問題一

汽車廠月度生產計劃一汽車廠生產小、中、大三種類型的汽車,各種類型的汽車對鋼材以及勞動時間的需求如下表.試制訂月生產計劃,使該工廠的利潤最大.小型車中型車大型車現有量鋼材1.535600勞動時間28025040060000利潤234分析小型車中型車大型車現有量鋼材1.535600勞動時間28025040060000利潤234從收益率來看,比較中型車和大型車得出結論,生產大型車不經濟.因此,若允許車輛數量為實數,則不生產大型車.但是現在車輛為整數,因此模型為1模型的建立記月生產的小、中、大型車的數量分別為x1,x2,x3,模型為這是個整數線性規劃問題,有三個決策變量,要用軟件來求ILP.但是本題比較特殊,我們可以發現2LP圖解法我們先得到實數型的最優解為（64.5,167.7),利潤的最大值為632.3.（64.5,167.7)?但是,遺憾的是,這個解不是整數解,因此不合要求.解決方法:(1)由于解的數字都比較大,我們可以簡單地舍去小數,即取(64,167),此時利潤為629,可以接受.同時定界.(2)在最優解附近試探:(64,168);(65,167);(66,167),(65,166,1)等等.利潤分別為632,631,后兩個不滿足約束.由于最大利潤為632,故最優解為(64,168).3進一步討論由于各種原因(比如,工藝),若生產某種汽車,則至少生產80輛,問生產計劃有何改變?分析:要么xi=0,要么xi≥80,組合起來,共有八種情形:方法一:

讓它們分別與模型(*)一起來求解新的LP,逐一得到它們的最優解.其中(1)不用解;(7),(8)無解;(2)的解為(214.3,0,0),z=428.5;(3)的解為(0,200,0),z=600;;(4)的解為(0,0,120),z=480;(5)的最優解為(80,150.4,0),z=611.2;工時為緊約束;(6)的最優解為(80,0,94),z=536;工時為緊約束;結論:此時最優解為(80,150.4,0),利潤為611.2（64.5,167.7)?(75,97.5)?可行域方法二引入0-1變量的作用是當yi=0時,必有xi=0.本例中,方法三從數學上講,不過,這個式子對變量而言,出現了非線性函數,因此就變成了非線性規劃問題,其求解往往比較困難,即使用軟件求解(如:LINGO,Matlab),也往往依賴于初值的選擇.評注:若能用線性規劃處理,則盡量不要用非線性規劃.例2原油的采購與加工問題某公司用兩種原油(A和B)混合加工成兩種汽油(甲和乙).甲乙兩種汽油含原油A的最低比例分別是50%和60%,每噸售價分別為4800元和5600元.該公司現有原油A和B的庫存量分別為500噸和1000噸,還可以從市場上買到不超過1500噸的原油A.原油A的市場價為:購買量不超過500噸時的單價為10000元/噸;購買量超過500噸但不超過1000噸時,超過500噸的部分8000元/噸;購買量超過1000噸時,超過1000噸的部分6000元/噸.該公司應如何安排原油的采購和加工?模型的建立設購買原油Ax噸,生產汽油甲所用的原油A和B分別為x11和x21噸;乙的分別為x12和x22噸.公司銷售生產的汽油收入為P千元,純收入為R千元.則購買原油A的成本為于是模型為其中模型求解方法一由于c(x)為分段函數,且在每一段內都是線性函數,因此我們可以通過求解三個線性規劃問題,最后比較即可得到模型的最優解.方法二處理分段函數c(x)方法三引入0-1變量yi以yi=1分別表示以三種價格購買原油,等價于模型為混合線性規劃.方法四處理分段線性函數的一般方法500100015001200090005000這個分段函數在三個區間內分別是線性函數,區間的分段點為0,500,1000,1500.當x落在某個區間時我們可以取做區間兩個端點的線性組合來解決.500100015001200090005000取分點b1=0,b2=500,b3=1000,b4=1500.取分點的比例z1,z2,z3,z4.當x落在區間[b1,b2]時,取x=b1z1+b2z2,z1+z2=1;當x落在區間[b2,b3]時,取x=b2z2+b3z3,z2+z3=1;當x落在區間[b3,b4]時,取x=b3z3+b4z4,z3+z4=1;由于c(x)是x的線性函數,自然也是zi的線性函數.為了表示x落在某個區間,我們還要引入表示這個屬性的變量:0-1變量yi.關系式yi中有只有一個為1.投資的收益與風險問題(98年A題)市場上有n種資產（如股票、債券、……）Si（i=1,2,…,n）供投資者選擇，某公司有數額為M的一筆相當大的資金可用于作一個時期的投資。公司財務分析人員對這n種資產進行了評估，估算出在這一時期內購買Si的平均收益率為ri，并預測出購買Si的的風險損失率為qi。考慮到投資越分散，總的風險越小，公司確定，當用這筆資金購買若干種資產時，總體風險可用所投資的Si中最大的一個風險來度量。購買Si要付交易費，費率為pi，并且當購買額不超過給定值ui時，交易費按購買ui計算（不買當然無須付費）。另外，假定同期銀行存款利率是r0，且既無交易費又無風險。（r0=5%）1)已知n=4時的相關數據如下：Siri(%)qi(%)pi(%)ui(元)S1282.51103S2211.52198S3235.54.552S4252.66.540試給該公司設計一種投資組合方案，即用給定的資金M，有選擇地購買若干種資產或存銀行生息，使凈收益盡可能大，而總風險盡可能小。2)試就一般情況對以上問題進行討論，并利用以下數據進行計算。Siri(%)qi(%)pi(%)ui(元)S19.6422.1181S218.5543.2407S349.4606.0428S423.9421.5549S58.11.27.6270Siri(%)qi(%)pi(%)ui(元)S614393.4