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文檔簡介
向量的數(shù)量積新知探究問題1
前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了向量的加法和減法,請你歸納一下它們的結(jié)果有什么共同的特點(diǎn)?向量的加法和減法的運(yùn)算結(jié)果仍是向量.新知探究問題2
向量與向量之間有沒有“乘法”呢?如果有,這種新的運(yùn)算結(jié)果又是什么呢?還有,向量的加法與減法都能從物理學(xué)知識(shí)找到“原型”,如力的合成與分解.那么,在物理學(xué)中有沒有關(guān)于向量乘法的“原型”呢?請你具體說說.向量與向量之間有“乘法”,其運(yùn)算結(jié)果是數(shù).如圖所示,如果一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s,那么力F所做的功W=|F||s|c(diǎn)osθ,其中θ是F與s的夾角,注意θ要滿足的條件是0°≤θ≤180°.sFF1F2θ新知探究問題3
物理學(xué)中“求力所做的功”是兩個(gè)矢量間的某種運(yùn)算,在數(shù)學(xué)上,矢量不考慮作用點(diǎn)就是向量,如果是兩個(gè)向量,你能“定義”這種新的運(yùn)算嗎?思考后完成下表.兩個(gè)矢量F和s兩個(gè)向量a與bF和s的夾角θW=|F||s|c(diǎn)osθa·b=|a||b|c(diǎn)osθa與b的夾角是θ新知探究問題4
零向量有沒有數(shù)量積呢?應(yīng)該如何定義?有,零向量的數(shù)量積是零.新知探究問題5
向量夾角與數(shù)量積的符號(hào)有什么關(guān)系?當(dāng)0°≤<a,b><90°時(shí),a·b>0;當(dāng)<a,b>=90°時(shí),a·b=0;當(dāng)90°<<a,b>≤180°時(shí),a·b<0;當(dāng)<a,b>=0°時(shí),a·b=|a||b|;當(dāng)<a,b>=180°時(shí),a·b=-|a||b|.新知探究
A.鈍角三角形B.直角三角形C.銳角三角形D.等腰直角三角形
又∵B為△ABC的內(nèi)角,∴cosB<0,∴<B<π,故A正確.
A新知探究問題7
在初中我們學(xué)過的投影的定義是什么?一般地,用光線照射物體,在某個(gè)平面(地面、墻壁等)上得到的影子叫做物體的投影.新知探究水平的力在做功,即功還可以理解為力F的水平分力的大小|F|c(diǎn)osθ與位移的大小|s|的乘積.問題8
回到功的物理意義:小物塊在力F的作用下在水平方向上運(yùn)動(dòng)位移s,如果把力F分解成水平分力和垂直分力,那么哪個(gè)力在真正做功呢?問題9
再抽去物理意義,|b|c(diǎn)osθ的含義是什么呢?向量b在a方向上的投影.新知探究問題10
根據(jù)上述分析,你能給出投影向量的定義嗎?如圖所示,已知兩個(gè)非零向量a和b,
|a|c(diǎn)os<a,b>稱為投影向量r的數(shù)量,也稱為向量a在向量b方向上的投影數(shù)量,BAA′brO可以表示為a·.
a新知探究問題11
向量數(shù)量積的幾何意義是什么?幾何意義是:或a的長度|a|與b在a方向上投影數(shù)量|b|c(diǎn)osθ的乘積.a(chǎn)與b的數(shù)量積等于b的長度|b|與a在b方向上的投影數(shù)量|a|c(diǎn)osθ的乘積.新知探究問題12
已知兩個(gè)非零向量a
,b
,θ為a與b的夾角,e為與b
方向相同的單位向量.據(jù)數(shù)量積公式,計(jì)算a·e,a·a.a(chǎn)·e=|a
||e
|c(diǎn)osθ=|a
|c(diǎn)osθ,a·a=|a
|·|a
|c(diǎn)os0°=|a
|2.新知探究追問1:若a·b=0,則a與b有什么關(guān)系?a·b=0,a≠0,b≠0,∴cosθ=0,θ=90°,a⊥b.追問2:當(dāng)θ=0°和180°時(shí),數(shù)量積a·b分別是什么?當(dāng)θ=0°時(shí),a·b=|a
|·|b|;當(dāng)θ=180°時(shí),a·b=-|a
|·|b|.新知探究問題13
你能寫出向量數(shù)量積的性質(zhì)嗎?數(shù)量積的性質(zhì)(1)若e是單位向量,則e·a=a·e=|a|c(diǎn)osθ.(2)若a·b=0?a⊥b.
(4)cosθ=
(|a||b|≠0).
(5)|a·b|≤|a||b|,當(dāng)且僅當(dāng)a∥b時(shí)等號(hào)成立.新知探究問題14
a·(b·c)=(a·b)·c成立嗎?(a·b)·c≠a·(b·c),因?yàn)閍·b,b·c是數(shù)量積,是實(shí)數(shù),不是向量,因此,(a·b)·c=a·(b·c)在一般情況下不成立.所以(a·b)·c與向量c共線,a·(b·c)與向量a共線.例1
如圖,已知向量a與b,其中|a|=3,|b|=4,且a與b的夾角是150°.初步應(yīng)用(1)求a·b;(2)求向量b在a方向上的投影數(shù)量,并畫圖解釋.
(詳解參考教材P102例1的解析)ababOBB1Aθ初步應(yīng)用例2
已知向量a,b,c,其中|a|=4,|b|=6,且a與c的夾角θ=120°,b與c的夾角γ=60°,求a+b在c方向上的投影數(shù)量.1(詳解參考教材P103例2的解析)例1
已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a-b)=43.初步應(yīng)用(1)求a與b的夾角θ;(3)若(a-b)⊥(a+λb),求實(shí)數(shù)λ的值.(2)求|a+b|;解答:(1)∵(2a-3b)·(2a-b)=4a2-8a·b+3b2=64-8a·b+27=43,∴a·b=6,即|a|·|b|c(diǎn)osθ=12cosθ=6,∴cosθ=
,
∵θ∈[0,π],
∴θ=
.例1
已知|a|=4,|b|=3,(2a-3b)·(2a-b)=43.初步應(yīng)用(1)求a與b的夾角θ;(3)若(a-b)⊥(a+λb),求實(shí)數(shù)λ的值.(2)求|a+b|;(2)∵|a+b|2=(a+b)2=a2+2a·b+b2=16+12+9=37,(3)∵(a-b)⊥(a+λb),(a-b)·(a+λb)=0,即a2+(λ-1)a·b-λb2=16+6(λ-1)-9λ=0,
解得:λ=
.
初步應(yīng)用追問1:若a⊥b,則a·b等于多少?反之成立嗎?a·b=0?a⊥b.追問2:|a·b|與|a|·|b|的大小關(guān)系如何?為什么?|a·b|≤|a|·|b|.因?yàn)椋黙·b|=|a|·|b|·|c(diǎn)osθ|.由|c(diǎn)osθ|≤1,可得|a·b|≤|a|·|b|.初步應(yīng)用追問3:對(duì)于向量a,b,如何求它們的夾角θ?求夾角θ時(shí)先求兩個(gè)向量a,b夾角的余弦值.然后根據(jù)向量夾角的取值范圍求角.課堂練習(xí)練習(xí):教科書第103頁練習(xí)1,2,3,4.歸納小結(jié)(1)從向量運(yùn)算角度看,數(shù)量積是向量與向量之間的一種運(yùn)算,數(shù)量積運(yùn)算既有數(shù)量關(guān)系的表達(dá)式,又有明顯的幾何意義.(2)從知識(shí)間聯(lián)系的觀點(diǎn)看,數(shù)量積的表達(dá)式中有向量、向量的模、向量的夾角,這比以前的任何一種運(yùn)算都豐富.(3)從解決問題的角度看,在一定的條件下,可以運(yùn)用向量的數(shù)量積,用代數(shù)運(yùn)算的方法求向量的模的大小、向量的夾角的大小,進(jìn)而可以解決幾何問題中的有關(guān)平行、垂直的證明或角度等問題.(4)有一句話:如果沒有運(yùn)算,向量只是一“路標(biāo)”,因?yàn)橛辛诉\(yùn)算,向量的力量無限.問題15
本節(jié)課我們學(xué)習(xí)了平面向量的一種新型運(yùn)算——平面向量的數(shù)量積,與前面幾種運(yùn)算相比,請你說說這種運(yùn)算具有怎樣的特點(diǎn)?作業(yè)布置作業(yè):教科書第107頁,A組1,2,3,B組1,2.1目標(biāo)檢測A已知|a|=1,|b|=2,a與b的夾角為
,則a·b等于()A.1B.2C.3D.4
解析:a·b=1×2×cos=1,故選A.
2目標(biāo)檢測D已知|a|=8,|b|=4,<a,b>=120°,則向量b在a方向上的投影為()A.4B.-4C.2D.-2解析:向量b在a方向上的投影為|b|c(diǎn)os<a,b>=4×cos120°=-2.3目標(biāo)檢測2已知兩個(gè)單位向量a,b的夾角為60°,c=ta+(1-t)b.若b·c=0,則
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