第4章質量傳遞質量傳遞：4.1-1質量傳遞的特點第一節基礎知識特點：與熱量傳遞相似，但又有區別。[1]分子擴散：[2]對流傳質：形式：這是發生質量傳遞的必要條件。例如：精餾、吸收、萃取、干燥、吸附、膜分離等。當多組分系統中存在濃度差時，組分將自發地由高濃度區向低濃度區的遷移，這一過程稱為質量傳遞（即傳質）。質量傳遞有兩種基本形式，即分子擴散和對流傳質。由微觀的分子不規則運動產生的質量傳遞。是指流體與其相接觸部分（固體壁面、有限互溶運動流體等）有濃度差存在時，而傳遞的質量。分子擴散與系統內部的任何宏觀流動無關。相似性：區別：4.1-2基礎知識1.濃度[1]質量濃度（ρi）：[2]摩爾濃度（Ci）：傳遞機理相似；導熱與分子擴散相似；對流傳熱與對流傳質相似。因此，質量傳遞的定量描述比熱量傳遞還要復雜。質量傳遞只存在于混合物中；在組分擴散的同時，還可能存在流體的總體流動。質量濃度與摩爾濃度之間的關系：單位體積混合物中組分i的質量，kg/m3。單位體積混合物中組分i的摩爾量，kmol/m3。[3]質量分率（wi）：[4]摩爾分率（yi）：2.速度[1]絕對速度（ui）：[2]混合物的平均速度質量平均速度；摩爾平均速度。組分i相對于靜止坐標（固定平面）的速度，m/s。①質量平均速度（u）：②摩爾平均速度（uM）：[3]擴散速度：相對于質量平均速度的擴散速度相對于摩爾平均速度的擴散速度3.Fick定律

擴散速度為純粹由分子擴散所產生的速度。組分i的絕對速度和平均速度之差，稱為擴散速度。質量通量摩爾通量x、y、z方向的質量通量：比較式（※）與（※※）可得：對于一維擴散：以上各式適用于恒溫、恒壓條件下的分子擴散過程。對于非恒溫、非恒壓的普遍情況，Groot（1951年）提出的通量表達式為：即：Fick定律只適用于恒溫、恒壓的分子擴散過程。對于一維擴散：4.擴散通量[1]分子擴散通量分子擴散通量：系指單純由分子不規則運動所產生的，可用Fick定律來描述；①用質量濃度表示的分子擴散通量表達式（以一維為例）為：ρ=const.（恒溫、恒壓）②用摩爾濃度表示的分子擴散通量表達式（以一維為例）為：C=const.（恒溫、恒壓）同時，又可以用擴散速度和濃度的乘積來表示。恒溫、恒壓條件[2]通過某一固定平面的擴散通量化工生產過程中，感興趣的往往是通過某一固定平面的擴散通量，表示方法：質量（擴散）通量或摩爾（擴散）通量。①質量（擴散）通量通過固定平面組分A的質量（擴散）通量等于其質量濃度和絕對速度的乘積。例如，固體表面：吸附劑表面、催化劑表面等；流體表面：精餾、吸收、萃取、微元體表面等。即包括分子擴散通量和對流擴散通量兩部分，后者指流體總體流動時，帶動其中任一組分從一處到另一處的通量。（以二元系統、一維情況為例）ρ=const.（恒溫、恒壓）產生總體流動的原因是什么？舉例說明。常用公式：

nA—相對于固定平面的組分A的質量（擴散）通量；

nB—相對于固定平面的組分B的質量（擴散）通量；n—相對于固定平面的總的質量（擴散）通量。組分B與組分A有類似的關系。②摩爾（擴散）通量C=const.（恒溫、恒壓）通過固定平面組分A的摩爾（擴散）通量等于其摩爾濃度和絕對速度的乘積。常用公式：

NA—相對于固定平面的組分A的摩爾（擴散）通量；

NB—相對于固定平面的組分B的摩爾（擴散）通量；

N—相對于固定平面的總的摩爾（擴散）通量。組分B與組分A有類似的關系。③總（擴散）通量[3]多元混合物幾種通量之間的關系分子擴散通量等于i組分的摩爾通量減去該組分的總體流動通量。即：總質量（擴散）通量：總摩爾（擴散）通量：推廣到多組分由上式可得：多元混合物所有組分的分子擴散通量之和必等于零。對于二元系統：若無總體流動：則：稱為等摩爾相對擴散。摩爾汽化潛熱基本相等的雙組分精餾過程。同理：對于二元系統：若無總體流動：則：稱為等質量相對擴散。質量汽化潛熱基本相等的雙組分精餾過程。5.擴散系數擴散系數的分類：?擴散系數的種類很多。按B組分的相態（通常為氣體、液體、固體等）可分為：?此外，文獻中還有自擴散系數、互擴散系數、表觀擴散系數等說法；應注意其含義。擴散系數一直是擴散問題研究的熱點。氣體（中的）擴散系數、液體（中的）擴散系數、固體（中的）擴散系數等。影響擴散系數的因素：溫度、壓力、濃度、體系等。<1>利用文獻（或手冊）實驗數據；擴散系數的確定方法：<2>缺乏實驗數據時，可選用經驗或半經驗公式計算;<3>直接根據實驗測定。氣體擴散系數的確定：?影響氣體擴散系數的主要因素：?與液體和固體擴散系數相比，氣體擴散系數的研究相對比較好，有理論計算公式、還有很多經驗或半經驗公式，需要時可查閱相關的文獻資料。溫度、壓力及體系等。對于雙組份氣體混合物，低壓下與濃度無關。氣體擴散系數為10-5m2/s數量級。實驗數據：氣體擴散系數（0.1MPa）的部分實驗數據如表1所示。可見：氣體擴散系數與體系有關；氣體擴散系數與溫度有關，隨著溫度的提高而增加；液體擴散系數為10-9m2/s數量級。實驗數據：液體擴散系數的部分實驗數據如表2所示。可見：液體擴散系數與體系有關；液體擴散系數與濃度有關，隨著濃度的提高有增加的，但也有降低的；液體擴散系數與溫度有關，隨著溫度的提高而增加；液體擴散系數的確定：?液體擴散系數與溫度、濃度及體系等有關。?液體擴散系數的理論研究不夠完善，只有很少的半經驗公式，需要時可查閱相關文獻。◆◆◆◆◆固體擴散系數在10-10～10-34m2/s數量級范圍變動。實驗數據：固體擴散系數的部分實驗數據如表3所示。可見：固體擴散系數與體系有關；固體擴散系數與溫度有關，隨溫度的提高而增加；固體擴散系數的確定：?固體擴散系數與溫度及體系等因素有關。?氣體、液體、固體在固體中的擴散系數，其理論研究還不夠充分；目前，還沒有固體擴散系數的計算公式。【證明】：同理，對組分B，亦有：（※）+（※※），得：組分A的摩爾擴散通量為：對于雙組分（A+B）混合物，組分A在組分B中的擴散系數必等于組分B在組分A中的擴散系數。又∵以上用摩爾通量來證明，也可用質量通量來證明，除以上兩種方法外，亦可用下列方法來證明，補充作業。

補充作業。多孔固體材料的分類多孔固體材料的種類很多，分類方法也很多，微孔材料：孔徑<2nm介孔材料：孔徑=2～50nm；大孔材料：孔徑>50nm。氣體在多孔材料中擴散的分類：努森擴散。過渡擴散；菲克擴散；極微孔材料：孔徑<0.7nm；超微孔材料：孔徑=0.7～2nm；6.多孔固體中的擴散※多孔材料：例如，按化學組成、是否有序等進行分類。通常按孔徑大小進行分類。氣體在多孔材料中的擴散阻力：式中：d為平均孔徑，m；式中：P—壓力，Pa；μ—粘度，Pa·s；T—溫度，K。M—摩爾質量，kg/kmol；R—氣體常數；努森數：部分氣體在標準狀態下的分子平均自由程如表所示。主要有兩種，一是氣體分子之間的碰撞阻力；二是氣體分子與孔壁之間的碰撞阻力。λ為分子的平均自由程，m。可按下式計算：通常以努森（Knudsen）數（Kn）的大小來表示這兩種碰撞阻力在氣體擴散過程中所占的比例。<0.01，分子之間的碰撞阻力為主

；>10，分子與孔壁之間的碰撞阻力為主

。=0.01～10，兩種碰撞阻力同等重要

；菲克擴散：實際上，當Kn<0.01時，就可以認為是Fick擴散。即孔徑>10μm數量級的大孔材料，屬于Fick擴散。理論上，當Kn→0時，即孔徑無限大時，碰撞主要發生在氣體分子之間（如下圖），分子與孔壁間的碰撞可以忽略不計，這種擴散稱為體相擴散、或容積擴散、普通擴散、分子擴散等。此時，氣體在多孔材料內的擴散服從Fick定律，故又稱為菲克（Fick）擴散。努森擴散：實際上，當Kn>10時，就可以認為是努森擴散。努森擴散通量方程：式中：DK—努森擴散系數，可按下式計算：理論上，當Kn→∞時，即孔徑無限小時，碰撞主要發生在氣體分子與孔壁之間（如下圖），分子之間的碰撞可以忽略不計；這時，氣體在多孔材料內的擴散不再服從Fick定律，這種擴散稱為努森擴散。即介孔材料基本屬于努森擴散。雖然不服從Fick定律，但還是表達成Fick定律的形式；但擴散系數不同。設系統包括A、B兩個組分，系統T、P、ρ、DAB=const.，采用Euler法，對組分A進行質量衡算。4.1-3微分質量衡算方程1直角坐標系下的微分質量衡算方程對組分B進行質量衡算，補充作業。過渡擴散：

是介于努森擴散和菲克擴散之間的擴散。一般把0.01＜Kn＜10時的擴散稱之為過渡擴散；此時，氣體分子間的碰撞和氣體分子與孔壁間的碰撞同樣重要，都不能忽略。這種擴散既不服從Fick定律，也不符合努森擴散方程；但有文獻推薦其擴散通量仍然用Fick定律（形式）來確定；不過，將擴散系數變成表觀擴散系數，可按下式計算：輸入(的質量速率)

輸出(的質量速率)輸入(的質量速率)-輸出(的質量速率)

假設通過x=x、y=y、z=z三個（固定）平面的質量（擴散）通量分別為：nAx、nAy、nAz。質量衡算方程一般形式：輸入(的質量速率)-輸出(的質量速率)=累積(的質量速率)累積(的質量速率)采用Euler法,dxdydz=const.。質量衡算方程式：輸入-輸出=累積假定質量平均速度u在x、y、z三個方向的分量分別為：ux、uy、uz；通過靜止平面的質量擴散通量為：T，P=const.。上式稱為直角坐標系下的微分質量衡算方程。DAB=const.若用摩爾濃度表示，則微分質量衡算方程的另一種表達形式為：

若在分子擴散的同時，還伴有化學反應，則：RA[kmol/(m3·s)]為單位體積單位時間內組分A的生成速率。其推導過程為補充作業。A為生成物為+，A為反應物為-。

若無總體流動，也無化學反應，上式變成：直角坐標系下的Fick第二定律。由于假定無總體流動，故Fick第二定律適用于固體、靜止液體、或氣體的等摩爾（或等質量）相對擴散等過程。rA的單位是kg/(m3·s)類似地，可以推導出柱坐標系下的微分質量衡算方程為：2柱坐標系下的微分質量衡算方程

若無總體流動，也無化學反應，上式變成：柱坐標系下的Fick第二定律。類似地，球坐標系下的微分質量衡算方程為：3球坐標系下的微分質量衡算方程

若無總體流動，也無化學反應，上式變成：球坐標系下的Fick第二定律。第二節分子擴散4.2-1一維穩態分子擴散1.無總體流動的一維穩態分子擴散無總體流動上式和無內熱源導熱微分方程形式完全類似。因此，解決這一類問題的方法與導熱問題也完全類似。簡化微分質量衡算方程常微分方程通解定解條件特解濃度分布；擴散通量；擴散速率。Fick第二定律Fourier第二定律:無化學反應過程的微分質量衡算方程為：[固體、靜止液體、或氣體的等摩爾（或等質量）相對擴散過程等]、現以無限大平板的一維穩態擴散為例：（1）方程簡化

①穩態擴散②y、z方向無限大邊界條件為：積分，得：

（2）濃度分布

據邊界條件：

濃度分布：

可見，平壁內濃度呈直線分布。（3）擴散通量

無總體流動（4）擴散速率推動力（濃度差）擴散阻力濃度分布的另一種求解方法：無總體流動：穩態過程：其他幾種情況（無限長圓筒壁、球壁）見《講義》p237～238表。2.具有總體流動的一維穩態分子擴散求解方法Ⅰ：簡化微分質量衡算方程常微分方程通解邊界條件特解簡化結果：求解思路：方程簡化：y、z方向無限大平板，無化學反應的一維穩態分子擴散。？求解方法Ⅱ（步驟）：①方程（通量表達式）：②根據過程特點，找出NA與NB間的關系或NA、NB的表達式；③積分求解。[1]通過靜止組分的單向穩態擴散液體組分A以恒定的速率自液面蒸發，并通過靜止的氣層（B）向上擴散；假定氣體B不溶于液體A，也不與A發生化學反應；假定氣體B以較低的速度橫過管子開口端流動。模型描述：例如：A=水，B=空氣。過程特點：若P、T保持不變，B低速流動；且L=const.（靠補充A來實現）；各個截面上的濃度均勻；則為一維穩態擴散過程。由于氣體B在液體A不溶解，而且二者又不發生化學反應，即在界面上B的摩爾通量=0，C、DAB均等于常數。結論：對于一維、穩態、無化學反應的分子擴散過程，當傳質面積不變時，在整個擴散過程中，各組分的摩爾通量保持不變；由于NB=0（即不存在B的擴散），所以，只有A在一個方向上的擴散，即稱為單向擴散。化工許多單元操作，如吸收、吸附，空氣的增濕等都是單向擴散的例子。①濃度分布組分A的摩爾通量為：所以通過整個擴散路程中，B組分的摩爾通量均為0，據上述分析NB=0，上式可簡化為：對于穩態擴散過程，如果A=const.，則：在恒溫、恒壓下，C、DAB均為常數，則：再積分一次：根據邊界條件：濃度分布：解法2（濃度分布）：對式（※）分離變量積分②擴散通量

③擴散速率通過靜止組分的一維穩態單向擴散通量。[2]通過靜止組分的一維準穩態單向擴散實驗室常用如圖所示的實驗裝置來測定氣體擴散系數。將實驗裝置置于0.1MPa的恒溫槽中。若液體上方直管中無對流混合，在很長的時間間隔內，液面降低很小；雖然傳質邊界在移動，但可視為一維準穩態擴散，下式仍可用：—氣體擴散系數的測定通過靜止組分的一維穩態單向擴散通量。假定在dθ內，蒸發掉高度dL，其擴散截面積為A，液體A的密度為ρA，組分A的分子量為mA，則蒸發速率（即擴散速率）為：這樣，摩爾擴散通量可用液面下降速率表示，即：聯立式（※）與（※※），可得：對上式分離變量，積分可得：以上討論了常見的兩種簡單擴散—無總體流動和具有總體流動的單向擴散。[3]邊界上有化學反應的一維穩態擴散例如（如圖）：在催化劑表面上進行的非均相化學反應的一維穩態擴散過程。組分A向催化劑表面擴散，在表面上生成B，而組分B進行反方向的擴散。穩態下，A和B之間的定量關系由化學反應方程式來確定。擴散區域非均相反應的5個過程：①擴散；②吸附；③反應；④脫附；⑤反擴散。根據化學反應方程式可知：【例題1】：甲烷的催化裂化反應：如圖所示。反應物CH4（A）向催化劑表面擴散，在表面上生成產品H2（B），而生成物B進行反方向的擴散。如果在擴散區域（L）內無化學反應發生，且為一維穩態擴散過程（恒溫、恒壓、擴散面積等于常數）。試求甲烷的濃度分布、摩爾擴散通量NA及擴散速率GA。1個反應物和1個生成物的2組分混合物。【解】：恒溫、恒壓、擴散面積等于常數的一維穩態過程。式（※）÷式（※※），可得濃度分布為：由式（※※）得摩爾擴散通量為：擴散速率為：【例題2】：一非均相催化反應如圖所示。反應物A、B向催化劑表面擴散，在表面上生成產品C、D，而生成物C、D進行反方向的擴散。如果在擴散區域內無化學反應發生，且為一維穩態擴散過程（恒溫、恒壓、擴散面積等于常數）。試求組分A的濃度分布、摩爾擴散通量NA及擴散速率GA。化學反應方程式為：【解】：根據化學反應方程式可知：多個反應物和多個生成物的多組分混合物。多組分混合物摩爾擴散通量的一般表達式。恒溫、恒壓、擴散面積等于常數的一維穩態過程。式（※）÷式（※※），可得濃度分布為：由式（※※）得摩爾擴散通量為：擴散速率為：若上述化學反應方程式變成為：故：摩爾擴散通量方程相同，其他結果也同上。課堂練習。

一非均相催化反應如圖所示。反應物A、B向催化劑表面擴散，在表面上生成產品C、D，而生成物C、D進行反方向的擴散。如果在擴散區域內無化學反應發生，且為一維穩態擴散過程（恒溫、恒壓、擴散面積等于常數）。試求組分A的濃度分布、摩爾擴散通量NA及擴散速率GA。【解】：4.2非穩態分子擴散1.非穩態分子擴散與非穩態導熱的相似性無總體流動、無化學反應時，微分質量衡算方程為：

無內熱源時，導熱微分方程為：

可見，微分質量衡算方程與導熱微分方程具有相似性（但注意是有條件的）；Fick第二定律Fourier第二定律如果定解條件相似，則其解（濃度分布等）與非穩態導熱相似。

傳質的Fourier數：傳熱的Fourier數：

傳熱的Biot數：

傳質的Biot數：無總體流動時的對流傳質系數，m/s。傳質的Biot數與Sherwood數的比較：相同點：不同點：①公式形式相同；[3]含義不同：無總體流動時的對流傳質系數。2.非穩態分子擴散的三個階段①（半無限厚介質非穩態分子擴散的）第一階段：Fo′<0.2；②（有限厚介質非穩態分子擴散的）第二階段：Fo′>0.2；③穩態分子擴散階段。

因此，非穩態分子擴散這一類問題的求解方法及傳質規律也與非穩態導熱具有相似性。3.半無限厚介質的一維非穩態分子擴散（1）方程簡化

與非穩態導熱的三個階段相似。若總體流動可以忽略不計，也無化學反應，則上式變成：若x、z方向無限大（2）定解條件方程簡化為：（3）微分方程求解

微分方程、定解條件均與一維非穩態層流流動（或導熱）相似，應用合成變量法，只要把速度（或溫度）變成濃度、動量擴散系數（或熱擴散系數）變成擴散系數，非穩態流動（或導熱）結果就可以用于非穩態擴散。

此外，還可以采用拉普拉斯變換法、象源函數法等求解方法。濃度分布：類似地，應用合成變量法，得到濃度分布為：質量滲透深度：與動量（或熱量）滲透深度完全類似。4.有限厚無限大平板的一維非穩態分子擴散有限厚無限大平板中的一維非穩態分子擴散與有限厚無限大平板的一維非穩態導熱的求解過程及結果完全類似，詳見《講義》p245～247。5.集總參數物體和非集總參數物體的非穩態分子擴散對于無限長圓柱體和球體的一維非穩態分子擴散，與導熱也類似，詳見《講義》p248及附錄p314。小結（非穩態分子擴散與非穩態導熱的相似性）[1]微分方程的相似性(例如，Fourier第二定律與Fick第二定律)，但是有條件的：Fourier第二定律：無內熱源；

Fick第二定律：無總體流動、無化學反應。

傳熱的Fourier數與傳質的Fourier數相似傳熱的Biot數與傳質的Biot數相似[2]傳遞準數的相似性傳熱的Nusselt數與傳質的Sherwood數相似傳熱的Prandtl數與傳質的Schmidt數相似

三個階段相似（第一階段、第二階段、穩態階段）[3]傳遞過程及其傳遞規律的相似性

無總體流動的一維穩態分子擴散(無化學反應)與一維穩態導熱(無內熱源)相似

半無限厚非穩態問題相似（包括方程、定解條件、求解方法、溫度與濃度分布、滲透深度等，且與動量傳遞也具有相似性）

有限厚非穩態問題相似（包括方程、定解條件、求解方法、溫度與濃度分布等）[4]傳遞物體的相似性

無總體流動的對流傳質與對流傳熱相似（包括自然對流和強制對流）

集總熱容物體和非集總熱容物體的溫度與時間關系（算圖）

集總參數物體和非集總參數物體的濃度與時間關系（算圖）相似第三節對流傳質4.3-1對流傳質的數學描述1.對流傳質的分類對流傳質是指壁面與流體之間，或兩個有限互溶的運動流體之間的質量傳遞。對流傳質的分類：自然對流傳質和強制對流傳質。強制對流傳質：外加動力、強制流動引起的。自然對流傳質：由于流體混合物內組分濃度不同產生密度差而引起的。2.對流傳質的數學描述—對流傳質微分方程組描述對流傳質的數學方程與對流傳熱的數學方程相似。與自然對流傳熱發生的原因不同。[1]對流傳質微分方程與對流傳熱類似，若無總體流動，在壁面（或界面）附近，由Fick定律可得：移項可得：上式稱為對流傳質微分方程。無總體流動時的對流傳質系數，m/s。對流傳質問題的實質在于如何確定對流傳質系數。可見，要求解傳質系數，就需要知道壁面附近的濃度分布，而濃度分布又直接受傳質邊界層的影響。為此，我們下面就要推導出邊界層質量方程。[2]邊界層質量方程對于二維層流傳質：

稱為（二維）層流邊界層質量方程。穩態傳質采用簡化N-S方程的類似方法，對上式各項進行數量分析，可得：[3]邊界層動量方程對于強制對流：對于自然對流（推導過程見《講義》p183）：[4]連續性方程從理論上講，聯立上述5個方程就可以得到對流傳質系數；但實際上，這樣5個微分方程聯立很難得到解析解，為此，下面將對這些方程進行無因次化，以得到傳質準數之間的關系，為實驗關聯等研究提供理論基礎。1.無因次變量4.3-2對流傳質方程（組）的無因次化為把上述對流傳質方程（組）變成無因次形式，故引進下列無因次變量：2.無因次數及物理意義將無因次變量代入上述對流傳質微分方程組中進行無因次化（方法與對流傳熱類似），其結果見《講義》p266，并得到如下一些無因次數。修伍德（Sherwood）數：施密特（Schmdit）數：（反映了速度分布和濃度分布之間的內在聯系）（與對流傳熱中的物理意義完全相同）雷諾（Reynolds）數：傳質格拉斯霍夫（Grashof）數：（與對流傳熱中的Gr物理意義類同）3.對流傳質的無因次數間關系與對流傳熱類似，我們很容易得到：[1]混合對流傳質強制對流和自然對流的影響都不能忽略。[2]強制對流傳質（忽略自然對流的影響）[3]自然對流傳質（忽略強制對流的影響）注意：由于對流傳質的微分方程組僅適用于層流，因此，上述分析原則上適用于層流。第四節相際傳質理論通過第三節的討論，使我們了解到，求對流傳質系數的方法有2種：基本思路：基本假定描述過程的微分方程（對微分質量衡算方程簡化）求解濃度分布對流傳質微分方程（壁面或界面附近）分子擴散一是解對流傳質微分方程組，但比較困難；二是通過實驗得到準數關聯，這是常用的方法；下面我們將討論第三種方法，即先假定一個擴散模型(在y=0附近)，再用數學方法求解得到濃度分布，再將濃度梯度代入對流傳質微分方程中，得到傳質系數。目前已出現了幾種理論模型—膜理論、溶質滲透模型、表面更新模型等。濃度梯度（在

y=0處）4.4-1膜理論基本假定（基本思想）：①無論層流或湍流，緊靠壁面（或界面）處的流體必呈層流流動；②假定傳質阻力集中在緊靠壁面（或界面）的一薄層厚度為δe的虛擬膜中，虛擬膜中為分子擴散阻力，并等于全部傳質阻力；③在壁面（或界面）上，傳質達到平衡狀態，即為穩態擴散過程。微分方程：對于無總體流動的一維穩態擴散，簡化得到：積分，得：

據邊界條件：

濃度分布：

可見，虛擬膜內濃度呈直線分布。邊界條件：根據對流傳質微分方程（一維）：注意不能由此得出：許多實驗結果表明：由于傳質過程的復雜性，主要論點：①傳質主要靠旋渦運動（從流體主體到界面）；②旋渦在界面上停留極短時間進行傳質后，又返回到流體主體中；假定每個旋渦在界面上的停留時間相同；③旋渦在界面上停留時，傳質以非穩態分子擴散的方式進行。描述這一過程的微分方程是：4.4-2溶質滲透模型無總體流動，y方向一維非穩態擴散。定解條件：初始條件：

即假定旋渦到達界面（或壁面）前，體系內部濃度分布均勻，無濃度梯度。邊界條件：

兩相接觸后，旋渦維持界面（或壁面）濃度不變。因為傳質過程的擴散系數小，接觸時間短，滲透深度很小，另一側維持初始濃度不變。可以認為是半無限厚介質的一維非穩態擴散問題。其解為：

任一時刻的傳質系數為：是指在停留時間內的平均值。可見：任一時刻的傳質系數和平均傳質系數都與擴散系數的0.5次方成正比，溶質滲透模型是非穩態傳質模型。溶質滲透模型存在的問題：①旋渦在界面處的停留時間（或暴露時間）通常很難確定；②假定每個旋渦在界面處具有相同的停留時