單級倒立擺系統在水平方向，應用牛頓第二定律：在垂直于擺桿方向，應用牛頓第二定律：而有：線性化：當和較小時，有化簡后，得求解得：選擇狀態變量，，，為系統輸入，為系統輸出選取四個研究對象作為狀態變量，分別為：位移y、小車的速度、擺的角速度θ及其角速度

狀態圖為方便研究，假定系統的參數M=4kg,m=0.2kg,l=1m,則系統狀態方程中參數矩陣為：此時倒置擺的狀態空間模型表達式為：

系統特性分析

作為被控制的倒置擺，當它向左或向右傾倒時，能否通過控制作用使它回復到原直立位置，這取決于其能控性。該電橋系統中,電源電壓u(t)為輸入變量,并選擇兩電容器兩端的電壓為狀態變量x1(t)和x2(t)。試分析電源電壓u(t)對兩個狀態變量的控制能力。例

某電橋系統的模型如圖所示。由電路理論知識可知,若圖所示的電橋系統是平衡的(例Z1=Z2=Z3=Z4),電容C2的電壓x2(t)是不能通過輸入電壓u(t)改變的,即狀態變量x2(t)是不能控的,則系統是不完全能控的。若圖所示的電橋系統是不平衡的,兩電容的電壓x1(t)和x2(t)可以通過輸入電壓u(t)控制,則系統是能控的。判定方法特點判據矩陣指數函數判據代數判據模態判據1模態判據2矩陣函數e-AtB的各行函數線性獨立能控性矩陣Qc=[BAB…An-1B]滿秩約旦標準形中同一特征值對應的B矩陣分塊的最后一行線性無關對于所有特征值

,rank[I-A

B]=n需要求矩陣指數函數并判定函數相關,計算復雜計算簡便可行。缺點為不知道狀態空間中哪些變量(特征值/極點)能控易于分析狀態空間中哪些變量(特征值/極點)能控。缺點為需變換成約旦標準形易于分析哪些特征值(極點)能控。缺點為需求系統的特征值通過秩判據判斷能控性，將有關數據帶入該判據，可得系統是可控的，可設計控制器實現系統的穩定。也就是說設計控制器的目的就是使倒立擺系統動態穩定，即保持擺桿在垂直的位置上。穩定性分析

Lyapunov第二法由單倒置擺系統的狀態方程，可求的其特征方程為：解得特征值為0,0，3.2078，-3.2078。四個特征值中存在一個正根，兩個零根，還有一個負根，這說明單倒置擺系統，即被控系統不穩定的。Lyapunov第一法A的所有特征值均具有負實部定理：線性時不變系統漸近穩定的的充分必要條件是存在一個對稱正定矩陣P，使得矩陣不等式成立ATP+PA<0Lyapunov第二法狀態反饋控制器設計在控制系統設計中，若需通過狀態反饋使閉環系統漸進穩定，可以利用極點配置狀態反饋的方法，還可以采用李雅普諾夫第二法來確定系統的控制方案。狀態反饋控制器設計線性連續定常系統（1）

其中為系統的狀態變量，為系統的輸入變量。系數矩陣和為不依賴狀態和輸入的常矩陣。狀態反饋控制規律形式為u（t）=Kx（t）（2）其中K為控制器增益矩陣，是待設計矩陣。由系統（1）和控制律（2）構成的閉環系統為

根據前面的定理，可以得到如下設計狀態反饋控制器增益矩陣的算法。定理：對于系統（1）存在狀態反饋控制器（2）使得閉環系統（3）漸進穩定的充分必要條件為對于正定矩陣X>0