2.4.1直線與橢圓[教學目標]1．掌握直線與橢圓相交的弦中點（或等分點）問題；2．滲透轉化與化歸，函數與方程（或方程組）的數學思想方法；3．培養學生養成“先設計解決問題的方案，再運算”的解題思維；[教學過程]（一）復習引入上節課我們研究了直線與橢圓是否相交，以及給定的直線與橢圓相交后的交點坐標、相交弦的等分點坐標。我們了解到“研究兩曲線的交點問題”可以轉化為“方程組的解的問題”，即把幾何問題轉化為代數問題，這就涉及到兩個問題：幾何條件代數化（坐標化、代數式、代數方程）和代數運算的可行性與簡潔性（合理的運算能力——參數的選取）。（二）新課今天我們來研究一下含有參數的直線與橢圓相交的問題，請看下面的例題：已知直線與橢圓相交于不同的兩點（Ⅰ）若弦中點的橫坐標為，求實數的值；（）[學生活動——5分鐘]學生類比上節課的方法，（1）將直線與圓錐曲線聯立，消得到：（2）幾何條件代數化——方程思想[可能得到的解題結果]（1）由于含有參數，無法解出具體的兩點的坐標，不知該如何.（2）雖然含參，但可以用參數表示兩點的坐標：不妨設，則=解得(是否檢驗？運算是否簡潔)（3）由于含參，求兩點的坐標復雜，是否一定有這個必要？根據題給條件分析，化簡得是否可以直接找到兩點橫坐標的和呢？（設計合理、簡潔的運算）由于兩點的橫坐標均滿足方程，即為方程的兩根，聯想一元二次方程的根系關系，即可得到：在，即時（此處可以先控制參數范圍，也可在計算出參數值后代入檢驗）有結合分析，可列出關于參數的方程解得[三種不同解題結果的產生原因及解決問題的方案——10分鐘]得到結果（1）的學生：一類是：不知道要做什么，純粹是類比模仿（即缺少對已知條件的分析與轉化——沒有目的）另一類是：代數運算能力弱，對代數式的理解不足，得到結果（2）的學生：把看作參數，非得求出這兩個參數的值（或式子）才能列方程.（方法可行，但不簡潔）如果細分析一下：實質上都是的函數，則它倆的和也應該是函數，是否能更簡潔的表達出來？由，計算出，這本身就是韋達定理的證明過程.得到結果（3）的學生：數學功底較好，知道自主減少運算量；能夠根據已知條件，聯系學過的知識，簡化解題.但是這些學生是否更深一層理解到解決“直線與橢圓的相交問題”的關鍵思維步驟：（1）分析條件——（解決問題的先行關鍵步驟）（2）參數的選取——不論是求根公式，還是韋達定理，本題都是將轉化為參數的式子；（運算的可行性與簡潔性）（3）參數的數量與方程的數量一致——本題只需要找到一個關于的方程即可解決問題（4）在韋達定理中實質上是兩個設而不求的參數看下面一問：（Ⅱ）設直線與軸交于點，且點在線段上，滿足，求實數的值；（）[學生活動——5分鐘]先把幾何條件代數化——問題轉化為，即（代數方程）（此兩式地位等價，選擇其中一個簡單的參與后面的運算）[研究討論——15--20分鐘]解一：僅將看作本題的唯一參數，列出關于的一個方程即可解決問題在，即時用參數表示兩點的坐標：當，時，由題化簡整理得，即解得：由上式知所以（2）當，時由題化簡整理得，即解得：由上式知所以經檢驗：均符合[注]（1）由于具有輪換性，需要分類討論（2）由橢圓的對稱性，猜想符合條件的值有兩個——用幾何性質反觀代數結論解二：將看作本題的三個參數，列出關于的三個方程才可解決問題韋達定理法在，即時，設則有（三個未知數，三個方程）先消掉參數得再消掉參數得（此題這種方法運算有規律，不需求的值，可直接求最初給定的參數）（三）小結[3分鐘]1．解決直線與橢圓的相交問題的基本步驟：（1）分析條件↓（2）引入變量（未知量的選擇與確認）↓（3）構造方程（未知量之間的關系的尋求）↓（4）消元求解（未知量之間的關系的處理）（5）檢驗反思（完善過程，總結提升）2．難點分析：（1）幾何條件轉化（2）變量關系分析[備選內容1]（Ⅱ）是否存在直線與軸交于點，且點在線段上，滿足？若存在求實數的值；若不存在，說明理由.（不存在）解：由題且，即直線與圓錐曲線聯立，消得到：在，即時，設則有（三個未知數，三個方程）先消掉參數得再消掉參數得（不符合，舍）[備選內容2]上題還有其他