第5章平面電磁波

5.1理想介質中平面波5.1.1平面波的電磁場

假設電磁波在無界空間充滿線性、均勻、各向同性理想介質的無源區域中傳播，則電場強度和磁場強度滿足的齊次矢量波動方程為(5-1a)

(5-1b)對時諧電磁場而言，電場強度和磁場強度復矢量滿足以下的齊次矢量亥姆霍茲方程式中。為簡單起見，選擇電場強度沿直角坐標系的軸方向，即。于是，式(5-8a)化為以下齊次標量亥姆霍茲方程：

(5-8a)(5-8b)

設僅與坐標有關，而與無關，則上式簡化為

此方程是二階線性齊次常微分方程，其解為(5-9a)

對應的瞬時值表達式為

(5-9b)

式（5-9b）中第一項的相位隨

的增加而逐漸滯后，代表向正方向傳播的行波，如圖5-2所示。同樣地，式（5-9b）中的第二項的相位隨

的增加而逐漸超前，代表向負

方向傳播的行波。若波源發出的波沿正方向傳播，則正向行波又稱為入射波，而反向行波則稱為反射波。在無界空間中傳播的波，只有入射波而沒有反射波。

圖5-2沿正方向傳播的行波

為了定義電磁波的傳播參數，設電磁波是無界媒質中傳播的入射波，此時電場強度復振幅和瞬時值分別為

(5-10)

式中，上標“＋”已略去；是＝0處電場強度的振幅；稱為行波因子，它代表了向正方向傳播的電磁波的性質；稱為電磁波的時間相位；而稱為電磁波的空間相位。

通常將電磁波的空間相位相同的場點所組成的曲面稱為電磁波的等相位面（或稱波前、波面），等相位面的法線方向指向電磁波的傳播方向。前面討論的電磁波的等相位面是的平面，因此稱這種電磁波為平面電磁波（簡稱平面波）。又因為與無關，即在的等相位面上各點場強相等，因此這種等相位面上場強均勻分布的平面波又稱為均勻平面波（有時也簡稱為平面波）。例如，在距離坐標原點處小尺寸的線形發射天線很遠的地方，此發射天線輻射的球面波在面積較小的球面上即可近似看成是均勻平面波。

電磁波的空間相位變化所經過的距離稱為電磁波的波長，用表示。由，得(5-12)而(5-13)稱為電磁波的波數，它代表長度上出現的全波數目。在理想（電）介質中，電磁波的波長為

式中，為真空中電磁波的波長，也稱為工作波長。（5-14）

電磁波的時間相位變化所經歷的時間稱為電磁波的周期，用表示；而將一秒鐘內電磁波的時間相位變化的次數稱為電磁波的頻率，用表示。由于，因此

式中，為角頻率，單位為，而的單位為。

(5-15)等相位面的運動速度稱為相速，記為，相速為

(5-16)這表明理想媒質中等相位面的傳播速度等于媒質中的光速。這樣，電磁波的波數、相速與波長間的關系為(5-17)即電磁波的相速等于其波長與頻率的乘積。這樣，電磁波的波數、相速與波長間的關系為(5-17)即電磁波的相速等于其波長與頻率的乘積。平面波的磁場強度復振幅可由復數形式的麥克斯韋方程(2-144a)導出，即

展開得

式中(5-19)稱為媒質的本征阻抗。在真空中，用表示，即。可見，在理想介質中，為一實數，因此與同相。于是，可得平面波的磁場的瞬時表達式為

5.1.2平面波的傳播特性

理想介質中平面波于某時刻的與沿

軸的變化曲線，如圖5-3(a)所示。隨

的分布圖如圖5-3(b)所示。(a)(b)圖5-3理想媒質中平面波的場量沿z軸的變化曲線

4.1.3沿任意方向傳播的平面波

對沿正

向傳播的平面波，其電場強度復矢量可表示為

式中是垂直于

軸的常矢量，波的等相位面是

的平面，垂直于

軸，如圖4.3(a)所示。設等相位面上任意點的位置矢量，則任意點p處的電場強度復矢量又可表示為（5-24）（5-25）即p點的場矢量僅決定于通過該點，且垂直于z軸的平面與坐標原點間的距離。對沿任意矢量方向傳播的平面波，如圖5-4(b)所示，此平面波在p點的電場強度復矢量可表示為(5-26)式中，稱為傳播矢量或波矢量。

(a)沿Z向傳播的平面波（b）沿任意方向傳播的平面波

圖5-4沿向和沿任意方向傳播的平面波的坐標關系設平面波傳播方向上的單位矢量與軸的夾角分別為,和，則可用其方向余弦表示，即

設平面波傳播方向上的單位矢量與軸的夾角分別為

和，則可用其方向余弦表示，即于是，波矢量可表示為(5-28)

式中，，分別為向的波數。顯然(5-27)這表明，，中只有兩個是獨立的。這樣，沿矢量方向傳播的平面波的電場強度復矢量可表示為(5-29)沿矢量方向傳播的平面波的磁場強度復矢量可利用無源區域的復數形式麥克斯韋方程組(2-144)導出，此時麥克斯韋方程組可用波矢量表示為

(5-30)

于是，磁場強度復矢量為(4.20)這樣，沿任意方向傳播的平面波的平均功率流密度為(4.21)可見，矢量的方向即為功率流的傳播方向。例4.1一均勻平面波在空氣中傳播，其磁場強度為求：①常數A；②該平面波的頻率、傳播方向上的單位矢量；③電場強度的復數表達式。解：①因，故，又因，有于是，。②因，所以

又因為，則③由，得

5.2導電媒質中的平面波5.2.1導電媒質的分類

導電媒質又稱為有（損）耗媒質，是指的簡單媒質。當時諧電磁波在無源的導電媒質中傳播時，因媒質中出現傳導電流，此時復矢量和滿足的亥姆霍茲方程（2-146）變成為(5-33a)

(5-33b)式中，稱為導電媒質的等效復介電常數，為頻率的函數。。通常將復矢量和的方程（5-33）寫成以下形式：(5-34a)(5-34b)式中，稱為等效復波數，而定義為傳播常數，一般是復數。式中，。這樣，，它代表了導電媒質中傳導電流密度模值與位移電流密度模值之比，也是導電媒質中位移電流密度與總電流密度間夾角的正切，即

(5-35)是工程中用于衡量介質材料損耗特性的一個常量。

有時還將寫成以下表達形式：應指出，上述引出的導電媒質的復介電常數僅考慮電導率的影響。事實上，在時變電磁場情況下，即使是非導電的理想媒質，由于介質極化阻尼力的作用產生的極化滯后同樣會引起電磁場的功率損耗，因此同樣會使非導電媒質的介電常數為復數而不是實數。為此，記介電常數為，即，其中對應于介質的極化程度，而則對應于介質極化滯后引起的功率損耗。于是，根據麥克斯韋方程(2-141b)可知，對導電媒質而言，有(5-36)

式中，為損耗角正切的一般形式。通常記，稱為媒質的等效電導率。由于一般情況下特別在微波波段的低頻端，比小得多，此時可以將近似表示為是工程中用于衡量介質材料損耗特性的一個參量。這樣，導電媒質可按比值的量級分為三類:(1)，一般取，為良介質；(2)，為半導體（或不良導體）；(3)，一般取，為良導體。應指出，媒質屬于良介質還是良導體與頻率有關，且媒質的參數也隨頻率變化。

5.2.2平面波在導電媒質中的傳播特性

引入等效復介電常數

后，平面波在導電媒質中場的表達式和傳播特性參數可仿照理想介質情況得到。在無源區域，仍假設沿正z方向傳播的時諧電磁場的電場強度復矢量只有x向分量，且與無關，則式(5-34a)簡化為以下的二階線性常微分方程：

(5-37)此方程的解寫為，于是(5-38)而磁場強度復矢量為

式中，而傳播常數因為是復數量，因此可用實部和虛部表示，即

式中：稱為衰減常數；稱為相位（或相移）常數。將上式兩端取平方，再將上式兩端的實、虛部分開并聯立求解，有(5-39)(5-40)

(5-41a)(5-41b)這樣，將式（5-40）代入式（5-38），得(5-42)其瞬時表達式為(5-43)可見，導電媒質中場強的振幅隨z的增加按指數規律不斷衰減，衰減的大小取決于媒質的電導率。衰減量可用場強衰減值的自然對數進行計量，衰減常數的單位是奈培每米（Np/m）。若電磁波在導電媒質中傳播一段距離

米后場強幅值由衰減到，則

于是，有

或

(5-44)在工程上常用分貝（dB）作為衰減量的單位，其定義為或根據上述關系可知，1Np=8.686dB。(5-45)導電媒質中電磁波的波長為

其中，按式（5-41b）計算。導電媒質中電磁波的相速為(5-47)這表明，導電媒質中平面波的相速比，相同的理想介質中平面波的相速要慢，且越大，頻率越低，則相速越慢。這種現象稱為波的色散，導電媒質稱為色散媒質。（5-46）導電媒質的本征阻抗為(5-48)可見，(特別地，，對應于理想介質；，對應于理想導體)，即本征阻抗具有感性相角。此時磁場強度復矢量為（5-49）其瞬時表達式為即磁場強度的相位比電場強度的相位滯后，越大滯后就越多，其振幅也隨的增加按指數律衰減。由于導電媒質中傳播的電磁波的電場和磁場方向相互垂直，并且都垂直于波的傳播方向，因此傳播波仍是TEM波。此時，復坡印亭矢量為(5-51)于是，平均功率流密度矢量為(5-52)可見，平均功率流密度隨z的增加按迅速衰減。導電媒質中傳播的平面波的平均電、磁場能量密度不再相等。此時，因附加磁場，從而使。于是，引起傳導電流而激發磁場能量密度為總的平均電（5-53）由式（5-52）和式（5-53），可得導電媒質中傳播的平面波的能速為（5-54）下面討論兩種具有代表性的導電媒質。1）良介質中的平面波良介質是一種低損耗的媒質，此時，即位移電流密度遠大于傳導電流密度，例如常見的聚四氟乙烯、聚苯乙烯以及有機玻璃等材料，在高頻、超高頻或更高頻段中均有。對式(5-40)的第二個等式作二項式級數展開，略去平方項以上的高階項，可得傳播常數的近似式為(5-55)(5-56a)(5-56b)同理，良介質的本征阻抗和波的相速可分別近似為(5-57)(5-58)于是，良介質的衰減常數和相位常數分別為以上各式表明，平面波在良介質中傳播時，除了電磁波場強的幅度因介質損耗引起微弱的衰減外，其他傳播特性與理想介質情況幾乎相同。2）良導體中的平面波對良導體，，即傳導電流密度遠大于位移電流密度。例如銀、金、銅等金屬，在整個微波波段都有（如銅()在頻率高達時仍為良導體）。此時，等效復介電常數可近似為

(5-59)這樣，衰減常數為(5-60)

或(5-61)良導體的本征阻抗為(5-62)良導體中電磁波的傳播相速為(5-63)由良導體中電磁波的衰減常數的表達式(5-61)可見，高頻電磁波在良導體中衰減很大，因此高頻電磁場只能存在于導體表面附近的一個薄層內。這種現象稱為趨膚效應。為此，定義一個新的物理量—趨膚深度，它是指電磁波場強的幅度衰減至導體表面處的或的深度。記趨膚深度為，因時場強幅度降為，故m(5-64)又因，于是

(5-65)

可見，根據良導體中電磁波的波長可近似計算趨膚深度。此外，由式（5-64）可知，導體材料的導電性能越好，頻率越高，則趨膚深度越小。良導體中平面波的電、磁場復矢量可表示為(5-66a)(5-66b)于是，復坡印亭矢量及平均功率流密度矢量分別為(5-67)(5-68)

此外，通常將導體表面（）處的切向電場與切向磁場之比定義為導體的表面阻抗，記為，即(4.53)式中,分別稱為表面電阻和表面電抗。4.3平面波的極化

按照矢量的尾端軌跡的形狀通常可將平面波的極化分為三種：線極化、圓極化和橢圓極化。無一定極化方式的波（如光波）通常稱為隨機極化波。假設平面波沿正z向傳播，則電場強度總可分解為和兩個分量，即復矢量為(5-69)

若的振幅為，的振幅為，且相位滯后于相位的角度為（若相位超前于，則）。于是，上式可寫成為(5-70)其瞬時表達式為(5-71)這表明瞬時矢量的兩個分量分別為(5-72)在上兩式中消去，可得和間的以下關系：

(5-73)這是對任意給定z值的情況下，的尾端在z平面內的軌跡方程。對不同的和的比值及的取值，上式代表不同的幾何圖形，從而對應不同的極化方式。

5.3.1線極化當或時，則方程（5-73）變為以下的方程：

(5-74)這是一直線方程，其中“＋”對應于；“－”對應于（或）。根據式（5-72），可得的方向與軸正向間的夾角為(5-75)這表明的尾端軌跡是一直線，故稱為線極化。圖5-7(a)示出了z=0平面上在情況下電場強度尾端的軌跡。

圖5-7（a）線極化

4.3.2圓極化

當，時，由式（5-73），可得

這是半徑為的圓，圖5-7（b）示出了平面上電場強度尾端的變化軌跡。(5-76)

圖5-7(b)圓極化根據式（5-72）可知，的大小不隨變化，而的方向與x軸的夾角為

(5-77)這表明，對于給定值的某點（如圖中情況），隨的增加，場矢量的方向以角頻率等速旋轉。的尾端軌跡是圓，故稱為圓極化。當相位滯后于時，的旋向與波的傳播方向滿足右手螺旋關系，稱為右旋圓極化（或正圓極化）。當相位超前時，的旋向與波的傳播方向滿足左手螺旋關系，稱為左旋圓極化（或負圓極化）。在給定時刻，右旋圓極化波的電場的尾端軌跡恰為左旋螺旋線；左旋圓極化波的電場的尾端軌跡恰為右旋螺旋線。如圖5-8所示。圖5-8左旋圓極化波電場的右旋螺旋線根據上述討論可知，若波沿正z向傳輸，對左旋圓極化，因，故電場強度復矢量為

(5-78)對右旋圓極化，因，故電場強度復矢量為

(5-79)可見，兩個相位相差，振幅相等，空間上正交的線極化波可合成一個圓極化波；反之，一個圓極化波可分解為兩個相位相差，振幅相等，空間上正交的線極化波。

4.3.3橢圓極化最一般的情況是式（5-73）中相位差為任意值（但，以及時，）的情況，式（5-73）是一個橢圓方程，此時矢量的尾端在橢圓上變化，故稱為橢圓極化，對應的波為橢圓極化波。圖5-7(c)示出了z＝0平面上矢量尾端的變化軌跡。由式（4.57）可知，與x軸正向間的夾角的正切為