無限自由度系統的振動第四章引言離散系統連續系統分布參數系統無限自由度系統引言桿：以拉壓為主要變形的構件軸：以扭轉為主要變形的桿梁：以彎曲為主要變形的桿一個方向的尺寸遠大于其他兩個方向的尺寸板：一個方向的尺寸遠小于其他兩個方向的尺寸的構件引言瑞士-俄羅斯科學家Euler（1707-1783）

1744年，Euler研究了梁的橫向自由振動，導出了鉸支、固定和自由三類邊界條件下的振型函數與頻率方程

1759年，Euler解決了矩形膜的自由振動問題

1814-1850年，Poisson、Kirchhoff、

Navier建立板彎曲振動理論。引言1.連續系統的振動是時間和空間坐標的函數2.連續系統的運動方程要用偏微分方程來描述3.連續彈性體有無限多個固有頻率和固有振型連續系統與離散系統不同之處：引言連續系統與離散系統相似之處：1.連續系統固有振型關于質量與剛度具有加權正交性2.連續系統的自由振動可表示為各階固有振動的線性疊加3.對彈性體的振動，模態疊加法、模態截斷等方法同樣適用引言微振動假設研究對象為理想彈性體，即勻質分布，各向同性和服從胡克定律。基本假設：實際工作中，如何分析連續系統的振動？（1）首先判定是否是簡單幾何和邊界條件的系統，如果是，則可獲得系統固有振動特性和響應的解析解（本章內容）引言（2）如是復雜幾何和邊界條件的系統，則用有限單元法求解圖利用有限單元法將連續系統（阿波羅飛船）離散化為離散系統第一講：彈性桿的縱向振動第四章：無限自由度系統的振動彈性桿的縱向振動圖彈性桿的縱向振動桿的縱向振動主要研究桿的任一截面沿方向（軸線）的振動規律。火箭的縱向耦合振動POGOvibration

大型液體火箭的結構與推進系統相互作用而產生的不穩定振動。其特征頻率是由結構縱向振動與推進劑輸送管路振動的固有頻率彼此接近或相等時所產生的一個共振頻率，它的幅值開始于動力飛行過程中的某瞬間,隨后達到最大,最后減弱。幅值達到最大時會引起火箭劇烈振動，使整個火箭出現不穩定狀態。振動量級超過設計允許值時會影響火箭上儀器、設備的工作可靠性。對于載人航天器,還會導致航天員生理失調,如視力模糊等。【縱向振動的例子】彈性桿的縱向振動“神五”火箭發射后120秒時，火箭箭體的縱向振動和液氧輸送管路中的液氧水平振動出現了耦合，形成一種縱向耦合振動，造成航天員的痛苦。神六設計時便改動了氧氣輸送管道的一個參數。結果雖然還存在耦合振動，但航天員的痛苦大大減輕。圖神州五號飛船神六減輕“第120秒痛苦”彈性桿的縱向振動(一)直桿的縱向振動微分方程長度為

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橫截面積為A(x)材料彈性模量為E(x)體密度為(x)u(x,t)表示坐標為x

的截面在時刻t

的縱向位移f(x,t)是作用在桿上的縱向分布力(一)直桿的縱向振動微分方程微段的軸向應變：橫截面軸向力：(一)直桿的縱向振動微分方程（直桿縱向受迫振動微分方程）(均勻材料等截面直桿的縱向受迫振動方程)(一)直桿的縱向振動微分方程（直桿縱向受迫振動微分方程）(二)桿的縱向固有振動（分離變量法）1.固有振動(二)固有振動固有振動的表達式固有振型函數由初始條件確定由邊界條件確定簡單邊界條件固定端：自由端：(二)固有振動2.邊界條件(二)固有振動邊界條件：【例1】：求兩端固定桿的縱向振動固有頻率和固有振型。固有振型函數：各階固有頻率(二)固有振動邊界條件：【例2】：求一端固定一端自由桿的縱向振動的固有頻率和固有振型。(二)固有振動固有振型函數：各階固有頻率(二)固有振動各階固有振型函數(二)固有振動兩端自由【課堂練習】：求兩端自由桿的縱向振動的固有頻率和固有振型。STOP第二講：1.軸的扭轉振動2.課堂練習(一)軸的扭轉振動長度為

l

橫截極慣性矩Ip

(x)材料剪切模量為G(x)體密度為(x)θ(x,t)表示坐標為x

的截面在時刻t

的角位移Me(x,t)是單位長度軸上分布的外扭矩1.運動方程(一)軸的扭轉振動(一)軸的扭轉振動簡單邊界條件固定端：自由端：2.邊界條件(二)課堂練習【課堂練習1】：求如圖所示的上端固定，下端有一附加質量M的等直桿作縱向振動的頻率方程。上端邊界條件：下端邊界條件：【課堂練習2】：求如圖所示的一端固定一端彈性支撐的桿作縱向振動的頻率函數。(二)課堂練習左端邊界條件：右端邊界條件：(二)課堂練習【課堂練習3】：求如圖所示的階梯桿縱向振動時的頻率方程。(二)課堂練習STOP第四章：無限自由度系統的振動第三講：Euler-Bernoli梁的振動梁：以彎曲為主要變形的桿引言引言Eluer-Bernouli梁：忽略剪切變形和繞中性軸轉動慣量的梁Timoshenko梁：計及剪切變形和繞中性軸轉動慣量的梁瑞士-俄羅斯科學家Euler（1707-1783）DanielBernoulli(1700–1782)引言直梁假設梁具有縱向對稱面，在彎曲振動時梁的撓曲線始終在這一平面內Eluer-Bernouli梁的基本假設：引言Eluer-Bernouli定律：：彈性模量：截面對中性軸的慣性矩，簡稱截面慣性矩：梁的彎曲剛度：梁的撓曲線引言梁的長度l

梁的橫截面積A(x)

梁的體密度(x)梁的彈性模量E(x)截面慣性矩I(x)坐標為x的截面中性軸在t時刻的橫向位移為w(x,t)單位長度上的分布外力f(x,t)單位長度上的分布外力矩m(x,t)梁的彎曲振動方程正負號規定梁的彎曲振動方程由牛頓第二定律：方程(1)微元力矩平衡：方程(2)梁的彎曲振動方程均勻梁的彎曲振動方程梁的彎曲振動方程固有振動對于均勻梁：固有振動定理2（通解的結構定理）：若是齊次方程的兩個線性無關的特解，則是齊次方程的通解.為任意常數。梁的固有振動為:固有振動常見的邊界條件：固定邊界條件鉸支邊界條件自由邊界條件轉角:撓度:彎矩:剪力:彎矩:撓度:固有振動例：確定兩端鉸支均勻材料等截面直梁的固有頻率和固有振型。固有振動因鉸支梁不