數學中的符號化思想方法

第一節

數學符號概述

1、符號的產生源于“給予意義”的行為。

例如“葉落知秋”，于是飄落的一片黃葉成為秋天的

符號。

2、符號已深入到人類生活的方方面面。

著名語言學家皮埃爾.吉羅說“我們生活在符號之

間”。

3、符號包括“符號形式”（能指）和“符號內容”（所

指）兩個方面。

例如：形式：⊙、≌、△；

內容：圓、全等于和三角形。

“沒有形式的內容或”沒有“內容的形式”都不是符號。一、符號是人們約定用來指稱一定對象的標志物，是用以表達和交換思想的工具。

二、數學符號是傳播數學思想的媒介。數學語言系統符號化系統=數學符號的特征：

1、物質性：以一定的物質形式為背景，可感知。

2、抽象性：數學符號是一種抽象化了的的思想材料。3、精確性：數學主要依靠嚴格的推理來演繹證明”，

意義不能含糊不清。

4、規范性：具有相對的穩定性，便于交流。

5、開放性：數學符號系統隨著數學自身的發展不斷

完善。第二節、數學符號簡史

關數學發展史可以追溯到古希臘時代，至今已有3000年歷史，數學符號的發展時間只有400余年，而大多數數學符號的歷史甚至不到400年。數學符號發展的400余年，大致可以分為五個階段。一、建立自然數和分數的符號體系。1、人類早期的記數方法。

實物記數、結繩記數、刻痕記數、用身體某個部分來表示數。2、早期的文明產生了各自的記數符號。如：數字符號0——9用的是印度.阿拉伯數碼；古埃及人用象形文字記數，但不知道位值記數；古巴比倫人有位值思想，但沒有適當的零號；古代中國人用算籌記數，形成了較完善的記數方法；3、1450年，活版印刷的發明促進了記數符號的規范化?，F行的10進制記數法和數字符號才于16世紀以后的歐洲通行。4、位值制記數法是人類智慧的結晶。

中美洲的瑪雅人用二十進制；

古代中國人用過十六進制，最早用十進制；

古巴比倫人用六十進制；5、“0”表示“零，最早于公元4世紀左右產生于中印邊界一帶”。完善的“0”符號的出現。形成了完整的位值記數法；完成了自然數的符號系統6、分數是在運算過程中產生的，表示兩個整數的商。二、建立代數符號體系。

代數學發展的關鍵是要建立一套有效的符號系統。

1、古代的代數基本上都用文辭或縮寫的形式表示。

如：“x2+10x=39”在阿拉伯人阿爾.花拉子模的《代

數學》中說成“一個數的平方及其根的十倍等于39”2、符號代數到16世紀才開始在西歐出現，17世紀開

始流行。3、韋達對多項式進行了改進。在韋達那里，“Acubus+AplanuminA3aequaturDsolido”就是現在的“A3+3BA=D”4、笛卡爾是提出用字母表后面的字母“x、y、z”表

示已知數，用前面的字母“a、b、c”表示已知數。５、萊布尼茲創造了點乘號“.”；拉恩使用了除號“÷”；奧特里德用了“×”，加號“＋”和減號“－”開始是作為“超過”和“不足”引入的；代數符號到１７世紀基本完善三、與微積分學的產生相聯系的符號的發展。

微積分是由牛頓和萊布尼茲大體上完成的——是人類精神上的偉大勝利。１、牛頓和萊布尼茲最偉大的功績是將兩上看似貌不相關

的的問題聯系起來，一個是求積問題，一個切線問題，形成了“牛頓——萊布尼茲公式”２、牛頓和萊布尼各茲引進了一些導數、微分、積

分等有關符號。

如：牛頓把“d”拉長，用作微分符號；萊布尼茲把“s”拉長為∫，用作只分記號；３、微積分符號的建立克服了對極限、連續等一系列重要概念描述的含糊不清，大力推動了微積分的發展。三、集合論和數理邏輯符號在數學中的發展和滲透。

現代數學中，集合論已構成全部數學的基礎，它的概念和方法幾乎滲透到數學的各個分支乃到其它學科。１、集合論和數理邏輯符號逐步向數學領域發展和滲透。

如:集合符號A、B、C；并集∪;交集∩;屬于∈;2、集合論和數理邏輯符號的引入使數學語言更加簡便;第三節、符號對數學發展的影響。

數學的發展推動了數學符號的發展，同時數學符號的發展又促進了數學的發展。

“數學的一切進步都是對引入符號的反應”；

數學符號與數學方法論有密切關系所以數學中的符號化思想受到數學方法論研究的格外重視。一、符號對數學發展的影響。１、歐洲在阿拉伯數字輸入以前，使用羅馬數碼，由于不

是進位制的，一個簡單的數要寫成一長串，使得做加減

法已經困難，會乘除就可稱專家了。

如：“235×4”要寫成

CCCCCCCC

XXXXXXXXXXXX

YYYY

DCCD

CXX

XX

再進一步合并為“DCCCCXL”2、中國長期不用阿拉伯數字，是因為與算籌式數碼計數法相比，阿拉伯數定并無明顯優勢。但是，遲遲不用阿拉伯數字，對我國數學發展有一定影響。3、微積分的發展史也是數學符號的發展史；

“數學分析的語言，是所有數學語言中最完善的語言”。4、牛頓是微積分發明的先行者（早萊布尼茲10年），但萊布尼茲較早（3年）公布成果，其原因是萊布尼茲使用的符號更為優越。以上例子說明：數學符號的發展對數學本身發展的推動作用——形式對本質的反作用。一、數學符號導致新數學分支的產生。

數學符號不僅影響了數學發展的進程，同時也導致新的數學分支的產生。1、韋達用字母表示數，使得代數能夠逐漸成為一門正式的學科而獨立出來。2、坐標體系的建立和用“x”“y”表示變元，直接促進了解析幾何學的發展。3、數學符號與傳統邏輯相結合，促使了數理邏輯的誕生。。4、布爾試圖把初等代數與形式邏輯相結合，通過語言的符號化來達到邏輯的嚴格化，即邏輯的代數化；龐加萊試圖使數學邏輯化，把數學大廈建立在一個統一的基礎之上。但是，羅素悖論的發現終止了這兩項努力和希望。5、意大利數學家皮亞諾提出：

（1）不采用自然語言，采用符號語言；

（2）把數學推理寫成符號公式；其實質是：

（1）每一數學理論只包含少數幾個原始概念，可以用原始符號來代表；

（2）每一數學理論只包含少數幾條原始命題，可以用符號寫出的公式來表述；

（3）數學理論的邏輯展開，完全變成符號公式的數學推演。現今所沿用的數理邏輯記號大體上是由皮亞諾確定的。符號化思想數學是符號加邏輯掌握系統、完整的數學數學語言定律法則公式……符號是數學語言的基本詞匯由符號構成構成了數學語言的基本語法規則文字圖式符號數學語言數學模型三種形態文字語言：●有時無法準確描述數學概念。●有時因漢語語義的豐富性，容易產生岐義。●有時因翻譯的原因，在漢語中找不到合適的字詞進行表述?！裼袝r因缺乏形象支持，更使概念變得抽象難懂。且用詞量較大，缺乏簡潔性。符號語言：當給予符號特定的、統一的含義后，使得其更具簡潔性，也更便于表述與交流。圖式語言：既是圖形，也是符號。故同時具備了形象性與抽象性的特點，更具有簡潔性。數學語言的發展更傾向于圖式與符號符號化思想對數學發展起的作用

⒈以約定的語言規范的形式表達與交流促進發展⒉以濃縮形式進行數學思維速度加快,排除語言含糊不清,更清晰準確.⒊在數學發展中質的作用，建立新理論符號化在教材中體現

⒈符號化對教師的要求重視符號教學搞懂教材中數學符號含義和實質。⒉常用符號：元素符號，運算符號，關系符號，結合符號，約定符號。⒊數學符號教學應注意：使學生正確理解數學符號含義和性質重視規范書寫符號化思想在小學數學中的滲透

⒈變元思想（）□代替變元符號x，有一定的取值范圍。⒉用字母表示數的思想：更深刻的發掘規律，更準確簡捷地表達數學規律。字母可以表示任何數，無窮多個數。⒊列方程解應用題思想：代數設想：未知數與已知數同時參與計算代數翻譯：解代數方程：常用數學符號的分類

1.元素符號。（1）阿拉伯數字：1、2、3、4、……（2）表示數的字母：一般是用拉丁字母前面的字母表示已知數，如a、b、c、……用后面的字母表示未知數，如x、y、……（3）表示常數的字母。如π。（4）表示幾何形體的。如線段用AB，表示角用∠，2.運算符號。常用的運算符號有“+”、“-”、“×”、“÷”。3.關系符號。表示數、式、圖形等之間的關系的符號叫做關系符號。常用的關系符號有：“=”等號，“≈”近似等號；不等號“＜”（小于號）、“＞”（大于號）；表示直線、平面之間的平行或垂直關系的符號有“∥”、“⊥”4.結合符號。表示某些數先結合而后運算的。如圓括號（），方括號［］，花括號｛｝，括線——等。5.約定符號。規定某種符號表示某種特定含義的符號為約定符號。比如“∵”表示因為，“∴”表示所以。6.性質符號。表示數或形的性質的符號叫性質符號。比如“+”是正號，“-”是負號等。符號感的含義