空間向量與立體幾何-復習小結【學習目標】正確理解空間向量的有關概念、性質和定理，正確理解并記住各定理及公式的條件和結論，正確地選用基底或適當地建立坐標系，以向量為工具通過向量的運算解決問題．【學習過程】一．知識掃描1．空間線與面的平行與垂直設空間兩條直線l1，l2的方向向量為eq\o(e1,\s\up6(→))，eq\o(e2,\s\up6(→))，平面α，β的法向量分別是eq\o(n1,\s\up6(→))，eq\o(n2,\s\up6(→))，則有：關系平行垂直l1與l2eq\o(e1,\s\up6(→))∥eq\o(e2,\s\up6(→))eq\o(e1,\s\up6(→))⊥eq\o(e2,\s\up6(→))l1與αeq\o(e1,\s\up6(→))⊥eq\o(n1,\s\up6(→))eq\o(e1,\s\up6(→))∥eq\o(n1,\s\up6(→))α與βeq\o(n1,\s\up6(→))∥eq\o(n2,\s\up6(→))eq\o(n1,\s\up6(→))⊥eq\o(n2,\s\up6(→))2．判定三點共線及四點共面主要依據空間向量的共線定理與共面定理，即如果非零向量eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))共線，則必存在唯一的實數λ，使得eq\o(b,\s\up6(→))=λeq\o(a,\s\up6(→))．如果三個非零向量eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))，eq\o(c,\s\up6(→))共面，則必存在一對實數λ，μ，使得eq\o(c,\s\up6(→))=λeq\o(a,\s\up6(→))+μeq\o(b,\s\up6(→))．由上可得以下結論：⑴空間三點A，B，C共線的條件是：存在實數λ或μ，使得eq\o(OC,\s\up6(→))=eq\f(1,1+λ)eq\o(OA,\s\up6(→))+eq\f(λ,1+λ)eq\o(OB,\s\up6(→))或eq\o(OC,\s\up6(→))=λeq\o(OA,\s\up6(→))+μeq\o(OB,\s\up6(→))(λ+μ=1)．⑵空間四點A，B，C，D無三點共線，則它們共面的充要條件是：存在唯一一對實數x，y，z，使得eq\o(AD,\s\up6(→))=xeq\o(AB,\s\up6(→))+yeq\o(AC,\s\up6(→))或eq\o(OD,\s\up6(→))=xeq\o(OA,\s\up6(→))+yeq\o(OB,\s\up6(→))+zeq\o(OC,\s\up6(→))(x+y+z=1)．3．空間的角異面直線所成的角，直線與平面所成的角，兩平面所成的角均可以由直線的法向量與平面的法向量求得，但最終結果必須符合所求角的范圍，否則要改成它的補角或余角．二．例題講解ADBCC1A1B1例1．如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，ADBCC1A1B1⑴求證：AC⊥BC1；⑵求證：AC1∥平面CDB1．ABCDPNM例2．在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，又四邊形ABCD是矩形，AD=eq\r(2)，DC=1，PD=1，M，N分別是AD，ABCDPNM⑴求證：PB⊥MN；⑵求證：平面MNC⊥平面PBC．ABCDPEFR例3．如圖，四棱錐P-ABCD中，ABCD為平行四邊形，E∈PC，PE=eq\f(1,3)PC，ABCDPEFRPF=eq\f(2,3)PB，R∈PD，PR=eq\f(2,3)PD，求證：PA∥面EFR．例4．已知斜三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=AB，∠BAC=90°，側棱與底面成60°角，ABCxyzBC1=2eq\r(6)，BC1⊥AC，求三棱柱ABC-A1BABCxyz三．課堂小結1．用空間向量的方法解決立體幾何問題，關鍵在于依托圖形建立空間直角坐標系或恰當地選取基向量，將其它向量用坐標或基向量表示，進行適當的運算．2．求角的問題：⑴求兩直線所成的角，可以先找出這兩直線方向向量，然后通過向量的運算求出兩方向向量的夾角即為兩直線的夾角；若求出的不是銳角或直角，還要根據兩直線所成的角不超過90°，取其補角；⑵求直線與平面所成的角，一般改成求直線與平面的法向量所成的角，這兩個角是互余關系；⑶求兩平面所成的角，一般找出兩平面的法向量，先求出兩法向量所成的角，再根據二面角的特點確定其平面角與兩法向量所成的角相等或互補．四．課后作業1:1．對空間任意兩個向量eq\o(a,\s\up6(→))，eq\o(b,\s\up6(→))(eq\o(b,\s\up6(→))≠eq\o(0,\s\up6(→)))，eq\o(a,\s\up6(→))∥eq\o(b,\s\up6(→))的充要條件是() A．eq\o(a,\s\up6(→))=eq\o(b,\s\up6(→)) B．eq\o(a,\s\up6(→))=?eq\o(b,\s\up6(→)) C．eq\o(b,\s\up6(→))=λeq\o(a,\s\up6(→)) D．eq\o(a,\s\up6(→))=λeq\o(b,\s\up6(→))2．已知向量eq\o(a,\s\up6(→))=(0，2，1)，eq\o(b,\s\up6(→))=(?1，1，?2)，則eq\o(a,\s\up6(→))與eq\o(b,\s\up6(→))的夾角為．3．在棱長為1的正方體ABCD—A1B1C1D1中，M和N分別為A1B1和BB1的中點，那么直線AM與CN所成角的余弦值是4．正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱AB的中點，且AB=1，則EC與平面A1B1CD所成角的正弦值為ABCDPMN5．如圖：ABCD