發生了串聯諧振。上式是電路發生串聯諧振的條件根據諧振條件，可得諧振（角）頻率為：··|Z|、X及I隨ω的變化曲線（頻率特性）由頻率特性知：串聯諧振回路對不同頻率信號具有不同的響應，能將ω0附近的信號選擇出來，同時將遠離頻率ω0的信號加以消弱。因此，串聯諧振電路可用作選頻電路。在上面討論中，保持電路參數不變，即ω0一定，通過改變電源角頻率ω，使之與ω0相等，電路產生諧振。實際上，若固定電源角頻率ω，調節電路參數L或C，ω0發生變化，使ω0=ω,則電路也會發生諧振。串聯諧振電路具有以下特點：(1)諧振時，電抗X=0,故電路阻抗電路呈電阻性。阻抗模達最小。

(2)諧振時電路電流達到最大。···(3)諧振時電路元件上電壓串聯諧振時，電感和電容上的電壓遠大于電阻上的電壓，因此串聯諧振又叫電壓諧振。諧振時UL0=UC0Q