13．對數函數的應用姚亮學習目標1．進一步熟悉對數函數與指數函數關系，進一步熟悉對數函數概念、性質．2．能運用對數函數有關知識解決含有對數符號的函數有關問題．3．滲透應用意識，初步建立函數思想在方程、不等式中的應用．一、夯實基礎基礎梳理基礎達標1．已知指函數圖象經過點，則對數函數一定經過點（）．A． B． C． D．2．若函數的大致圖象如圖所示，其中為常數，則函數的大致圖象是（）．3．（2023年天津）已知，，則（）．A． B． C． D．4．函數的定義域是，則__________．5．（2023年湖北）放射性元素由于不斷有原子放射微粒子而變成其他元素，其含量不斷減少，這種現象稱為衰變，假設在放射性同位素絕137的衰變過程中，其含量（單位：太貝克）與時間（單位年）滿足函數關系：，其中為時銫137的含量，已知時，銫137含量的變化率是（太貝克/年），則（）．A．5太貝克 B．太貝克 C．太貝克 D．150太貝克二、學習指引自主探究1．下列是關于指數成長函數、指數衰退函數的實際問題，試著解決它們，并體會對數運算在解決這兩類問題中的作和．（1）某細菌的生長過程為一指數成長函數，就是說分鐘后細菌的數量為（、為常數），且一開始的數量為1000只，而在20分鐘后變為3000只，求一小時后細菌的數量．（2）任何放射性物質都有所謂的半衰期，亦即數量減半所需經過的時間，一般而言，若一放射性物質的數量為（、為常數），則半衰期即為的解．已知一化石存有碳14，而碳14的半衰期為5730年，部經過多少時間，碳14的存量變為原來的？2．函數與的單調性有何關系？（1）試根據下列條件，用“單調增函數”、“單調減函數”填空：的取值單調增函數單調減函數單調減函數單調增函數（2）如果的單調增區間為，那么應滿足哪些條件？3．（1）寫出下列函數的定義域與值域．函數定義域值域有一種說法，恒成立，則的值域為對嗎？請舉例研究．（2）當應滿足什么條件時，的定義域為？（3）當應滿足什么條件時，的值域為?4．拓展思維：請解答下面兩個問題，并談談有何收獲．（1）解關于的不等式，；（2）已知關于的方程，討論的值來確定方程根的個數．（3）函數，若，且，寫出、的關系．案例分析1．求函數的值域和單調區間．【解析】（1）由得，所以函數的定義域是．因為．所以，當時，，的值域為．當時，，的值域為．（2）令，則，當時，函數在為減函數，在上是增函數，在上是減函數，故所給函數在上是減函數，在上是增函數；當時，函數在為增函數，在上是增函數，在上是減函數，故所給函數在上是增函數，在上是減函數．2．函數．（1）若函數的定義域為，求的取值范圍；（2）若函數的值域為，求的取值范圍．【解析】（1）由已知的定義域為，無論取任何實數都有成立，，．（2）由已知的值域為，設，應取遍全體正實數，才能取遍全體實數，時，的值域，或．3．解決下列問題：（1）若，試比較的大小；（2）若●，且，，都是正數，試比較，，的大小．【解析】（1）由，得，且，故．（2）令，由于都是正數，則，，，，，：同理可得：，，．說明：第（1）題利用對數函數單調性比較大小；第（2）題注意指數式與對數式的互●．三、能力提升能力闖關1．下列函數中，在上為增函數的是（）A． B．C． D．2．已知，且，則下列結論一定正確的是（）．A． B． C． D．3．若關于的方程在區間上有解，則實數的取值范圍是__________．拓展遷移1．（1）已知函數在上是減函數，求的取值范圍．（2）若函數在區間上是增函數，求的取值范圍．2．求下列函數的值域：（1）；（2），．挑戰極限1．已知函數．（1）求函數的定義域；（2）判斷函數的奇偶性，并證明你的結論；（3）在函數圖象上是否存在兩個不同的點、，使直線垂直軸，若存在，求、兩點坐標；若不存在，說明理由．課程小結1．我們經常會借助于對數函數的圖象解決與對數函數相關的不等式問題、方程根的兩個數問題．2．我們經常會遇到形如的函數，此函數由與兩個函數復合而成，在研究單調性時，要注意底數的影響．另外，要特別注意．13．對數函數的應用基礎達標1．D【解析】因為指數函數圖象經過點，所以函數經過點，從而函數經過點．2．B【解析】由已知函數的圖象可得，，則的圖象由的圖象沿軸向上平移個單位而得到．3．C【解析】．易得，，．又，，，即．4．2．【解析】由得，因此，函數的定義域是，所以，．5．D．自主探究1．【解析】（1）依題意，所以，亦即．又，故，解得，即．而一小時后的數量為（只）．（2）由，得．所求為的解，亦即為所求，故為所求．說明；從上例可以看出，在已知底數和冪的值，求指數（形如解關于的方程）的問題時，我們自然要用到對數，請同學們體會對數與指數間的關系：當，時，．2．【解析】（1）單調增函數；單調減函數；單調增函數；單調減函數數，（2）要滿足兩個條件；①在上恒成立；（2）在上單調遞增．3．【解析】（1）函數定義域值域“恒成立，則的值域為”的說法是錯誤的，舉例說：中，恒成立，但的值域不是．（2）對恒成立；若在上有最小值，則．（3）可取到一切正數若的值域為．則．4．拓展思維：【解析】（1）在同一直角坐標系中作出函數與的圖象，如圖：兩圖象交點的橫坐標為，所以原不等式的解集為．（2）因為在同一直角坐標系中作出函數與的圖象，如圖可知：①當時，兩個函數圖象無公共點，所以原方程根的個數為0個；②當時，兩個函數圖象有一個公共點，所以原方程根的個數為1個；③當時，兩個函數圖象有兩個公共點，所以原方程根的個數為2個．第（1）題是利用函數的圖象解有關的不等式問題，第（2）題利用函數的圖象判斷方程根的個數．通過上面兩題同學們要體會在解決函數題時注意數與形結合，利用函數的圖象經常能起到事半功倍的效果．（3）由（2）知，在上遞減，在上遞增，因為，且．所以，，從而，，于是，得．能力闖關1．D．【解析】A、C中函數為減函數，不是中函數定義域的子集，故答案D．2．C．【解析】畫出函數圖象，注意以下事實；若，，則必有．根據題意容易得到下列不等式關系；，必有．3．【解析】由對數函數性質知，當時．．拓展遷移1．【解析】（1）設．由于一定是減函數，要使是減函數，必須．于是問題轉化為，即．解得．（2）令，函數為減函數．在區間上遞減，且滿足，所以，解得，所以，的取范圍為．2．【解析】（1）容易知道函數的定義域為令，則，，因而，即所求函數值域為．（2）．令，則，，又時，；時，．如圖，容易看出，即所求函數值域為．注；