學必求其心得，業必貴于專精學必求其心得，業必貴于專精PAGE19學必求其心得，業必貴于專精PAGE第一章計數原理學習目標1.理解分類加法計數原理和分步乘法計數原理，會利用兩種原理解決一些實際問題.2.理解排列數和組合數公式的推導過程,掌握排列組合在實際問題中的應用。3.掌握二項式定理和二項展開式的性質．1．分類加法計數原理完成一件事,可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法,在第二類方案中有m2種方法，……，在第n類辦法中有mn種方法,那么，完成這件事共有N＝__________種方法．2．分步乘法計數原理完成一件事需要n個步驟，缺一不可,做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，……，做第n步有mn種方法，那么，完成這件事共有N＝____________種方法．3．排列數與組合數公式及性質排列與排列數組合與組合數公式排列數公式Aeq\o\al（m,n)＝n(n－1）（n－2)…____________＝____________組合數公式Ceq\o\al（m，n)＝__________＝________________________＝____________性質當m＝n時，Aeq\o\al（m，n)為全排列;Aeq\o\al(n,n）＝n!；0！＝________Ceq\o\al（0，n)＝Ceq\o\al(n,n）＝1；Ceq\o\al（m,n)＝____________；Ceq\o\al(m，n)＋Ceq\o\al（m－1,n)＝____________備注n，m∈N＋，且m≤n4.二項式定理（1）二項式定理的內容:（a＋b）n＝_______________________________________________________.(2）通項公式:Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n)an－rbr，r∈｛0,1，2，…，n}．(3)二項式系數的性質:①與首末兩端等距離的兩個二項式系數相等．②若n為偶數,中間一項eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(第\f(n，2)＋1項）)的二項式系數最大；若n為奇數，中間兩項eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(第\f（n＋1，2)項和第\f（n＋1,2）＋1項））的二項式系數相等且最大．③Ceq\o\al（0，n）＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al（2，n)＋…＋Ceq\o\al（n,n）＝2n；Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＝Ceq\o\al（1，n）＋Ceq\o\al(3，n）＋…＝2n－1.類型一數學思想方法在求解計數問題中的應用命題角度1分類討論思想例1有12名劃船運動員，其中3人只會劃左舷，4人只會劃右舷,其余5人既會劃左舷又會劃右舷，現在要從這12名運動員中選出6人平均分在左、右舷劃船參加比賽，則有多少種不同的選法．反思與感悟解含有約束條件的排列、組合問題,應按元素的性質進行分類，分類時需要滿足兩個條件：(1)類與類之間要互斥(保證不重復)；(2）總數要完備(保證不遺漏）．跟蹤訓練1從1,2，3，4，5,6這6個數字中，任取3個數字組成無重復數字的三位數,其中若有1和3時，3必須排在1的前面；若只有1和3中的一個時，它應排在其他數字的前面，這樣不同的三位數共有________個．(用數字作答)命題角度2“正難則反”思想例2設集合S＝{1，2，3,4,5,6，7，8,9｝，集合A＝{a1，a2，a3｝是S的子集，且a1，a2，a3滿足a1〈a2〈a3，a3－a2≤6，那么滿足條件的集合A的個數為（)A．78B．76C．83D．84反思與感悟對于正面處理較復雜或不易求解的問題，常常從問題的對立面去思考．跟蹤訓練2由甲、乙、丙、丁4名學生參加數學、寫作、英語三科競賽，每科至少1人(且每人僅報一科),若學生甲、乙不能同時參加同一競賽，則不同的參賽方案共有________種．類型二排列與組合的綜合應用例3在高三一班元旦晚會上,有6個演唱節目，4個舞蹈節目．(1）當4個舞蹈節目要排在一起時，有多少種不同的節目安排順序？（2)當要求每2個舞蹈節目之間至少安排1個演唱節目時,有多少種不同的節目安排順序？（3）若已定好節目單，后來情況有變,需加上詩朗誦和快板2個節目，但不能改變原來節目的相對順序，有多少種不同的節目演出順序?反思與感悟排列與組合的綜合問題，首先要分清何時為排列，何時為組合．對含有特殊元素的排列、組合問題，一般先進行組合，再進行排列．對特殊元素的位置有要求時，在組合選取時，就要進行分類討論,分類的原則是不重、不漏．在用間接法計數時，要注意考慮全面，排除干凈．跟蹤訓練3有5個男生和3個女生,從中選出5人擔任5門學科的課代表,分別求符合下列條件的選法數．(1）有女生但人數必須少于男生：(2）某女生一定要擔任語文課代表;（3）某男生必須包括在內，但不擔任數學課代表；（4）某女生一定要擔任語文課代表，某男生必須擔任課代表，但不但任數學課代表．類型三二項式定理及其應用命題角度1二項展開式的特定項問題例4已知在eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(\r(x）－\f（2，\r（3,x）)))n的展開式中，第5項的系數與第3項的系數之比是56∶3.(1)求展開式中的所有有理項；(2）求展開式中系數絕對值最大的項；（3）求n＋9Ceq\o\al(2,n)＋81Ceq\o\al(3，n）＋…＋9n－1Ceq\o\al(n,n)的值．反思與感悟（1)確定二項式中的有關元素：一般是根據已知條件，列出等式，從而可解得所要求的二項式中的有關元素．(2)確定二項展開式中的常數項：先寫出其通項公式,令未知數的指數為零，從而確定項數,然后代入通項公式,即可確定常數項．（3)求二項展開式中條件項的系數：先寫出其通項公式，再由條件確定項數，然后代入通項公式求出此項的系數．(4）求二項展開式中各項系數的和差：賦值代入．(5)確定二項展開式中的系數最大或最小項:利用二項式系數的性質．跟蹤訓練4已知eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r（4,\f（1，x))＋\r（3，x2）））n的展開式的倒數第三項的系數為45.命題角度2二項展開式的“賦值”問題例5若(x2－3x＋2)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10。(1)求a2；(2）求a1＋a2＋…＋a10；(3)求（a0＋a2＋a4＋…＋a10）2－（a1＋a3＋…＋a7＋a9）2.反思與感悟與二項式系數有關，包括求展開式中二項式系數最大的項、各項的二項式系數或系數的和、奇數項或者偶數項的二項式系數或系數的和以及各項系數的絕對值的和，主要方法是賦值法，通過觀察展開式右邊的結構特點和所求式子的關系,確定給字母所賦的值,有時賦值后得到的式子比所求式子多一項或少一項，此時要專門求出這一項，而在求奇數項或者偶數項的二項式系數或系數的和時，往往要兩次賦值，再由方程組求出結果．跟蹤訓練5若（x2＋1)(x－3）9＝a0＋a1（x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2）3＋…＋a11(x－2）11，則a1＋a2＋a3＋…＋a11的值為________．1．4名大學生到三家企業應聘，每名大學生至多被一家企業錄用，則每家企業至少錄用一名大學生的情況有（)A．24種 B．36種C．48種 D．60種2．已知關于x的二項式eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\r（x）＋\f(a,\r（3，x）))）n展開式的二項式系數之和為32，常數項為80，則a的值為()A．1 B．±1C．2 D．±23．某校一社團共有10名成員，從周一到周五每天安排兩人值日．若甲、乙必須排在同一天,且丙、丁不能排在同一天,則不同的安排方案有（)A．21600種 B．10800種C．7200種 D．5400種4．若（1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，則a2＋a4＋…＋a12＝________.5．航天員擬在太空授課，準備進行標號為0，1,2,3，4，5的六項實驗,向全世界人民普及太空知識，其中0號實驗不能放在第一項，最后一項的標號小于它前面相鄰一項的標號，則實驗順序的編排方法種數為________．(用數字作答)1．排列與組合（1）排列與組合的區別在于排列是有序的,而組合是無序的．(2)排列問題通常分為無限制條件和有限制條件，對于有限制條件的排列問題的考慮途徑①元素分析法：先考慮特殊元素的要求,再考慮其他元素．②位置分析法:先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置．（3）排列與組合綜合應用是本章內容的重點與難點，一般方法是先分組，后分配．2．二項式定理(1）與二項式定理有關，包括定理的正向應用、逆向應用，題型如證明整除性、近似計算、證明一些簡單的組合恒等式等，此時主要是要構造二項式，合理應用展開式．（2)與通項公式有關，主要是求特定項，比如常數項、有理項、x的某次冪等,此時要特別注意二項展開式中第r＋1項的通項公式是Tr＋1＝Ceq\o\al(r,n）an－rbr（r＝0,1,…,n），其中二項式系數是Ceq\o\al（r，n)，而不是Ceq\o\al（r＋1,n），這是一個極易錯點．（3)與二項式系數有關,包括求展開式中二項式系數最大的項、各項的二項式系數或系數的和、奇數項或者偶數項的二項式系數或系數的和以及各項系數的絕對值的和等主要方法是賦值法．

答案精析知識梳理1．m1＋m2＋…＋mn2．m1×m2×…×mn3．（n－m＋1)eq\f(n！，n－m!）eq\f(A\o\al(m,n），A\o\al(m，m))eq\f（nn－1n－2…n－m＋1,m!)eq\f（n！，m！n－m！)Ceq\o\al（n－m，n）Ceq\o\al(m，n＋1）4．（1)Ceq\o\al(0，n)an＋Ceq\o\al(1，n)an－1b1＋…＋Ceq\o\al(r，n)an－rbr＋…＋Ceq\o\al(n，n）bn（n∈N＋）題型探究例1解分四類第一類：3個只會左舷的人全不選，有Ceq\o\al（0,3)Ceq\o\al(3,5)Ceq\o\al(3，6）＝200（種);第二類：3個只會劃左舷的人中只選1人，有Ceq\o\al（1,3）Ceq\o\al(2,5）Ceq\o\al(3,7)＝1050（種）；第三類:3個只會劃左舷的人中只選2人，有Ceq\o\al（2，3)Ceq\o\al（1,5)Ceq\o\al（3,8)＝840(種);第四類:3個只會劃左舷的人全選,有Ceq\o\al（3，3)Ceq\o\al（3，9）＝84（種)，所以共有200＋1050＋840＋84＝2174（種)選法．跟蹤訓練160例2C跟蹤訓練230例3解(1）第一步先將4個舞蹈節目捆綁起來，看成1個節目，與6個演唱節目一起排，有Aeq\o\al(7,7)＝5040（種)方法；第二步再松綁,給4個節目排序，有Aeq\o\al（4,4）＝24(種)方法．根據分步乘法計數原理，一共有5040×24＝120960（種）安排順序．(2)第一步將6個演唱節目排成一列（如下圖中的“□”),一共有Aeq\o\al(6,6)＝720（種）方法．×□×□×□×□×□×□×第二步再將4個舞蹈節目排在一頭一尾或兩個演唱節目中間，這樣相當于7個“×"選4個來排，一共有Aeq\o\al（4,7)＝840（種)方法．根據分步乘法計數原理，一共有720×840＝604800(種）安排順序．(3）若所有節目沒有順序要求，全部排列，則有Aeq\o\al(12，12)種排法，但原來的節目已定好順序,需要消除，所以節目演出的方式有eq\f（A\o\al(12,12），A\o\al（10,10)）＝Aeq\o\al（2,12）＝132(種)排列．跟蹤訓練3解（1)先選后排．課代表的選法有Ceq\o\al(3,5）Ceq\o\al（2,3）＋Ceq\o\al(4，5）Ceq\o\al(1，3）種，排列方法有Aeq\o\al（5,5）種，所以滿足題意的選法有(Ceq\o\al(3，5)Ceq\o\al（2，3）＋Ceq\o\al(4，5)Ceq\o\al(1,3）)Aeq\o\al(5,5)＝5400（種)．(2）除去該女生后,即相當于剩余的7名學生選4名擔任4門學科的課代表,有Aeq\o\al(4，7）＝840(種）選法．(3)先選后排．從剩余的7名學生中選出4名有Ceq\o\al（4，7)種選法，排列方法有Ceq\o\al(1，4）Aeq\o\al（4,4)，所以選法共有Ceq\o\al（4，7)Ceq\o\al（1，4）Aeq\o\al(4，4）＝3360(種)．（4）先從除去該男生和女生的6人中選出3人,有Ceq\o\al(3,6）種選法，該男生的安排方法有Ceq\o\al（1，3）種，其余3人全排,有Aeq\o\al(3,3)種選法，因此滿足題意的選法共有Ceq\o\al（3，6）Ceq\o\al(1，3)Aeq\o\al（3，3）＝360（種）．例4解（1）由Ceq\o\al（4,n）(－2）4∶Ceq\o\al(2，n)（－2)2＝56∶3，解得n＝10,因為通項Tr＋1＝Ceq\o\al(r,10)(eq\r（x)）10－req\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(－\f（2，\r(3,x））））r＝（－2）rCeq\o\al(r，10），r＝0，1，2，…，10。當5－eq\f（5r，6）為整數時，r可取0，6，于是有理項為T1＝x5和T7＝13440.（2）設第r＋1項系數的絕對值最大，則eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(C\o\al（r，10)2r≥C\o\al（r－1,10)2r－1,，C\o\al(r,10)2r≥C\o\al(r＋1,10）2r＋1，))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(r≤\f（22，3)，，r≥\f（19，3)，））又因為r∈{1，2,3，…，9｝，所以r＝7,當r＝7時，T8＝－15360x－eq\f（5，6）,又因為當r＝0時，T1＝x5，當r＝10時,T11＝(－2）10＝1024，所以系數的絕對值最大的項為T8＝－15360。(3)原式＝10＋9Ceq\o\al(2，10)＋81Ceq\o\al（3,10)＋…＋910－1Ceq\o\al（10，10)＝eq\f（9C\o\al(1,10）＋92C\o\al(2,10)＋93C\o\al（3,10)＋…＋910C\o\al(10，10）,9)＝eq\f(C\o\al(0,10）＋9C\o\al（1,10)＋92C\o\al（2，10）＋93C\o\al（3，10）＋…＋910C\o\al（10，10)－1,9）＝eq\f(1＋910－1，9）＝eq\f(1010－1,9）。跟蹤訓練4解已知展開式中倒數第三項的系數為45，則Ceq\o\al(n－2,n)＝45，即Ceq\o\al（2,n)＝45，得n2－n＝90，解得n＝－9(舍去)或n＝10。（1）通項Tr＋1＝Ceq\o\