13．對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用姚亮學(xué)習(xí)目標(biāo)1．進一步熟悉對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)關(guān)系，進一步熟悉對數(shù)函數(shù)概念、性質(zhì)．2．能運用對數(shù)函數(shù)有關(guān)知識解決含有對數(shù)符號的函數(shù)有關(guān)問題．3．滲透應(yīng)用意識，初步建立函數(shù)思想在方程、不等式中的應(yīng)用．一、夯實基礎(chǔ)基礎(chǔ)梳理基礎(chǔ)達標(biāo)1．已知指函數(shù)圖象經(jīng)過點，則對數(shù)函數(shù)一定經(jīng)過點（）．A． B． C． D．2．若函數(shù)的大致圖象如圖所示，其中為常數(shù)，則函數(shù)的大致圖象是（）．3．（2023年天津）已知，，則（）．A． B． C． D．4．函數(shù)的定義域是，則__________．5．（2023年湖北）放射性元素由于不斷有原子放射微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現(xiàn)象稱為衰變，假設(shè)在放射性同位素絕137的衰變過程中，其含量（單位：太貝克）與時間（單位年）滿足函數(shù)關(guān)系：，其中為時銫137的含量，已知時，銫137含量的變化率是（太貝克/年），則（）．A．5太貝克 B．太貝克 C．太貝克 D．150太貝克二、學(xué)習(xí)指引自主探究1．下列是關(guān)于指數(shù)成長函數(shù)、指數(shù)衰退函數(shù)的實際問題，試著解決它們，并體會對數(shù)運算在解決這兩類問題中的作和．（1）某細菌的生長過程為一指數(shù)成長函數(shù)，就是說分鐘后細菌的數(shù)量為（、為常數(shù)），且一開始的數(shù)量為1000只，而在20分鐘后變?yōu)?000只，求一小時后細菌的數(shù)量．（2）任何放射性物質(zhì)都有所謂的半衰期，亦即數(shù)量減半所需經(jīng)過的時間，一般而言，若一放射性物質(zhì)的數(shù)量為（、為常數(shù)），則半衰期即為的解．已知一化石存有碳14，而碳14的半衰期為5730年，部經(jīng)過多少時間，碳14的存量變?yōu)樵瓉淼模?．函數(shù)與的單調(diào)性有何關(guān)系？（1）試根據(jù)下列條件，用“單調(diào)增函數(shù)”、“單調(diào)減函數(shù)”填空：的取值單調(diào)增函數(shù)單調(diào)減函數(shù)單調(diào)減函數(shù)單調(diào)增函數(shù)（2）如果的單調(diào)增區(qū)間為，那么應(yīng)滿足哪些條件？3．（1）寫出下列函數(shù)的定義域與值域．函數(shù)定義域值域有一種說法，恒成立，則的值域為對嗎？請舉例研究．（2）當(dāng)應(yīng)滿足什么條件時，的定義域為？（3）當(dāng)應(yīng)滿足什么條件時，的值域為?4．拓展思維：請解答下面兩個問題，并談?wù)動泻问斋@．（1）解關(guān)于的不等式，；（2）已知關(guān)于的方程，討論的值來確定方程根的個數(shù)．（3）函數(shù)，若，且，寫出、的關(guān)系．案例分析1．求函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間．【解析】（1）由得，所以函數(shù)的定義域是．因為．所以，當(dāng)時，，的值域為．當(dāng)時，，的值域為．（2）令，則，當(dāng)時，函數(shù)在為減函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故所給函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)；當(dāng)時，函數(shù)在為增函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故所給函數(shù)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．2．函數(shù)．（1）若函數(shù)的定義域為，求的取值范圍；（2）若函數(shù)的值域為，求的取值范圍．【解析】（1）由已知的定義域為，無論取任何實數(shù)都有成立，，．（2）由已知的值域為，設(shè)，應(yīng)取遍全體正實數(shù)，才能取遍全體實數(shù)，時，的值域，或．3．解決下列問題：（1）若，試比較的大小；（2）若●，且，，都是正數(shù)，試比較，，的大小．【解析】（1）由，得，且，故．（2）令，由于都是正數(shù)，則，，，，，：同理可得：，，．說明：第（1）題利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性比較大小；第（2）題注意指數(shù)式與對數(shù)式的互●．三、能力提升能力闖關(guān)1．下列函數(shù)中，在上為增函數(shù)的是（）A． B．C． D．2．已知，且，則下列結(jié)論一定正確的是（）．A． B． C． D．3．若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，則實數(shù)的取值范圍是__________．拓展遷移1．（1）已知函數(shù)在上是減函數(shù)，求的取值范圍．（2）若函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，求的取值范圍．2．求下列函數(shù)的值域：（1）；（2），．挑戰(zhàn)極限1．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)的定義域；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（3）在函數(shù)圖象上是否存在兩個不同的點、，使直線垂直軸，若存在，求、兩點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．課程小結(jié)1．我們經(jīng)常會借助于對數(shù)函數(shù)的圖象解決與對數(shù)函數(shù)相關(guān)的不等式問題、方程根的兩個數(shù)問題．2．我們經(jīng)常會遇到形如的函數(shù)，此函數(shù)由與兩個函數(shù)復(fù)合而成，在研究單調(diào)性時，要注意底數(shù)的影響．另外，要特別注意．13．對數(shù)函數(shù)的應(yīng)用基礎(chǔ)達標(biāo)1．D【解析】因為指數(shù)函數(shù)圖象經(jīng)過點，所以函數(shù)經(jīng)過點，從而函數(shù)經(jīng)過點．2．B【解析】由已知函數(shù)的圖象可得，，則的圖象由的圖象沿軸向上平移個單位而得到．3．C【解析】．易得，，．又，，，即．4．2．【解析】由得，因此，函數(shù)的定義域是，所以，．5．D．自主探究1．【解析】（1）依題意，所以，亦即．又，故，解得，即．而一小時后的數(shù)量為（只）．（2）由，得．所求為的解，亦即為所求，故為所求．說明；從上例可以看出，在已知底數(shù)和冪的值，求指數(shù)（形如解關(guān)于的方程）的問題時，我們自然要用到對數(shù)，請同學(xué)們體會對數(shù)與指數(shù)間的關(guān)系：當(dāng)，時，．2．【解析】（1）單調(diào)增函數(shù)；單調(diào)減函數(shù)；單調(diào)增函數(shù)；單調(diào)減函數(shù)數(shù)，（2）要滿足兩個條件；①在上恒成立；（2）在上單調(diào)遞增．3．【解析】（1）函數(shù)定義域值域“恒成立，則的值域為”的說法是錯誤的，舉例說：中，恒成立，但的值域不是．（2）對恒成立；若在上有最小值，則．（3）可取到一切正數(shù)若的值域為．則．4．拓展思維：【解析】（1）在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的圖象，如圖：兩圖象交點的橫坐標(biāo)為，所以原不等式的解集為．（2）因為在同一直角坐標(biāo)系中作出函數(shù)與的圖象，如圖可知：①當(dāng)時，兩個函數(shù)圖象無公共點，所以原方程根的個數(shù)為0個；②當(dāng)時，兩個函數(shù)圖象有一個公共點，所以原方程根的個數(shù)為1個；③當(dāng)時，兩個函數(shù)圖象有兩個公共點，所以原方程根的個數(shù)為2個．第（1）題是利用函數(shù)的圖象解有關(guān)的不等式問題，第（2）題利用函數(shù)的圖象判斷方程根的個數(shù)．通過上面兩題同學(xué)們要體會在解決函數(shù)題時注意數(shù)與形結(jié)合，利用函數(shù)的圖象經(jīng)常能起到事半功倍的效果．（3）由（2）知，在上遞減，在上遞增，因為，且．所以，，從而，，于是，得．能力闖關(guān)1．D．【解析】A、C中函數(shù)為減函數(shù)，不是中函數(shù)定義域的子集，故答案D．2．C．【解析】畫出函數(shù)圖象，注意以下事實；若，，則必有．根據(jù)題意容易得到下列不等式關(guān)系；，必有．3．【解析】由對數(shù)函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng)時．．拓展遷移1．【解析】（1）設(shè)．由于一定是減函數(shù)，要使是減函數(shù)，必須．于是問題轉(zhuǎn)化為，即．解得．（2）令，函數(shù)為減函數(shù)．在區(qū)間上遞減，且滿足，所以，解得，所以，的取范圍為．2．【解析】（1）容易知道函數(shù)的定義域為令，則，，因而，即所求函數(shù)值域為．（2）．令，則，，又時，；時，．如圖，容易看出，即所求函數(shù)值域為．注；