常微分方程習題課2一存在唯一性定理定理1考慮初值問題命題1

初值問題(3.1)等價于積分方程構造Picard逐步逼近函數列命題2命題4命題3命題5二、近似計算和誤差估計求方程近似解的方法---Picard逐步逼近法,這里1.解的延拓定理定理三、解對初值的連續性和可微性定理2.解對初值的連續依賴性定理條件:

I.

在G內連續且關于滿足局部Lips.條件;II.是(1)滿足的解,定義區間為[a,b].結論:

對

,

使得當時,方程(1)過點的解在[a,b]上也有定義,且方程3.解對初值的連續性定理條件:

在G內連續且關于滿足局部Lips.條件;方程結論:在它的存在范圍內是連續的.,作為的函數4.解對初值和參數的連續依賴定理5.解對初值和參數的連續性定理6.解對初值可微性定理（4.1）四、n階線性微分方程（4.2）定理1：如果方程（4.1）存在惟一的解

上，滿足下列及都是區間上的連續函數，則對于任一及任意的定義于區間（4.3）初始條件伏朗斯基行列式:由定義在區間上的k個k-1次可微函數所作成的行列式稱為這些函數的Wronskian行列式,通常記做定理3

如果函數組

在區間(a,b)上線性相關,則在(a,b)上它們的Wronskian行列式恒等于零,即.定理4

若方程（4.2）的解

上線性無關,則在該區間上任何點都不為零，即在區間定理6(通解結構定理)若

線性無關的解,則方程(4.2)得通解可表示為是方程（4.2）的n個其中是任意常數，且通解（4.5）包括（4.5）方程（4.2）的所有解。定理7設為方程（4.2）的基本解組，而為方程（4.1）的某一解，則方程（4.1）的通解可表為(4.8)其中為任意常數，而且該通解包括了方程（4.1）的所有解。常數變易法求特解為求（4.1)的一個特解,將(4.8)中的常數看成關于t的函數,此時(4.8)式變為是方程（4.2）的n個線性設無關的解，因而(4.2)的通解為(4.9)(4.10)將(4.10)代入(4.1)得到一個所滿足的關系式.由上面方程組求得積分得

得（4.1）的通解定理8

如果方程（4.2）中所有系數都是實值函數.而是該方程的復值解,則以及共軛復數的實部和虛部也都是方程（4.2）的解.定理9

如果方程有復值解都是實值函數，則U(t)和V(t)分別是方程其中和的解。

常系數齊次線性方程

其中為常數。（4.11）求方程（4.11）的通解的一般步驟：第二步計算方程相應的解

第一步求方程的特征方程及特征根

a)對每一個單實根

有解b)對每一個m>1重實根方程有m個解方程有兩個如下形式的解：方程有2m個如下形式的解：

第三步根據第二步寫出基本解組和通解c)對每一個重數為1的共軛復根

d)對每一個重數m>1的共軛復根

歐拉方程

這里為常數.解法一：令

則解法二：直接代入法以代入方程并約去因子得確定K的代數方程常系數非齊次線性方程

（4.24）比較系數法方程（4.24）有特解形如類型Ⅰ其中是實常數.（4.25）其中k為特征方程的根的重數，為待定常數。類型Ⅱ

其中設為常數，而是帶實系數的t的多項式，其中一個的次數為m，而另一個的次數不超過m，則方程有特解形如(4.29)其中k為特征方程的根的重數，而P(t),Q(t)為待定的帶實系數的次數不超過m的t的多項式。特殊情形：或方法：復數法。先用類型Ⅰ的方法求的特解，再由定理9得到所求方程的解——取實部或虛部。

解題步驟:第一步:第二步:求上面方程的通解即第三步:對上式求k次積分,即得原方程的通解五、可降階的一些方程類型

1、不顯含自變量x的方程

2不顯含自變量t的方程,

一般形式:因為

解題步驟:第一步:第二步:求以上方程的通解第三步:解方程即得原方程的通解

2、不顯含自變量t的方程

一般形式:3.齊線性方程求解問題歸結為尋求方程的n個線性無關的特解。解法：已知方程的一個解，利用變換將方程降低一階。

一般地，已知方程的k個線性無關解，可通過一系列同類型的變換，使方程降低k階，且新得到的n-k階方程也是齊次的。1.設是方程的解，且滿足在R上連續，試證明：存在常數C，使得證明：因為方程的兩個解，故在R上有定義，且則所以線性相關。（見書124頁定理4.）即存在不全為零的數，使得因所以否則有可得即線性無關，矛盾。故2.在方程中，已知在R上連續，證明：該方程的任一非零解在xoy平面上不能與x軸相切。證明：由已知條件知該方程滿足解的存在唯一