向量的數(shù)量積新知探究問題1

前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的加法和減法，請你歸納一下它們的結(jié)果有什么共同的特點(diǎn)？向量的加法和減法的運(yùn)算結(jié)果仍是向量．新知探究問題2

向量與向量之間有沒有“乘法”呢？如果有，這種新的運(yùn)算結(jié)果又是什么呢？還有，向量的加法與減法都能從物理學(xué)知識(shí)找到“原型”，如力的合成與分解．那么，在物理學(xué)中有沒有關(guān)于向量乘法的“原型”呢？請你具體說說．向量與向量之間有“乘法”，其運(yùn)算結(jié)果是數(shù)．如圖所示，如果一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s，那么力F所做的功W＝｜F｜｜s｜c(diǎn)osθ，其中θ是F與s的夾角，注意θ要滿足的條件是0°≤θ≤180°．sFF1F2θ新知探究問題3

物理學(xué)中“求力所做的功”是兩個(gè)矢量間的某種運(yùn)算，在數(shù)學(xué)上，矢量不考慮作用點(diǎn)就是向量，如果是兩個(gè)向量，你能“定義”這種新的運(yùn)算嗎？思考后完成下表．兩個(gè)矢量F和s兩個(gè)向量a與bF和s的夾角θW＝｜F｜｜s｜c(diǎn)osθa·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθa與b的夾角是θ新知探究問題4

零向量有沒有數(shù)量積呢？應(yīng)該如何定義？有，零向量的數(shù)量積是零．新知探究問題5

向量夾角與數(shù)量積的符號(hào)有什么關(guān)系？當(dāng)0°≤<a，b>＜90°時(shí)，a·b＞0；當(dāng)<a，b>＝90°時(shí)，a·b＝0；當(dāng)90°＜<a，b>≤180°時(shí)，a·b＜0；當(dāng)<a，b>＝0°時(shí)，a·b＝｜a｜｜b｜；當(dāng)<a，b>＝180°時(shí)，a·b＝－｜a｜｜b｜．新知探究

A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等腰直角三角形

又∵B為△ABC的內(nèi)角，∴cosB＜0，∴＜B＜π，故A正確．

A新知探究問題7

在初中我們學(xué)過的投影的定義是什么？一般地，用光線照射物體，在某個(gè)平面（地面、墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影．新知探究水平的力在做功，即功還可以理解為力F的水平分力的大小｜F｜c(diǎn)osθ與位移的大小｜s｜的乘積．問題8

回到功的物理意義：小物塊在力F的作用下在水平方向上運(yùn)動(dòng)位移s，如果把力F分解成水平分力和垂直分力，那么哪個(gè)力在真正做功呢？問題9

再抽去物理意義，｜b｜c(diǎn)osθ的含義是什么呢？向量b在a方向上的投影．新知探究問題10

根據(jù)上述分析，你能給出投影向量的定義嗎？如圖所示，已知兩個(gè)非零向量a和b，

｜a｜c(diǎn)os<a，b>稱為投影向量r的數(shù)量，也稱為向量a在向量b方向上的投影數(shù)量，BAA′brO可以表示為a·．

a新知探究問題11

向量數(shù)量積的幾何意義是什么？幾何意義是：或a的長度｜a｜與b在a方向上投影數(shù)量｜b｜c(diǎn)osθ的乘積．a(chǎn)與b的數(shù)量積等于b的長度｜b｜與a在b方向上的投影數(shù)量｜a｜c(diǎn)osθ的乘積．新知探究問題12

已知兩個(gè)非零向量a

，b

，θ為a與b的夾角，e為與b

方向相同的單位向量．據(jù)數(shù)量積公式，計(jì)算a·e，a·a．a(chǎn)·e＝｜a

｜｜e

｜c(diǎn)osθ＝｜a

｜c(diǎn)osθ，a·a＝｜a

｜·｜a

｜c(diǎn)os0°＝｜a

｜2．新知探究追問1：若a·b＝0，則a與b有什么關(guān)系？a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cosθ＝0，θ＝90°，a⊥b．追問2：當(dāng)θ＝0°和180°時(shí)，數(shù)量積a·b分別是什么？當(dāng)θ＝0°時(shí)，a·b＝｜a

｜·｜b｜；當(dāng)θ＝180°時(shí)，a·b＝－｜a

｜·｜b｜．新知探究問題13

你能寫出向量數(shù)量積的性質(zhì)嗎？數(shù)量積的性質(zhì)（1）若e是單位向量，則e·a＝a·e＝｜a｜c(diǎn)osθ．（2）若a·b＝0?a⊥b．

（4）cosθ＝

（｜a｜｜b｜≠0）．

（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜，當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立．新知探究問題14

a·（b·c）＝（a·b）·c成立嗎？（a·b）·c≠a·（b·c），因?yàn)閍·b，b·c是數(shù)量積，是實(shí)數(shù)，不是向量，因此，（a·b）·c＝a·（b·c）在一般情況下不成立．所以（a·b）·c與向量c共線，a·（b·c）與向量a共線．例1

如圖，已知向量a與b，其中｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b的夾角是150°．初步應(yīng)用（1）求a·b；（2）求向量b在a方向上的投影數(shù)量，并畫圖解釋．

（詳解參考教材P102例1的解析）ababOBB1Aθ初步應(yīng)用例2

已知向量a，b，c，其中｜a｜＝4，｜b｜＝6，且a與c的夾角θ＝120°，b與c的夾角γ＝60°，求a＋b在c方向上的投影數(shù)量．1（詳解參考教材P103例2的解析）例1

已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a－b）＝43．初步應(yīng)用（1）求a與b的夾角θ；（3）若（a－b）⊥（a＋λb），求實(shí)數(shù)λ的值．（2）求｜a＋b｜；解答：（1）∵（2a－3b）·（2a－b）＝4a2－8a·b＋3b2＝64－8a·b＋27＝43，∴a·b＝6，即｜a｜·｜b｜c(diǎn)osθ＝12cosθ＝6，∴cosθ＝

，

∵θ∈［0，π］，

∴θ＝

．例1

已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a－b）＝43．初步應(yīng)用（1）求a與b的夾角θ；（3）若（a－b）⊥（a＋λb），求實(shí)數(shù)λ的值．（2）求｜a＋b｜；（2）∵｜a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋12＋9＝37，（3）∵（a－b）⊥（a＋λb），（a－b）·（a＋λb）＝0，即a2＋（λ－1）a·b－λb2＝16＋6（λ－1）－9λ＝0，

解得：λ＝

．

初步應(yīng)用追問1：若a⊥b，則a·b等于多少？反之成立嗎？a·b＝0?a⊥b．追問2：｜a·b｜與｜a｜·｜b｜的大小關(guān)系如何？為什么？｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜．因?yàn)椋黙·b｜＝｜a｜·｜b｜·｜c(diǎn)osθ｜．由｜c(diǎn)osθ｜≤1，可得｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜．初步應(yīng)用追問3：對(duì)于向量a，b，如何求它們的夾角θ？求夾角θ時(shí)先求兩個(gè)向量a，b夾角的余弦值．然后根據(jù)向量夾角的取值范圍求角．課堂練習(xí)練習(xí)：教科書第103頁練習(xí)1，2，3，4．歸納小結(jié)（1）從向量運(yùn)算角度看，數(shù)量積是向量與向量之間的一種運(yùn)算，數(shù)量積運(yùn)算既有數(shù)量關(guān)系的表達(dá)式，又有明顯的幾何意義．（2）從知識(shí)間聯(lián)系的觀點(diǎn)看，數(shù)量積的表達(dá)式中有向量、向量的模、向量的夾角，這比以前的任何一種運(yùn)算都豐富．（3）從解決問題的角度看，在一定的條件下，可以運(yùn)用向量的數(shù)量積，用代數(shù)運(yùn)算的方法求向量的模的大小、向量的夾角的大小，進(jìn)而可以解決幾何問題中的有關(guān)平行、垂直的證明或角度等問題．（4）有一句話：如果沒有運(yùn)算，向量只是一“路標(biāo)”，因?yàn)橛辛诉\(yùn)算，向量的力量無限．問題15

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平面向量的一種新型運(yùn)算——平面向量的數(shù)量積，與前面幾種運(yùn)算相比，請你說說這種運(yùn)算具有怎樣的特點(diǎn)？作業(yè)布置作業(yè)：教科書第107頁，A組1，2，3，B組1，2．1目標(biāo)檢測A已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，a與b的夾角為

，則a·b等于（）A．1B．2C．3D．4

解析：a·b＝1×2×cos＝1，故選A．

2目標(biāo)檢測D已知｜a｜＝8，｜b｜＝4，<a，b>＝120°，則向量b在a方向上的投影為（）A．4B．－4C．2D．－2解析：向量b在a方向上的投影為｜b｜c(diǎn)os<a，b>＝4×cos120°＝－2．3目標(biāo)檢測2已知兩個(gè)單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋（1－t）b．若b·c＝0，則