第三章Z變換●z變換的定義；●z變換的方法●z反變換的方法§3.1Z變換的定義一．Z變換的引入：●連續系統：拉氏變換傳遞函數●離散系統：Z變換Z傳遞函數（脈沖傳遞函數）采樣脈沖序列

拉氏變換，注意到f(nT)為常數

注意:e-kTs是一個延遲環節，延遲時間為kT，即k個采樣周期(拍)。1.定義：新變量z

用z作自變量，替換F*(s)中的s

F*(t)的z變換2．討論

（1）z-k的物理意義：

延遲k個采樣周期。

y(kT)z-k表明z-k的系數是發生在第k個采樣周期，即第k拍的值。

（2）一個函數的Z變換只在采樣時刻才有意義。

如果

不能得出y1(t)=y2(t)的結論。（3）單邊Z變換

t<0時，f(t)=0;k<0時,f(kT)=f(k)=0。（4）F(z)=Z[f*(t)],它并不是連續函數的Z變換，但習慣上也稱F(z)為f(t)的Z變換，

Z變換本身包含著離散的概念。

總之：

Z變換的重要含義在于延遲與離散。

無窮遞減等比級數的和1.單位脈沖函數(脈沖強度)二.典型函數（或序列）的Z變換

2.單位階躍函數()3.單位斜坡函數單位階躍Z變換兩邊對z求導,再乘以z。又：

5.正弦、余弦函數

歐拉公式4.指數函數

§3.2

Z變換的重要性質和定理

1.線性性質

設

則

脈沖序列線性組合的Z變換，等于其Z變換的線性組合。

2.平移定理(1)滯后定理（右移定理）

設

且

則：

一.Z變換的主要性質證：按Z變換的定義展開，注意到零初始條件從k=n項開始展開含義：y(kT-nT)是滯后于采樣信號

y(kT)

n個采樣周期的采樣信號，

z-n代表滯后n拍開始采樣。

例1：求有純滯后的單位階躍函數的Z變換。

例2

求

的Z變換。

解：

ak-1

是序列ak

滯后一拍的采樣函數。(2)超前定理（左移定理）思考：的Z變換。

y(kT+nT)是超前于y(kT)n拍的采樣信號，

zn代表超前n拍。例33初值定理

4終值定理若Z[y(kT)]=Y(z),且(z-1)Y(z)的全部極點都在單位圓內，則在零初始條件下?證：∵兩式相減：左邊：兩邊取極限右邊：

左邊=∴解

∵F(z)是f(t)=1-e-at的Z變換，顯然例4：

求f(∞)

的全部極點都在單位圓內，等效于Y(z)可以有一個極點為1，在單位圓上,而其余極點必須全在單位圓內。否則，不能使用終值定理。

注意：

5迭值定理*設

(前k項之和)

則6離散卷積定理*

若則

可由Z變換的定義證明（例3.6）教材P49,第18項有誤！

7乘ak

后的Z變換若

則

證：

8復數平移定理：(乘

e-at

的Z變換)設證:

同理：則例5：求te-at

的Z變換由復數平移定理：同理可求二.求Z變換的方法

▲按定義計算（無窮級數求和）見典型函數Z變換

▲基于Z變換的定理

▲已知F(s)求F(z)

1.按定義計算

注意z-k的延遲含義。例：用定義法求下列函數序列的Z變換解：公比：a2z-2;b2z-2

2.基于Z變換的定理(2)部分分式法：將Y(s)展成部分分式，逐項查表(3)留數計算法

例6：已知函數求Y(z)解查表?3.已知F(s)求F(z)

(1)原函數法：先由F(s)求f(t)，再計算F(z)留數計算法式中：qi為Y(s)的極點pi的階數（重極點個數）；m為Y(s)彼此不同極點的個數。留數計算法對有理函數和無理函數都適用。例7求函數

的Z變換。解：

s=-a為二重根，∴q=2,m=1MATLAB:F=F(s)f=ilaplace(F)Z=ztranse(f)Z=simple(Z)(默認T=1)§3.3

Z反變換▼長除法;▼部分分式法;▼留數計算法一.長除法分母首一化，分子與分母都寫成z-1的升冪形式，逐項相除；給出各拍數值。例1：求下式的Z反變換(演算)MATLAB程序：v=[012000000]u=[5-1.50.5][q,r]=deconv(v,u)q=[02.40.72–0.024–0.0792–0.0214]Y(z)=2.4z-1+0.72z-2-0.024z-3+...y(0)

=?y(3T)

=?采樣信號：f*(t)=2.4(t-T)+0.72(t-2T)–0.024(t-3T)+…二.部分分式展開法(1)Y(z)無重極點將展成部分分式例2：見教材例3.13,3.14.注意結果的最后表達(2)有非零的重極點時，二重極點展成查表或者將重極點展開成：用對比系數法或求導法確定b1,b2表3.2第20項?例3：求

的Z反變換解：

求出c1=-20

，b1=7,b2=2,例4：教材例3.15求得b2=b1=-1,c=2,代入注意三留數計算法（反演積分法）

f(kT)等于F(z)zk-1全部極點留數之和

（1）F(z)zk-1中非重極點pi的留數(2)

F(z)zk-1中q重極點pj的留數注意：(1)一個重極點