向量的數量積新知探究問題1

前面我們已經學習了向量的加法和減法，請你歸納一下它們的結果有什么共同的特點？向量的加法和減法的運算結果仍是向量．新知探究問題2

向量與向量之間有沒有“乘法”呢？如果有，這種新的運算結果又是什么呢？還有，向量的加法與減法都能從物理學知識找到“原型”，如力的合成與分解．那么，在物理學中有沒有關于向量乘法的“原型”呢？請你具體說說．向量與向量之間有“乘法”，其運算結果是數．如圖所示，如果一個物體在力F的作用下產生位移s，那么力F所做的功W＝｜F｜｜s｜cosθ，其中θ是F與s的夾角，注意θ要滿足的條件是0°≤θ≤180°．sFF1F2θ新知探究問題3

物理學中“求力所做的功”是兩個矢量間的某種運算，在數學上，矢量不考慮作用點就是向量，如果是兩個向量，你能“定義”這種新的運算嗎？思考后完成下表．兩個矢量F和s兩個向量a與bF和s的夾角θW＝｜F｜｜s｜cosθa·b＝｜a｜｜b｜cosθa與b的夾角是θ新知探究問題4

零向量有沒有數量積呢？應該如何定義？有，零向量的數量積是零．新知探究問題5

向量夾角與數量積的符號有什么關系？當0°≤<a，b>＜90°時，a·b＞0；當<a，b>＝90°時，a·b＝0；當90°＜<a，b>≤180°時，a·b＜0；當<a，b>＝0°時，a·b＝｜a｜｜b｜；當<a，b>＝180°時，a·b＝－｜a｜｜b｜．新知探究

A．鈍角三角形B．直角三角形C．銳角三角形D．等腰直角三角形

又∵B為△ABC的內角，∴cosB＜0，∴＜B＜π，故A正確．

A新知探究問題7

在初中我們學過的投影的定義是什么？一般地，用光線照射物體，在某個平面（地面、墻壁等）上得到的影子叫做物體的投影．新知探究水平的力在做功，即功還可以理解為力F的水平分力的大小｜F｜cosθ與位移的大小｜s｜的乘積．問題8

回到功的物理意義：小物塊在力F的作用下在水平方向上運動位移s，如果把力F分解成水平分力和垂直分力，那么哪個力在真正做功呢？問題9

再抽去物理意義，｜b｜cosθ的含義是什么呢？向量b在a方向上的投影．新知探究問題10

根據上述分析，你能給出投影向量的定義嗎？如圖所示，已知兩個非零向量a和b，

｜a｜cos<a，b>稱為投影向量r的數量，也稱為向量a在向量b方向上的投影數量，BAA′brO可以表示為a·．

a新知探究問題11

向量數量積的幾何意義是什么？幾何意義是：或a的長度｜a｜與b在a方向上投影數量｜b｜cosθ的乘積．a與b的數量積等于b的長度｜b｜與a在b方向上的投影數量｜a｜cosθ的乘積．新知探究問題12

已知兩個非零向量a

，b

，θ為a與b的夾角，e為與b

方向相同的單位向量．據數量積公式，計算a·e，a·a．a·e＝｜a

｜｜e

｜cosθ＝｜a

｜cosθ，a·a＝｜a

｜·｜a

｜cos0°＝｜a

｜2．新知探究追問1：若a·b＝0，則a與b有什么關系？a·b＝0，a≠0，b≠0，∴cosθ＝0，θ＝90°，a⊥b．追問2：當θ＝0°和180°時，數量積a·b分別是什么？當θ＝0°時，a·b＝｜a

｜·｜b｜；當θ＝180°時，a·b＝－｜a

｜·｜b｜．新知探究問題13

你能寫出向量數量積的性質嗎？數量積的性質（1）若e是單位向量，則e·a＝a·e＝｜a｜cosθ．（2）若a·b＝0?a⊥b．

（4）cosθ＝

（｜a｜｜b｜≠0）．

（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜，當且僅當a∥b時等號成立．新知探究問題14

a·（b·c）＝（a·b）·c成立嗎？（a·b）·c≠a·（b·c），因為a·b，b·c是數量積，是實數，不是向量，因此，（a·b）·c＝a·（b·c）在一般情況下不成立．所以（a·b）·c與向量c共線，a·（b·c）與向量a共線．例1

如圖，已知向量a與b，其中｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b的夾角是150°．初步應用（1）求a·b；（2）求向量b在a方向上的投影數量，并畫圖解釋．

（詳解參考教材P102例1的解析）ababOBB1Aθ初步應用例2

已知向量a，b，c，其中｜a｜＝4，｜b｜＝6，且a與c的夾角θ＝120°，b與c的夾角γ＝60°，求a＋b在c方向上的投影數量．1（詳解參考教材P103例2的解析）例1

已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a－b）＝43．初步應用（1）求a與b的夾角θ；（3）若（a－b）⊥（a＋λb），求實數λ的值．（2）求｜a＋b｜；解答：（1）∵（2a－3b）·（2a－b）＝4a2－8a·b＋3b2＝64－8a·b＋27＝43，∴a·b＝6，即｜a｜·｜b｜cosθ＝12cosθ＝6，∴cosθ＝

，

∵θ∈［0，π］，

∴θ＝

．例1

已知｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a－b）＝43．初步應用（1）求a與b的夾角θ；（3）若（a－b）⊥（a＋λb），求實數λ的值．（2）求｜a＋b｜；（2）∵｜a＋b｜2＝（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋12＋9＝37，（3）∵（a－b）⊥（a＋λb），（a－b）·（a＋λb）＝0，即a2＋（λ－1）a·b－λb2＝16＋6（λ－1）－9λ＝0，

解得：λ＝

．

初步應用追問1：若a⊥b，則a·b等于多少？反之成立嗎？a·b＝0?a⊥b．追問2：｜a·b｜與｜a｜·｜b｜的大小關系如何？為什么？｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜．因為｜a·b｜＝｜a｜·｜b｜·｜cosθ｜．由｜cosθ｜≤1，可得｜a·b｜≤｜a｜·｜b｜．初步應用追問3：對于向量a，b，如何求它們的夾角θ？求夾角θ時先求兩個向量a，b夾角的余弦值．然后根據向量夾角的取值范圍求角．課堂練習練習：教科書第103頁練習1，2，3，4．歸納小結（1）從向量運算角度看，數量積是向量與向量之間的一種運算，數量積運算既有數量關系的表達式，又有明顯的幾何意義．（2）從知識間聯系的觀點看，數量積的表達式中有向量、向量的模、向量的夾角，這比以前的任何一種運算都豐富．（3）從解決問題的角度看，在一定的條件下，可以運用向量的數量積，用代數運算的方法求向量的模的大小、向量的夾角的大小，進而可以解決幾何問題中的有關平行、垂直的證明或角度等問題．（4）有一句話：如果沒有運算，向量只是一“路標”，因為有了運算，向量的力量無限．問題15

本節課我們學習了平面向量的一種新型運算——平面向量的數量積，與前面幾種運算相比，請你說說這種運算具有怎樣的特點？作業布置作業：教科書第107頁，A組1，2，3，B組1，2．1目標檢測A已知｜a｜＝1，｜b｜＝2，a與b的夾角為

，則a·b等于（）A．1B．2C．3D．4

解析：a·b＝1×2×cos＝1，故選A．

2目標檢測D已知｜a｜＝8，｜b｜＝4，<a，b>＝120°，則向量b在a方向上的投影為（）A．4B．－4C．2D．－2解析：向量b在a方向上的投影為｜b｜cos<a，b>＝4×cos120°＝－2．3目標檢測2已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋（1－t）b．若b·c＝0，則