StochasticProcessesCollegeofScience,HohaiUniversity第二章隨機過程的基本概念及分類引例例1用X(t)表示某手機在大年初一早上從8:00開始經過t時刻收到的短信數。例2顧客來到服務站要求服務，當服務站中的服務員都正在為別的顧客服務時，來到的顧客就要排隊等待服務。由于顧客的來到時間一般是隨機的，每個顧客所需要的服務時間一般也是隨機的，令X(t)表示t時刻的隊長(服務的顧客加等待的顧客)，Y(t)表示為t時刻來到的顧客所需要等待的時間。例3用X(t)表示南京下關某處t日早上8:00的水位高度。例4設質點Q在一直線上移動，每單位時間移動一次，且只能在整數點上移動。用X(t)表示t時刻該質點所處的位置。例5

VerticalDensityProfile(VDP)

Manufacturersofengineeredwoodboards,whichincludeparticleboardandmediumdensityfiberboard,areveryconcernedaboutthedensitypropertiesoftheboardbecausetheydetermineitsmachinability.Thedensityismeasuredusingaprofilometerthatusesalaserdevicetotakemeasurementsatfixeddepthsacrossthethicknessoftheboard.Themeasurementsonasampleformtheverticaldensityprofile(VDP)oftheboard.ThisVDPconsistsof314measurementstaken0.002inchesapart.24profilesareshowninFigure.24profilesinVerticalDensityProfile(VDP)隨機過程的定義(,F,P)為一概率空間，T(,+)為參數集。若對任一tT，有一個定義在(,F,P)隨機變量X(t,)(或Xt()),,與之對應,則稱{X(t,),tT}為隨機過程(StochasticProcesses)。簡記{X(t),tT}(或{Xt,tT})(s.p.)。隨機過程的值域E(狀態空間)：隨機過程{X(t),tT}的可能取值范圍。隨機過程的狀態：E中的元素。或者

X(t,)是一個二元函數：固定t，X(t,)是一個隨機變量；(隨機過程在t時刻的狀態)固定，X(t,)是一個實值函數；(隨機過程的樣本函數或樣本曲線、現實或軌道)隨機過程的有限維分布函數族{X(t),tT}是一個隨機過程，t1T，X(t1)是r.v.，它的分布函數記作F(x1;t1)=P{X(t1)x1},稱為隨機過程的一維分布函數。若存在二元非負可積函數f(x1;t1)滿足f(x1;t1)----s.p.X(t)的一維密度函數。t1,t2T，{X(t1),X(t2)}是二維r.v.若存在非負可積函數f(x1,x2;t1,t2)滿足f(x1,x2;t1,t2)----s.p.X(t)的二維密度函數。F(x1,x2;t1,t2)=P{X(t1)x1,X(t2)x2},稱為s.p.X(t)的二維分布函數。一般地,t1,t2,,tnT，若存在非負可積函數f(x1,x2,,xn;t1,t2,,tn)滿足f(x1,,xn;t1,,

tn)----s.p.X(t)的n維密度函數。F(x1,x2,,xn;t1,t2,,tn)=

P{X(t1)x1,X(t2)x2,,X(tn)xn},稱為s.p.X(t)的n維分布函數。{F(x1,x2,,xn;t1,t2,,tn),t1,t2,,tnT,n1}稱為s.p.X(t)的有限(窮)維分布函數族。{f(x1,x2,,xn;t1,t2,,tn),t1,t2,,tnT,n1}稱為s.p.X(t)的有限(窮)維密度函數族。例

s.p.X(t)=A+Bt,t

0,其中A和B是獨立的r.v.,分別服從正態分布N(0,1)。求X(t)的一維和二維分布。有限維分布函數族的性質(1)對稱性對(1,2,,n)的任意一種排列(j1,j2,,jn),有(2)相容性對m<n,有例

s.p.X(t)=Acost,<t<

,其中A為r.v.,具有分布律求(1)一維分布函數F(x;/4),F(x;/2)；(2)二維分布函數F(x1,x2;0,/3)。隨機過程的數字特征1均值函數和方差{X(t),tT}是一個隨機過程,tT,X(t)是r.v.E(X(t))=m(t)----s.p.X(t)的均值函數(期望函數)X(t)為離散型,且分布律為P{X(t)=xi},則X(t)為連續型,且密度為f(x;t),則D(X(t))=D(t)=E{[X(t)m(t)]2}----s.p.X(t)的方差函數X(t)為離散型,且分布律為P{X(t)=xi},則X(t)為連續型,且密度為f(x;t),則----s.p.X(t)的標準差函數=E{[X(t)]2}

m2(t)2(t)=E{[X(t)]2}----s.p.X(t)的均方值函數2協方差函數和相關函數{X(t),tT}是一個隨機過程t1,t2T，X(t1),X(t2)是二個r.v.C(t1,t2)=Cov(X(t1),X(t2))----s.p.X(t)的自協方差函數(簡稱協方差函數)=E[X(t1)X(t2)]m(t1)m(t2)D(t)=C(t,t)=Cov(X(t),X(t))特別C(t1,t2)=E{[X(t1)m(t1)][X(t2)m(t2)]}R(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]----s.p.X(t)的(自)相關函數C(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]E[X(t1)]E[X(t2)]=R(t1,t2)m(t1)m(t2)當m(t)=0時C(t1,t2)

=R(t1,t2)易有R(t2,t1)

=R(t1,t2)----對稱性例隨機相位正弦波

X(t)=acos(0t+)

,<t<+其中a和0是正常數,r.v.~U[0,2]。求X(t)的期望、方差和相關函數。例

s.p.X(t)總共只有兩條樣本曲線X(t,1)=acost，X(t,2)=acost

其中常數a>0,且P{1}=2/3,P{2}=1/3。求X(t)的均值函數和相關函數。兩個隨機過程的數字特征{X(t),tT},{Y(t),tT}是二個隨機過程,稱{(X(t),Y(t))T,tT}為二維隨機過程。為m+n維隨機變量，其聯合分布函數為稱為二維s.p.{(X(t),Y(t))T,tT}的m+n維聯合分布函數。令yi+,i=1,,m,可得(X(t1),X(t2),,X(tn))T的n維分布函數。同理,令xi+,i=1,,n,可得(Y(t’1),Y(t’2),,Y(t’m))T的m維分布函數。記----X(t)與Y(t)相互獨立{X(t),tT},{Y(t),tT}是二個隨機過程E(X(t))=mX(t);E(Y(t))=mY(t)CXY(t1,t2)=Cov(X(t1),Y(t2))=E[X(t1)Y(t2)]mX(t1)mY(t2)CXY(t1,t2)=E{[X(t1)mX(t1)][Y(t2)mY(t2)]}----s.p.X(t)與Y(t)的互協方差函數RXY(t1,t2)=E[X(t1)Y(t2)]----s.p.X(t)與Y(t)的互相關函數=

RXY(t1,t2)mX(t1)mY(t2)CXY(t1,t2)=

E[X(t1)Y(t2)]mX(t1)mY(t2)若CXY(t1,t2)=0或RXY(t1,t2)=mX(t1)mY(t2)----s.p.X(t)與Y(t)的不相關結論若s.p.X(t)與Y(t)的相互獨立,則X(t)與

Y(t)不相關。隨機過程的分類1按參數集T和值域E離散與否分類(1)參數離散,狀態離散;T、E皆離散(2)參數離散,狀態非離散;T離散、E非離散特別：T離散、E連續(3)參數非離散,狀態離散;T非離散、E離散特別：T連續、E離散(4)參數、狀態皆非離散;T、E皆非離散特別：T、E皆連續2按s.p.的概率結構來分獨立隨機過程；獨立增量隨機過程；Markov過程；平穩隨機過程。幾種常用隨機過程1獨立隨機過程{X(t),tT}是一個s.p.若對任意n個不同的t1,t2,,tnT,X(t1),X(t2),,X(tn)都相互獨立,稱{X(t),tT}是獨立s.p.2獨立增量隨機過程{X(t),tT}是一個s.p.若對任意n個t1,t2,,tnT,且t1<t2<<tn,增量X(t2)X(t1),X(t3)X(t2),,X(tn)X(tn1)是相互獨立的,稱{X(t),tT}是獨立增量s.p.其中T=[0,+),獨立增量過程也叫可加過程。若X(t)還滿足:對任意的t,t+T(>0),增量X(t+)X(t)的概率分布只依賴于而與t無關,則稱s.p.X(t)為齊次增量過程(或具有平穩增量){X(t),t0

}是獨立增量過程,令Y(t)=X(t)X(0),t0,Y(t)與X(t)有相同的增量，所以Y(t)亦為獨立增量過程,且有P{Y(0)=0}=1,故對于一般的獨立增量過程可以假設P{X(0)=0}=1。例設X(t),tT={t1,t2,}為獨立的r.v.序列,證明為獨立增量過程。3正態隨機過程(Gauss過程)若s.p.{X(t),tT}的任一有限維分布都是正態分布,則稱該過程為正態過程(Gauss過程)。即對n

1,t1,t2,,tnT,有式中正態過程的性質:(1)正態過程的有限維分布族可由其一、二階矩完全確定;(2)正態過程的不相關性與相互獨立性等價;(3)正態過程在線性變換下保持其正態性。

即正態過程的線性變換仍然是正態過程4馬爾可夫過程(Markov過程){X(t),tT}是一個s.p.若對tT,給定X(t)的值后,對sT且s>t,X(s)的取值與那些uT且u<t的X(u)的取值無關。則稱{X(t),tT}是一個Markov過程。簡稱馬氏過程。即將來只與現在有關而與過去無關，又稱為無后效性。5維納過程(Wiener過程)(或Brown運動)s.p.{X(t),tT}若滿足：(1)

X(0)=0;(2)

X(t)是齊次獨立增量過程;(3)t>0,X(t)~N(0,2t)。稱X(t)為Wiener過程或Brown運動。若=1,則稱X(t)為標準Wiener過程。維納過程的性質:(1)維納過程是一種馬氏過程;(2)E(X(t))=0,D[X(t)]=2t,

R(t1,t2)=2min(t1,t2)。(3)t1,t2,,tn,且0=t0<t1<<tn<+,有X(ti)X(ti-1)~N(0,2(titi-1)),i=1,2,,n

(4)X(t),t0為Wiener過程,則對t1,t2,,tn,且0=t0<t1<<tn<+,有D[X(ti)]=2ti,1in;

R(ti,tj)=E[X(ti)X(tj)]=2ti,i,j=1,2,,n,i<j

例鐵路工程隊每天鋪一段長為li的路軌。假設由于生產鋼軌的誤差，使得每段鋼軌與標定的長度l0之差li=lil0，i=1,2,均具有正態分布N(0,02),且彼此相互獨立。現考察第n(n=1,2,)天時，鋪軌的總長度L(n)與標定總長度L0(n)的統計性質。6泊松過程(Poisson過程)考察一個來到某“服務點”要求服務的“顧客流”，顧客到服務點的到達過程就是一個泊松過程(Poisson過程)。s.p.{X(t),t0}若滿足：(1)

X(t)0,X(0)=0,X(t)取整數值;(2)0t1<t2,有X(t1)X(t2);(3)0t1<t2,有X(t2)X(t1)代表在時間間隔(t1,t2]上事件出現的次數;稱{X(t),t0}為計數過程。若X(t)還是獨立增量過程,則稱{X(t),t0}為獨立增量計數過程。{X(t),t0}是一個計數過程,且滿足(1)

X(0)=0(a.e.);(2)

X(t)是獨立增量過程;(3)t1,t2T=[0,+),t1<t2,增量X(t2)X(t1)服從參數為(t2

t1)的Poisson分布,即稱{X(t),t0}為具有參數為的