引言正如有限中包含著無窮級數,而無限中呈現極限一樣,無限之靈魂居于細微之處,而最緊密地趨近極限卻并無止境.區分無窮大之中的細節令人喜小中見大,多么偉大的神力.------雅克.伯努利無窮級數是數與函數的一種重要表達形式,也是微積分理論研究無窮級數在表達函數、研究函數的性質、計算函數值以及求解微分方程等方面悅!與實際應用中極其有力的工具.都有著重要的應用.的另一種形式,但無論在研究極限的存在性還是在計算這種極限的時候,這種形式都顯示出很大的優本章先介紹無窮級數的一些基本內容,然后再討論常數項級數、函數項級數,并著重討論如何將函數展開成冪級數的問題.越性.研究無窮級數及其和,可以說是研究數列及其極限一、問題的提出二、常數項級數的概念三、等比級數及其在經濟學上的應用四、無窮級數的基本性質五、小結第一節常數項級數的概念和性質一、問題的提出我們在前面所學的定積分，所表達的是一類和式極限。有限和的極限實際上是無窮多個數相加之和，所謂和式極限存在是指無窮多項相加之和是一個有限數。下面我們將專門研究無窮和的問題，并把無窮多個數相加的式子稱為無窮級數，簡稱級數。

“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，如果把每天截取的棒長相加，到第n天所得之棒長之和為：

此時上式中的加項無窮增多，成為無窮多個數相加的式子，這就是級數。計算棒長顯然總的棒長小于1，并且n的值愈大，其數值愈接近于1；當時，的極限為1。二、常數項級數的概念設有無窮數列稱和式(1)為(常數項)無窮級數,簡稱為級數.其中稱為級數的一般項或通項.級數(1)的前項的和(2)稱為級數(1)的前項部分和.時,當依次取它們構成一個新的數列即數列稱為部分和數列.例1寫出級數一般項.解分母是偶數的連乘積，而且第一項為偶數，二項是兩個偶數之積，第三項是三個偶數之積，，第項是個偶數之積，故可寫成而分子為奇數，故第項為于是該級數的一般項為的第例2已知級數的前項的部分和求這個級數.解因為所以從而故所求級數為.2.級數的收斂與發散定義如果級數的部分和數列存在極限即則稱無窮級數收斂,極限稱為級數的和,并寫成如果沒有極限,則稱無窮級數發散.發散,如果級數收斂于則部分和們之間的差(3)稱為級數的余項.顯然有而是用近似代替所產生的誤差.注:按定義,級數與數列同時收斂或同時它例3討論級數的收斂性.解所以即題設級數收斂，其和為1.解故所給算術級數是發散的

例6證明一反證法證明二三、等比級數及其在經濟學上的應用1.等比級數（幾何級數）定義

其中叫做公比.

2.等比級數（幾何級數）斂散性定理

收斂

發散

發散

發散

綜上解已知級數為等比級數，四、無窮級數的基本性質性質1在級數中去掉、加上或改變有限項,不會改變級數的收斂性.證這里只證明“改變級數的前面有限項不會改變級數的收斂性”,其它兩種情況容易由此結果設有級數(1)得到一個新的級數(2)推出.若改變它的前個有限項,設級數(1)的前項和為則設級數(2)的前項和為則于是,數列與具有相同的收斂性,即級數(1)與(2)具有相同的收斂性.性質2如果級數分別收斂于和則對任意常數級數收斂,且證設級數及的部分和分別為及則于是因此收斂,且結論:收斂級數可以逐項相加與逐項相減.問題:1.級數一個收斂一個發散能否得出肯定結論？2.兩個級數都發散能否得出肯定結論？（1.發散；2.不一定.)設級數收斂，發散，證明：發散.證用反證法,已知收斂,假定收斂,由收斂,這與題設矛盾,所以級數發散.與級數性質得知例如:1.級數2.級數發散解例9解例10證明注意1.收斂級數可以加括弧，但收斂級數去括弧后所成的級數不一定收斂.

收斂

發散3.正項級數加括弧與去括弧均不影響其斂散性.證明注意1.