數學建模方法及其應用韓中庚編著數學建模教學片第十六章隨機性決策分析方法設計制作：主要內容

第十六章隨機性決策分析方法32023年2月4日隨機性決策問題的基本概念；

效用函數的概念；

效用與風險的關系；

隨機優勢與效用函數的關系；案例分析：彩票中的數學問題。

一、問題的引入－彩票與數學42023年2月4日

彩票中的數學知多少？你們了解彩票嗎？你們買過彩票嗎？你們了解彩票的規則嗎？No,Idon’tknow!請問幾個問題：（1）博彩有規律可尋嗎？（2）現行的各種彩票方案中獎的可能性有多大？（3）現行的彩票方案合理嗎？哪種方案“好”？（4）我們應該如何看待彩票？中國的彩票業還有多大的發展空間？我想應該有規律吧！啊！有這么懸乎嗎？52023年2月4日

一、問題的引入－彩票與數學

“彩票中的數學”問題（CUMCM2002-B）近年來“彩票颶風”席卷中華大地，巨額誘惑使越來越多的人加入到“彩民”的行列，目前流行的彩票主要有“傳統型”和“樂透型”兩種類型。“傳統型”采用“10選6+1”方案：中獎等級10選6+1（6+1/10）基本號碼特別號碼說明一等獎abcdefg選7中（6+1）二等獎abcdef

選7中（6）三等獎abcdeX

Xbcdef

選7中（5）四等獎abcdXX

XbcdeX

XXcdef選7中（4）五等獎abcXXX

XbcdXX

XXcdeX

XXXdef

選7中（3）六等獎abXXXX

XbcXXX

XXcdXX

XXXdeX

XXXXef

選7中（2）62023年2月4日

一、問題的引入－彩票與數學

“彩票中的數學”問題（CUMCM2002-B）“樂透型”有多種不同的形式，比如“33選7”的方案和“36選6+1”的方案，中獎等級33選7（7/33）36選6+1（6+1/36）基本號碼特別號碼說明基本號碼特別號碼說明一等獎●●●●●●●選7中（7）●●●●●●★選7中（6+1）二等獎●●●●●●○

★選7中（6+1）●●●●●●

選7中（6）三等獎●●●●●●○選7中（6）●●●●●○★選7中（5+1）四等獎●●●●●○○★選7中（5+1）●●●●●○選7中（5）五等獎●●●●●○○選7中（5）●●●●○○★選7中（4+1）六等獎●●●●○○○★選7中（4+1）●●●●○○選7中（4）七等獎●●●●○○○選7中（4）●●●○○○★選7中（3+1）72023年2月4日

一、問題的引入－彩票與數學“彩票中的數學”問題（CUMCM2002-B）要解決的問題：（1）根據這些方案的具體情況，綜合分析各種獎項出現的可能性、獎項和獎金額的設置以及對彩民的吸引力等因素評價各方案的合理性。（2）設計一種“更好”的方案及相應的算法，并據此給彩票管理部門提出建議。（3）給報紙寫一篇短文，供彩民參考。82023年2月4日

二.隨機性決策的基本概念

隨機性決策問題包含兩個方面：決策人所采取的行動方案(決策);問題的自然狀態(狀態)；

基本特點：后果的不確定性和后果的效用。

后果的不確定性：由問題的隨機性，使問題會出現什么狀態的不確定性，決策人做出決策后會出現后果的不確定性。后果的效用：后果價值的量化。由后果的不確定性，對于不同決策后果的效用是不同的。92023年2月4日

1、主觀概率

二.隨機性決策的基本概念

隨機性決策問題后果的不確定性是由狀態的不確定性引起的，狀態的不確定性不能通過在相同條件下的大量重復試驗來確定其概率分布。實際中只能由決策人主觀地做出估計，稱其為主觀概率。

主觀概率遵循客觀概率應該遵循的假設、公理、性質等，客觀概率的所有邏輯推理方法均適用于主觀概率。

設定主觀概率的方法：主觀先驗分布法、無信息先驗分布法、極大熵先驗分布法和利用過去數據設定先驗分布法等。102023年2月4日

2、隨機性決策的效用函數

二.隨機性決策的基本概念112023年2月4日

2、隨機性決策的效用函數122023年2月4日效用函數的定義：

2、隨機性決策的效用函數132023年2月4日

2、隨機性決策的效用函數142023年2月4日

2、隨機性決策的效用函數152023年2月4日

實際中的決策問題對決策人的決策往往是效益和風險并存。不同的決策人對待風險的態度可分為厭惡型、中立型和喜好型。

3、效用與風險的關系

二.隨機性決策的基本概念問題：決策人對待這一風險的態度是什么呢？162023年2月4日

3、效用與風險的關系厭惡型:

決策人認為冒此風險的期望盈利只等價于比它低的不冒風險的盈利。喜好型:

對待風險的態度與厭惡型相反的。中立型：介于二者之間的，即決策人認為這和不冒任何風險的另一行為盈利a元等價。這三種不同的態度可以反映在效用函數上就是凹函數，線性函數和凸函數。172023年2月4日

3、效用與風險的關系182023年2月4日

實際中，有的效用函數曲線呈S型，即在后果的范圍內，決策人會從厭惡風險變為喜好風險。

3、效用與風險的關系

(1)反映了決策人的財產從小到大，對待風險的態度從喜好到厭惡的改變。(2)反映了決策人的財產從損失到盈利的增加，對待風險的態度從喜好到厭惡的變化。192023年2月4日

4、損失函數與風險函數的關系

二.隨機性決策的基本概念202023年2月4日4、損失函數與風險函數的關系212023年2月4日

5、隨機優勢與效用函數

二.隨機性決策的基本概念

隨機優勢法:在有價證券問題的研究中常用的一種在一定風險的情況下確定決策的方法。隨機優勢法常用的效用函數有三種：222023年2月4日

5、隨機優勢與效用函數

（１）遞增的效用函數

232023年2月4日

5、隨機優勢與效用函數

（１）遞增的效用函數

這種類型的效用函數僅能反映出財富與風險的關系，但不能反映出決策人對待風險的態度。242023年2月4日

5、隨機優勢與效用函數

（２）遞增的凹效用函數

252023年2月4日

5、隨機優勢與效用函數

（２）遞增的凹效用函數

事實上，可以證明：

（3）遞減的厭惡風險的效用函數262023年2月4日

5、隨機優勢與效用函數

272023年2月4日

（3）遞減的厭惡風險的效用函數

5、隨機優勢與效用函數

282023年2月4日1、問題的提出三、案例分析：彩票中的數學問題要解決的問題：（1）根據所給方案的具體情況，綜合分析各種獎項出現的可能性、獎項和獎金額的設置以及對彩民的吸引力等因素評價各方案的合理性。（2）設計一種“更好”的方案及相應的算法，并據此給彩票管理部門提出建議。（3）給報紙寫一篇短文，供彩民參考。292023年2月4日

２、問題的分析三、案例分析：彩票中的數學問題

評價一個方案的優劣，或合理性如何，主要取決于彩票公司和彩民兩方面的利益。事實上，公司和彩民各得銷售總額的50%是確定的，雙方的利益主要就取決于銷售總額的大小，即雙方的利益都與銷售額成正比。問題是怎樣才能有利于銷售額的增加？即公司采用什么樣的方案才能吸引廣大的彩民積極踴躍購買彩票？

302023年2月4日

問題涉及到一個方案的設置使彩民獲獎的可能性有多大、獎金額有多少、中獎面怎樣、各獎項的設置是否合理等因素，這些都對彩民的購買彩票的吸引力有產生一定的影響，在這里可用彩民的心理曲線來描述一個方案對彩民的吸引力。另外，一個方案對彩民的影響程度可能與區域有關，即與彩民所在地區的經濟狀況以及收入和消費水平有關。為此，要考查一個方案的合理性問題，需要綜合考慮以上這些因素的影響，這是建立模型的關鍵所在。

2、問題的分析312023年2月4日

３、模型的建立與求解三、案例分析：彩票中的數學問題問題（一）：根據所給方案的具體情況，綜合分析各種獎項出現的可能性、獎項和獎金額的設置以及對彩民的吸引力等因素評價各方案的合理性。（1）彩民獲各項獎的概率322023年2月4日

3、模型的建立與求解（2）綜合評價各種方案的合理性332023年2月4日

3、模型的建立與求解342023年2月4日

綜合（1)和（2）式，利用Matlab編程計算出29種方案的合理性指標值及高項獎的期望值，排在前三位的如下表：指標方案

排序97/304.009×10-71.086×106206791410