幾何證明舉例等腰三角形的性質與判定1.如圖，在△ABC中，（1）如果AB=AC，可得

,（2）如果∠B=∠C，可得

,∠B=∠CAB=AC預習檢測?2.等腰三角形的一邊長為3cm,另一邊長為4cm,則它的周長是

；3.等腰三角形的一邊長為3cm,另一邊長為8cm,則它的周長是

。4.等腰三角形一個角為110°,它的另外兩個角為_______。

ABC10cm或11cm19cm35°，35°1.進一步掌握證明的基本步驟和書寫格式。2.能用“公理”和“已經證明的定理”為依據，證明等腰三角形的性質定理和判定定理。學習目標4.這些性質都是真命題嗎？你能否用從基本事實出發，對它們進行證明？1.我們學習了證明的相關知識，你還記得我們依據哪些基本事實，證明了哪些定理？你能說出來嗎？

回顧與思考?2.我們已經學習過等腰三角形，我們來回憶一下下列幾個問題：(1)什么叫做等腰三角形？（等腰三角形的定義）(2)等腰三角形有哪些性質？等腰三角形的兩底角相等（簡稱等邊對等角）。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合（等腰三角形的三線合一）。3.上述性質你是怎么得到的？軸對稱的性質合作與探究證明：等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）已知：如圖,在△ABC中,AB=AC.求證：∠B=∠C分析：常見輔助線做法（1）作頂角的平分線（2）作底邊上的中線；ABCD12證明：等腰三角形的兩個底角相等已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC．求證：∠B＝∠C．ABCD怎么想怎么寫要證∠B＝∠C．

只需證△ABD≌△ACD只需有 AB＝AC

∠

BAD＝

∠CADAD＝AD合作與探究證明：過點A作∠BAC的角平分線交BC于點D

D根據以上證明，我們還可以得到什么結論？結論1：等腰三角形頂角的平分線平分底邊并且垂直于底邊。ＡＢＣ已知：求證：△ABC中，AB＝AC∠Ｂ＝∠Ｃ即得到AD⊥BC和BD=CD

AB=AC(已知) ∠BAD=∠CAD(已證) AD=AD(公共邊)∴△BAD≌△CAD(SAS)∴∠B=∠C(全等三角形對應角相等)∴∠BAD=∠CAD(角平分線定義)在△BAD與△CAD中∵ＡＢＣ已知：△ABC中，AB＝AC求證：∠Ｂ＝∠Ｃ證明：作BC邊上的中線

AD

D

AB=AC(已知) BD=CD（已證）

AD=AD(公共邊)∴△BAD≌△CAD(SSS)∴∠B=∠C(全等三角形對應角相等)∴BD=CD(中線定義)∵在△BAD與△CAD中即得到∠BAD=∠CAD和AD⊥BC根據以上證明，我們還可以得到什么結論？等腰三角形底邊上的中線平分頂角并且垂直于底邊。CBA等腰三角形的性質定理1:等腰三角形的兩個底角相等。在△ABC中，∵AC=AB（

）∴∠B=∠C(

）已知等邊對等角通過證明我們發現:等腰三角形的兩個底角相等是真命題。可以作為證明其他命題的依據。符號表示：通過證明我們不僅發現等要三角形的兩底角相等成立，而且還得到如下結論也是成立的成立的。等腰三角形的頂角平分線﹑底邊上的中線﹑底邊上的高互相重合(簡稱“三線合一”).交流與發現這個結論是真命題，我們把它作為證明其他命題的依據，并且把它叫做等腰三角形的性質定理！ACBDACBD∥∥⑵∵AB=AC,圖⑵圖⑶∟12∥ACBD12性質定理2：等腰三角形的頂角平分線﹑底邊上的中線﹑底邊上的高互相重合(簡稱“三線合一”).∟符號語言⑴∵AB=AC,∴AD⊥BC,BD=CD.∠1=∠2,∴AD⊥BCBD=CD,∠1=∠2.⑶∵AB=AC,AD⊥BC∴BD=CD,∠1=∠2.圖⑴∟∥12

寫出“等腰三角形的兩個底角相等”的逆命題，如何證明這個逆命題是正確的？要求：（1）寫出它的逆命題：＿＿＿＿＿＿。（2）畫出圖形，寫出已知、求證，并進行證明。

交流與發現如果一個三角形的兩個角相等,那么這兩個角所對的邊也相等.

(簡稱“等角對等邊”).ABC求證：AB=AC.已知：如圖,在△ABC中,∠B=∠C.D證明：作AD⊥BC,垂足為D,∠ADB=∠ADC=90°(已證)，在△ABD和△ACD中，∴△ABD≌△ACD(AAS)∠B=∠C(已知)，AD=AD(公共邊)，∴AB=AC(全等三角形的對應邊相等)∟如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。（簡稱等角對等邊）則∠ADB=∠ADC=90等腰三角形的判定定理:如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等。（簡稱等角對等邊）CBA符號表示：在△ABC中，∵∠B=∠C

（

）∴AC=AB(等角對等邊）已知例題解析例1.已知：如圖：∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC.求證：AB=AC.ABCDE證明：（已知）（角平分線定義）（已知）（二直線平行，同位角相等）（二直線平行，內錯角相等）（等量代換）（等角對等邊）例2.求證：等邊三角形的每個內角都等于60°.ABC證明：（已知）（等要三角形的兩個底角相等）（等式的性質）（三角形的內角和定理）（等量代換）（等式的性質）

如果一個三角形的每個內角都等于600，那么這個三角形是等邊三角形。

等邊三角形判定定理：如果一個三角形的兩個內角都等于600，那么這個三角形是等邊三角形。逆命題是真命題：逆命題減少一個等于600角后,仍然是真命題.交流與探索

思考：等邊三角形的每個內角都等于600的逆命題是什么？這個逆命題是真命題嗎？你能把這個逆命題的條件適當減少,使它仍然是真命題嗎？練習CBAD（1）名稱圖形概念性質與邊角關系

判定

等腰三角形ABC有兩邊相等的三角形是等腰三角形。2.等邊對等角,3.三線合一。4.是軸對稱圖形.2.等角對等邊,1.兩邊相等。1.兩腰相等.小結小結

在等腰三角形中，頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高是常用的輔助線，通過添畫輔助線，把一個等腰三角形分成一對全等三角形。等腰三角形的性質定理是一個三角形中由兩邊相等證明兩角相等的依據；等腰三角形的判定定理，是一個由兩角相等證明兩邊相等的依據。證明中常用的一種思考方法：從需要證明的結論出發，逆推出要使結論成立所需要的條件，再把這樣的“條件”看作“結論”，一步一步逆推，直至歸結為已知條件。等邊三角形的性質定理：等邊三角形的每個內角都等于600.等腰三角形的判定方法有下列幾種：