材料力學

MechanicsofMaterials

第五章梁彎曲位移

DisplacementsofBendingBeam1、避免變形過大車床主軸齒輪軸

橋式起重機的橫梁變形過大,則會使小車行走困難，出現爬坡現象。2、利用變形車輛上的板彈簧，要求有足夠大的變形，以緩解車輛受到的沖擊和振動作用。（1）校核梁的剛度；（2）求解超靜定梁（變形比較法）。討論范圍：等直梁對稱彎曲變形， 小變形，材料在線彈性范圍內。3、計算梁變形的目的§5-1梁的位移——撓度及轉角

撓曲線：光滑連續的平面曲線

撓度：ω

梁截面轉角：

FxCqC1

yω

變形后梁橫截面變形前梁橫截面坐標系：原點——梁左端；x軸——變形前梁的軸線，向右為正；y軸——與x軸重合，向下為正。q1.撓度ω：橫截面形心沿垂直于軸線方向的線位移（mm）;

與坐標y

同向為正(↓)，反之為負(↑)

2.轉角：橫截面繞其中性軸轉動的角度（rad）；

順時針轉動為正，反之為負

3.撓曲線：梁變形后，軸線變成的光滑曲線。其方程為ω

=f(x)——撓曲線（彈性曲線）

方程4.轉角與撓曲線的關系小變形可見確定梁的位移，關鍵是確定撓曲線方程f(x)。§5-2梁的撓曲線近似微分方程-積分法一、梁的撓曲線近似微分方程撓曲線曲率：由高數，曲線曲率：純彎曲剪力彎曲(l/h＞10)∵小變形，ω'很小，∴ω'2＜＜1，可忽略不計，則有：，代入式（1），得到：

（1）yxM>0

yxM<0

圖示坐標系中，M與ω''的正負號相反，故取“-”，則梁的撓曲線近似微分方程：

對于等截面直梁，可寫成如下形式：近似：1、略去剪力對變形的影響；2、略去高階微小量ω'2。 可見通過對梁的撓曲線近似微分方程兩次積分，可求得梁的轉角和撓度。二、積分法求梁的位移近似微分方程：一次積分：二次積分：1、思路2、積分常數的確定 由邊界條件確定：（1）約束條件：梁支座處已知撓度和轉角；（2）連續條件：各段交界處位移相同。ωC1=ωC2,θC1=θC2F

CAωA=0,θA=0ωA=0,ωB=0AB

①適用于小變形、線彈性材料、細長構件的平面彎曲;

②可應用于各種載荷的等截面或變截面梁的位移;

③優點——使用范圍廣，精確；

缺點——計算較繁。

①寫出彎矩方程若彎矩不能用一個函數給出要分段寫出；

②由撓曲線近似微分方程，積分出轉角、撓度函數；

③利用邊界條件、連續條件確定積分常數；

如果分

n段寫出彎矩方程，則有

2n個積分常數

④求出指定截面的轉角和撓度。積分法求梁變形的基本步驟

積分法適用范圍

例1

求下列各梁的撓曲線方程及最大撓度和轉角解：(1)彎矩方程約束條件：qlEIx(2)積分(3)求積分常數(4)求解x=0:解：由對稱性，只考慮半跨梁ACD，FA=FB=qax1x2FAFBAC段CD段由連續條件：由邊界條件：由對稱條件：000(2a)02a梁的轉角方程和撓曲線方程分別為：最大轉角和最大撓度分別為：1、各段xi都以梁左端為原點；4、梁上有m，在M（x）中，把m項乘以（x-a）0，a為m到原點距離。按照上述規則，總有：C1=C2=…Cn=EIθ0，D1=D2=…Dn=EIω0，使得計算簡化，且只要利用約束條件就可求出積分常數。2、（xi-ai）項，不要合并同類項，積分時看作整體；3、梁上有分布荷載時，延長至右端，在延長段上加等值、反向分布荷載；

積分法注意事項邊界條件、連續條件應用舉例aaqADBEaF彎矩圖3段，共6個積分常數分三段，共6個積分常數

鉸連接PACD§5-3疊加法求梁的位移一、疊加原理 積分法過于繁瑣，如已知簡單荷載作用下梁的位移，可以用疊加法求梁的位移。1、前提：（1）梁小變形；（2）材料服從胡克定律。2、原理：所得M(x)是荷載的線性函數，因而θ(x)、ω(x)也是荷載的線性函數。梁在多種（多個）荷載作用下產生的位移，等于每種（每個）荷載單獨作用下產生的位移的代數和。即：

ω=∑ωi，θ=∑θi

疊加

AqPBCaa=

+

PABqAB§5-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施1.剛度條件

建筑鋼梁的許可撓度：機械傳動軸的許可轉角：精密機床的許可轉角：7-5根據要求，圓軸必須具有足夠的剛度，以保證軸承B處轉角不超過許用數值。

B1）由撓度表中查得承受集中載荷的外伸梁B處的轉角為：

解§5-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施例5已知鋼制圓軸左端受力為F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。軸承B處的許可轉角θ=0.5°。根據剛度要求確定軸的直徑d。例6已知鋼制圓軸左端受力為F＝20kN，a＝lm，l＝2m，E=206GPa。軸承B處的許可轉角θ=0.5°。根據剛度要求確定軸的直徑d。B2）由剛度條件確定軸的直徑：§5-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施§5-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施2.提高梁剛度的措施1）選擇合理的截面形狀2）改善結構形式，減少彎矩數值改變支座形式§5-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施2）改善結構形式，減少彎矩數值改變載荷類型§5-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施3）采用超靜定結構§5-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施3）采用超靜定結構§5-5梁的剛度條件及提高梁剛度的措施1）選擇合理的截面形狀2）減少彎矩數值4）采用E大的材料？？§5-6用變形比較法解簡單超靜定梁1.基本概念：超靜定梁：未知力數目大于獨立平衡方程數目的梁。多余約束：從維持平衡角度而言,多余的約束超靜定次數：多余約束或多余約束反力的數目。2.求解方法：1）解除多余約束，建立基本體系；2）比較變形，列變形協調條件3）由物理關系建立補充方程4）利用靜力平衡條件求其他約束反力。基本體系：用多余約束力代替多余