第五章：連續時間系統的復頻域分析本章目錄FFFF

拉普拉斯變換拉普拉斯變換的性質拉普拉斯反變換連續時間系統的復頻域分析

引言

頻域分析以虛指數信號ejωt為基本信號，任意信號可分解為眾多不同頻率的虛指數分量之和。

本章引入復頻率s=σ+jω,以復指數函數est為基本信號，任意信號可分解為不同復頻率的復指數分量之和。5.1拉普拉斯變換laplacetransform5.1拉普拉斯變換f(t)稱為Fb(s)

的雙邊拉氏逆變換（或原函數）。5.1拉普拉斯變換二、收斂域例1因果信號f1(t)=et(t)

，求其拉普拉斯變換。

解

對于因果信號，當Re[s]=>時，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。5.1拉普拉斯變換例2反因果信號f2(t)=et(-t)

，求其拉普拉斯變換。解

對于反因果信號，當Re[s]=<時，其拉氏變換存在。收斂域如圖所示。5.1拉普拉斯變換例3雙邊信號求其拉普拉斯變換。解其雙邊拉普拉斯變換Fb(s)=Fb1(s)+Fb2(s)

僅當>時，其收斂域為<Re[s]<的一個帶狀區域。5.1拉普拉斯變換例4求下列信號的雙邊拉氏變換。

f1(t)=e-3t(t)+e-2t(t)f2(t)=–e-3t(–t)–e-2t(–t)f3(t)=e-3t(t)–e-2t(–t)解Re[s]=>–2Re[s]=<–3–3<<–2象函數相同，但收斂域不同。雙邊拉氏變換必須標出收斂域。5.1拉普拉斯變換theunilateralLaplacetransform5.1拉普拉斯變換5.1拉普拉斯變換5.2拉普拉斯變換的性質propertiesoflaplacetransform一、線性性質若f1(t)←→F1(s)Re[s]>1,f2(t)←→F2(s)Re[s]>2則a1f1(t)+a2f2(t)←→a1F1(s)+a2F2(s)Re[s]>max(1,2)例2：如圖信號f(t)的拉氏變換F(s)=求圖中信號y(t)的拉氏變換Y(s)。解：y(t)=4f(0.5t)Y(s)=4×2F(2s)5.2拉普拉斯變換的性質三、時移（延時）特性若f(t)

<--->F(s),Re[s]>0,且有實常數t0>0,則f(t-t0)(t-t0)<--->e-st0F(s),Re[s]>0

與尺度變換相結合f(at-t0)(at-t0)←→例3:求如圖信號的單邊拉氏變換。解：f1(t)=(t)–(t-1)，f2(t)=(t+1)–(t-1)F1(s)=F2(s)=F1(s)5.2拉普拉斯變換的性質例4:已知f1(t)←→F1(s),求f2(t)←→F2(s)解：f2(t)=f1(0.5t)–f1[0.5(t-2)]f1(0.5t)←→2F1(2s)f1[0.5(t-2)]←→2F1(2s)e-2sf2(t)←→2F1(2s)(1–e-2s)例5:求f(t)=e-2(t-1)ε(t)←→F

(s)=?5.2拉普拉斯變換的性質5.2拉普拉斯變換性質四、復頻移（s域平移）特性若f(t)←→F(s),Re[s]>1

,且有復常數s0=0+j0,則f(t)es0t←→F(s-s0),Re[s]>1+0

e–a

tsinbte(t)e–a

tcosbte(t)

例6：求

L[e–a

tsinbte(t)

],L[e–a

tcosbte(t)

]5.2拉普拉斯變換性質例7:已知因果信號f(t)的象函數F(s)=

求e-tf(3t-2)的象函數。解：由復頻移性質得e-tf(3t-2)←→5.2拉普拉斯變換性質五、時域的微分特性（微分定理）若f(t)←→F(s),Re[s]>0,則f’(t)←→sF(s)–f(0-)

f’’(t)←→s2F(s)–sf(0-)–f’(0-)f(n)(t)←→snF(s)–若f(t)為因果信號，則f(n)(t)←→snF(s)5.2拉普拉斯變換性質因為f(t)是因果信號，所以f’(t)←→sF(s)題1:(n)(t)←→?題2:題3:5.2拉普拉斯變換性質六、時域積分特性

若

f(t)←→

F(S），Re[s]>s0L[f

(-n)(t)]的收斂域為Re[s]>s0和Re[s]>0的重疊的部分。若f(t)為因果信號，f(-n)(0-)=0，則f(-n)(t)←→F

(s)/sn例10：已知L[e(t)]=1/S,

求

L[tn

e(t)]解：利用積分特性5.2拉普拉斯變換性質5.2拉普拉斯變換性質例11:已知因果信號f(t)如圖,求F(s)解：對f(t)求導得f’(t)，如圖由于f(t)為因果信號，故f(0-)=0f’(t)=ε(t)–ε(t–2)–2δ(t–2)←→F1(s)結論：若f(t)為因果信號，已知f(n)(t)←→Fn(s),則f(t)←→Fn(s)/sn5.2拉普拉斯變換性質若f1(t)?F1(S)，Re[s]>s1f2(t)?F2(S),Re[s]>s2七、時域卷積定理則f1(t)*f2(t)?F1(S)?F2(S)

收斂域至少是s1，s2

的公共部分復頻域（s域）卷積定理

5.2拉普拉斯變換性質…t(1)4206收斂條件|e-TS|<1(即Re[s]>0),

收斂域比單個的沖激信號小*=等比級數，公比q=e–TS例12：求L[f(t)]5.2拉普拉斯變換性質八、S域微分和積分性質若f(t)?F(S)，Re[s]>s0

Re[s]>s0例14：求L[t2e-te(t)]解：令

f(t)=e-te(t)由S域微分

f(t)=

t2

e-te(t)=(–t)2e-te(t)1）S域微分5.2拉普拉斯變換性質2）S域積分若f(t)?F(S)，Re[s]>s05.3拉普拉斯逆變換求拉普拉斯逆變換的方法（當F(S)為S的有理分式時）2）查表法（附錄五）自學3）部分分式展開法(常用,要求重點掌握)1）由逆變換的公式，利用復變函數中的留數定理求。不要求5.3拉普拉斯逆變換若象函數F(s)是s的有理分式，可寫為

若m≥n

（假分式）,可用多項式除法將象函數F(s)分解為有理多項式P(s)與有理真分式之和。

由于L-1[1]=(t)，L

-1[sn]=(n)(t)，故多項式P(s)的拉普拉斯逆變換由沖激函數構成。5.3拉普拉斯逆變換部分分式展開法若F(s)是s的實系數有理真分式（m<n)，則可寫為

A(s)稱為F(s)的特征多項式。A(s)=0稱為特征方程。Si可能是實根或復根；可能是單根，也可能是重根。令

A(S)=0

可得一元n次方程的n個根Si(i=1,2,…,n)

Si稱為特征根，也稱為F(s)的固有頻率（或自然頻率），也稱為F(s)的極點。

5.3拉普拉斯逆變換1.F(S)僅有單極點[即A(S)=0的n個根為互不相等的單根時]求系數ki的方法F(S)可展開成5.3拉普拉斯逆變換例1:5.3拉普拉斯逆變換5.3拉普拉斯逆變換2.F(S)含有共軛單極點(S1~Sn有不相等的復根)5.3拉普拉斯逆變換

可見A(S)的根為共軛復根時，只需要求其中的一個系數即可寫出相應的結果。f1(t)=2|K1|e-tcos(t+)(t)若寫為K1,2=A±jBf1(t)=2e-t[Acos(t)–Bsin(t)](t)5.3拉普拉斯逆變換例25.3拉普拉斯逆變換5.3拉普拉斯逆變換3.F(S)含有重根時（重極點）討論求k1i的方法5.3拉普拉斯逆變換K11=[(s–s1)rF(s)]|s=s1K12=(d/ds)[(s–s1)rF(s)]|s=s1

5.3拉普拉斯逆變換例3:5.4連續時間系統的復頻(S)域分析一、系統微分方程的復頻域解時域關于響應y(t)

的微分方程系統響應y(t)

關于響應Y(s)

的代數方程系統響應Y(s)

S域LL-1求解微分方程求解代數方程系統微分方程S域求解的依據是拉氏變換的時域微分性質S域分析法可同時求出連續系統的yzi(t)、yzs(t)

及y(t)描述n階系統的微分方程的一般形式為系統的初始狀態為y(0-),y(1)(0-),…，y(n-1)(0-)。由拉普拉斯變換微分特性若f(t)在t=0時接入系統，則f(j)(t)←→sjF(s)5.4連續時間系統的復頻(S)域分析則對微分方程做拉普拉斯變換得A(S)M(S)B(S)5.4連續時間系統的復頻(S)域分析Yzi(s)Yzs(s)A(S)、B(S)的系數僅與微分方程的系數ai

、bj有關。M(S)的系數與ai

和響應的各初始狀態y(p)(0–

)有關，而與激勵無關。y(t)=L-1[Y(s)]=L-1[Yzi(s)]+L-1[Yzs(s)]＝yzi(t)＋yzs(t)。yh(t)（自由/暫態響應）yp(t)Yzi(S)Yzs(S)yzi(t)yzs(t)(強迫/穩態響應)Y(S)極點的說明a)特征根形成的極點(即A(S)=0的根)b)激勵信號象函數F(S)的極點

（決定系統的自由響應）（決定系統的強迫響應）5.4連續時間系統的復頻(S)域分析二、系統函數H(S)可看出:H(S)只與系統的結構、元件參數有關，與激勵、初始狀態均無關，H(S)反映系統的固有特性。5.4連續時間系統的復頻(S)域分析系統函數H(S)的原函數沖激響應h(t)是輸入f(t)=(t)時的零狀態響應，且階躍響應g(t)是輸入f(t)=(t)時的零狀態響應，且由系統的微分方程求

H(s)

H(s)只與方程的系數和階數有關由H(s)寫出系統的微分方程解:

解:

5.4連續時間系統的復頻(S)域分析5.4連續時間系統的復頻(S)域分析三、系統的S域模型（f(t)為因果信號）

由系統的時域模型根據拉氏變換的性質可得系統的S域模型5.4連續時間系統的復頻(S)域分析時域框圖基本單元∫f(t)af(t)y(t)=af

(t)s域框圖基本單元s–1F(s)Y(s)=s–1F(s)aF(s)Y(s)=aF(s)∑f1(t)f2(t)y(t)=f1(t)+f2(t)++∑F1(s)Y(s)=F1(s)+F2(s)F2(s)++例6已知圖所示系統y(0–)=1、y‘(0–)=2,f(t)=ε(t)求yzi(t)和yzs(t)5.4連續時間系統的復頻(S)域分析5.4連續時間系統的復頻(S)域分析上述兩式做除法得對第1個加法器，得對第2個加法器，得yzs(t)=(3/2–2e-t+e-2t/2)ε(t)零輸入響應yzi(t)

激勵為0，故yzi(t)滿足

yzi”(t)+3yzi’(t)+2yzi(t)=0yzi(0+)=yzi(0-)=y(0-)=1yzi’(0+)=yzi’(0-)=y’(0-)=2

該齊次方程的特征根為–1，–2，故

yzi(t)=Czi1e–t+Czi2e–2t

代入初始值并解得系數為Czi1=4,Czi2=–3

，代入得

yzi(t)=(4e–t–3e–2t)ε(t)y”(t)+3y’(t)+2y(t)=f’(t)+3f(t)5.4連續時間系統的復頻(S)域分析四、電路的S域模型1基爾霍夫定律的S域形式aKCL的S域形式bKVL的S域形式

2元件VAR的S域形式及其S域模型a電阻元件R(G)R(G)5.4連續時間系統的復頻(S)域分析b電容元件串聯形式的S模型并聯形式的S模型當初始狀態為零時5.4連續時間系統的復頻(S)域分析c電感元件串聯形式的S模型并聯形式的S模型當初始狀態為零時5.4連續時間系統的復頻(S)域分析3RLC系統的S域模型及分析方法基本步驟：1）畫t=0-等效電路，求初始狀態；2）

畫s域等效模型；3）

列s域電路方程（代數方程）；4）解s域方程，求出s域響應；5）反變換求t域響應。5.4連續時間系統的復頻(S)域分析其中：（運算阻抗）（運算導納）例8圖所示電路換路(t=0時換路)前已達到穩態，已知us(t)=12V，求uzi(t),uzs(t)。5.4連續時間系統的復頻(S)域分析5.4連續時間系統的復頻(S)域分析a列出a點的節點方程將L、C的數據帶入上式，得5.4連續時間系統的復頻(S)域分析5.4連續時間系統的復頻(S)域分析例9

如圖所示電路，已知uS(t)=(t)V，iS(t)=δ(t)，起始狀態uC(0-)=1V，iL(0-)=2A，求電壓u(t)。解：畫出電路的s域模型Us(s)=1/s，Is(s)=1u(t)=e–t(t)–3te–t(t)V若求uzi(t)和uzs(t)五、拉氏變換與傅里葉變換的關系FT和LT都是對f(t)進行積分變換~把f(t)分解為無窮多項虛指數函數ejwt之和~把f(t)分解為無窮多項復指數函數eSt

之和只討論因果信號f(t)的拉氏變換與傅里葉變換的關系f(t)的F(s)存在時其F(jw