第26講矩形、菱形與正方形內容索引基礎診斷梳理自測，理解記憶考點突破分類講練，以例求法易錯防范辨析錯因，提升考能基礎診斷返回知識梳理11.矩形有一個角是直角的平行四邊形是矩形.矩形的四個角都是

，對角線相等且

.矩形的判定方法：(1)有三個角是直角的四邊形；(2)是平行四邊形且有一個角是直角；(3)對角線相等的平行四邊形；(4)對角線相等且互相平分的四邊形.直角互相平分2.菱形有一組鄰邊

的平行四邊形叫做菱形.菱形的四條邊都相等，對角線互相

，且每一條對角線平分一組

.菱形的判定方法：(1)四條邊都相等；(2)有一組鄰邊相等的平行四邊形；(3)對角線互相垂直的平行四邊形；(4)對角線互相垂直平分的四邊形.相等垂直平分對角3.正方形有一組鄰邊

且有一個角是

的平行四邊形叫做正方形.正方形的四個角都是直角，四條邊都相等，兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角.正方形的判定方法：(1)鄰邊相等的矩形；(2)有一個角是直角的菱形.直角相等4.平行四邊形與矩形、菱形、正方形的聯系(1)平行四邊形與矩形的聯系：在平行四邊形的基礎上，增加“一個角是直角”或“對角線相等”的條件可為矩形；若在四邊形的基礎上，則需有三個角是直角(第四個角必是直角)才可判定為矩形.(2)平行四邊形與菱形的聯系：在平行四邊形的基礎上，增加“一組鄰邊相等”或“對角線互相垂直”的條件可為菱形；若在四邊形的基礎上，則需有四邊相等才可判定為菱形.(3)菱形、矩形與正方形的聯系：正方形的判定可簡記為：菱形＋矩形＝正方形，其證明思路有兩個：①先證四邊形是菱形，再證明它有一個角是直角或對角線相等(即矩形)；②先證四邊形是矩形，再證明它有一組鄰邊相等或對角線互相垂直(即菱形).1.(2016·益陽)下列判斷錯誤的是(

)A.兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形B.四個內角都相等的四邊形是矩形C.四條邊都相等的四邊形是菱形D.兩條對角線垂直且平分的四邊形是正方形診斷自測212345D解析兩條對角線互相垂直、平分且相等的四邊形才是正方形.2.(2016·菏澤)在?ABCD中，AB＝3，BC＝4，當?ABCD的面積最大時，下列結論正確的有(

)①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.A.①②③ B.①②④C.②③④ D.①③④1234解析根據題意得，當?ABCD的面積最大時，四邊形ABCD為矩形，∴∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AC＝BD，B53.(2016·無錫)下列性質中，菱形具有而矩形不一定具有的是(

)A.對角線相等 B.對角線互相平分C.對角線互相垂直 D.鄰邊互相垂直1234C解析A.對角線相等是矩形具有的性質，菱形不一定具有；B.對角線互相平分是菱形和矩形共有的性質；C.對角線互相垂直是菱形具有的性質，矩形不一定具有；D.鄰邊互相垂直是矩形具有的性質，菱形不一定具有.512344.(2015·梧州)如圖，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝1，延長AD到點E，使DE＝AD，延長CD到點F，使DF＝CD，連接AC、CE、EF、AF，則下列描述正確的是(

)B51234解析∵DE＝AD，DF＝CD，∴四邊形ACEF是平行四邊形，∵四邊形ABCD為菱形，∠B＝60°，AB＝1，∴∠ADC＝60°，AD＝CD＝1，∴△ACD是等邊三角形，∴AE＝CF，∴四邊形ACEF是矩形，∴AC＝EF＝1.過點D作DG⊥AF于點G，512345123455.(2016·聊城)如圖，把一張矩形紙片ABCD沿EF折疊后，點A落在CD邊上的點A′處，點B落在點B′處，若∠2＝40°，則圖中∠1的度數為(

)AA.115° B.120°C.130° D.140°解析∵把一張矩形紙片ABCD沿EF折疊后，點A落在CD邊上的點A′處，點B落在點B′處，∴∠1＝∠EFB′，∠B′＝∠B＝90°，∵∠2＝40°，∴∠CFB′＝50°，∴∠1＋∠EFB′－∠CFB′＝180°，即∠1＋∠1－50°＝180°，解得：∠1＝115°.返回考點突破返回例1

(2016·福州)如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是邊CD上一點，將△ADM沿直線AM對折，得到△ANM.

(1)當AN平分∠MAB時，求DM的長；考點一矩形的性質與判定答案解由折疊性質得：△ANM≌△ADM，∴∠MAN＝∠DAM，∵AN平分∠MAB，∴∠MAN＝∠NAB，∴∠DAM＝∠MAN＝∠NAB，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAB＝90°，∴∠DAM＝30°，(2)連接BN，當DM＝1時，求△ABN的面積；答案解延長MN交AB延長線于點Q，如答圖1所示，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠DMA＝∠MAQ，由折疊性質得：△ANM≌△ADM，∴∠DMA＝∠AMQ，AN＝AD＝3，MN＝DM＝1，∴∠MAQ＝∠AMQ，∴MQ＝AQ，設NQ＝x，則AQ＝MQ＝1＋x，∵∠ANM＝90°，∴∠ANQ＝90°，在Rt△ANQ中，由勾股定理得：AQ2＝AN2＋NQ2，即(x＋1)2＝32＋x2，解得：x＝4，答案∴NQ＝4，AQ＝5，∵AB＝4，AQ＝5，(3)當射線BN交線段CD于點F時，求DF的最大值.答案規律方法解過點A作AH⊥BF于點H，如答圖2所示，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA＝∠BFC，∵∠AHB＝∠BCF＝90°，答案規律方法∵AH≤AN＝3，AB＝4，∴當點N、H重合(即AH＝AN)時，AH最大，BH最小，CF最小，DF最大，此時點M、F重合，B、N、M三點共線，如答圖3所示，由折疊性質得：AD＝AH，∵AD＝BC，∴AH＝BC，在△ABH和△BFC中，規律方法∴△ABH≌△BFC(AAS)，∴CF＝BH，本題考查了矩形的性質、折疊的性質、相似三角形的判定與性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識.本題綜合性強，難度較大，熟練掌握矩形和折疊的性質，證明三角形相似和三角形全等是解決問題的關鍵.規律方法練習1答案(2016·十堰)如圖，將矩形紙片ABCD(AD＞AB)折疊，使點C剛好落在線段AD上，且折痕分別與邊BC，AD相交，設折疊后點C，D的對應點分別為點G，H，折痕分別與邊BC，AD相交于點E，F.(1)判斷四邊形CEGF的形狀，并證明你的結論；解證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GFE＝∠FEC，∵圖形翻折后點G與點C重合，EF為折線，∴∠GEF＝∠FEC，∴∠GFE＝∠FEG，∴GF＝GE，∵圖形翻折后EC與GE完全重合，∴EC＝GE，∴GF＝EC，∴四邊形CEGF為菱形.答案(2)若AB＝3，BC＝9，求線段CE的取值范圍.答案解如答圖1，當F與D重合時，CE取最小值，由折疊的性質得，CD＝DG，∠CDE＝∠GDE＝45°，∵∠ECD＝90°，∴∠DEC＝45°＝∠CDE，∴CE＝CD＝DG，∵DG∥CE，∴四邊形CEGD是正方形，∴CE＝CD＝AB＝3；如答圖2，當G與A重合時，CE取最大值，由折疊的性質得，AE＝CE，∵∠B＝90°，∴AE2＝AB2＋BE2，即CE2＝32＋(9－CE)2，解得：CE＝5，∴線段CE的取值范圍為3≤CE≤5.菱形的性質與判定考點二例2

(2016·沈陽)如圖，△ABC≌△ABD，點E在邊AB上，CE∥BD，連接DE.求證：(1)∠CEB＝∠CBE；答案證明

∵△ABC≌△ABD，∴∠ABC＝∠ABD，∵CE∥BD，∴∠CEB＝∠DBE，∴∠CEB＝∠CBE.(2)四邊形BCED是菱形.答案規律方法證明

∵△ABC≌△ABD，∴BC＝BD，∵∠CEB＝∠CBE，∴CE＝CB，∴CE＝BD，∵CE∥BD，∴四邊形BCED是平行四邊形，∵BC＝BD，∴四邊形BCED是菱形.規律方法本題考查全等三角形的性質、菱形的判定、平行四邊形的判定等知識，熟練掌握全等三角形的性質是解題的關鍵，記住平行四邊形、菱形的判定方法，屬于中考常考題型.(2016·蘇州)如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，過點D作對角線BD的垂線交BA的延長線于點E.(1)證明：四邊形ACDE是平行四邊形；練習2答案解證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB∥CD，AC⊥BD，∴AE∥CD，∠AOB＝90°，∵DE⊥BD，即∠EDB＝90°，∴∠AOB＝∠EDB，∴DE∥AC，∴四邊形ACDE是平行四邊形.(2)若AC＝8，BD＝6，求△ADE的周長.答案解∵四邊形ABCD是菱形，AC＝8，BD＝6，∴AO＝4，DO＝3，AD＝CD＝5，∵四邊形ACDE是平行四邊形，∴AE＝CD＝5，DE＝AC＝8，∴△ADE的周長＝AD＋AE＋DE＝5＋5＋8＝18.考點三

正方形的性質與判定A.2 B.3 C.4 D.5B答案分析規律方法分析

①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠GAD＝∠ADO＝45°，故①正確.②由折疊的性質可得：AE＝EF，∠EFD＝∠EAD＝90°，∴AE＝EF＜BE，分析規律方法③∵∠AOB＝90°，∴AG＝FG＞OG，△AGD與△OGD同高，∴S△AGD＞S△OGD，故③錯誤.④∵∠EFD＝∠AOF＝90°，∴EF∥AC，∴∠FEG＝∠AGE，∵∠AGE＝∠FGE，∴∠FEG＝∠FGE，∴EF＝GF，∵AE＝EF，∴AE＝GF，∴四邊形AEFG是菱形，故④正確.⑤∵四邊形AEFG是菱形，∴∠OGF＝∠OAB＝45°，分析規律方法⑥∵四邊形AEFG是菱形，∠BAO＝45°，∠GOF＝90°，∴△OGF是等腰直角三角形，∴AE＝GF＝2，分析規律方法綜上可知，其中正確結論的序號是：①④⑤.規律方法本題考查的是四邊形綜合題，涉及到正方形的性質、折疊的性質、等腰直角三角形的性質以及菱形的判定與性質等知識.本題綜合性較強，難度較大，注意掌握折疊前后圖形的對應關系，注意數形結合思想的應用.規律方法練習3答案(2016·臨沂)如圖1，在正方形ABCD中，點E，F分別是邊BC，AB上的點，且CE＝BF.連接DE，過點E作EG⊥DE，使EG＝DE，連接FG，FC.(1)請判斷：FG與CE的數量關系是____________，位置關系是____________；解

FG＝CE；FG∥CE.FG＝CEFG∥CE答案(2)如圖2，若點E，F分別是邊CB，BA延長線上的點，其它條件不變，(1)中結論是否仍然成立？請作出判斷并給予證明；解

FG＝CE，FG∥CE.理由如下：過點G作GH⊥CB的延長線于點H，∵EG⊥DE，∴∠GEH＋∠DEC＝90°，∵∠GEH＋∠EGH＝90°，∴∠DEC＝∠EGH，在△HGE和△CED中，∵∠GHE＝∠ECD，∠EGH＝∠DEC，EG＝DE，∴△HGE≌△CED(AAS)，∴GH＝CE，HE＝CD，∵CE＝BF，∴GH＝BF，答案∵GH∥BF，∴四邊形GHBF是矩形，∴FG＝BH，FG∥CH，∴FG∥CE，∵四邊形ABCD是正方形，∴CD＝BC，∴HE＝BC，∴HE＋EB＝BC＋EB，∴BH＝CE，∴FG＝CE.答案(3)如圖3，若點E，F分別是邊BC，AB延長線上的點，其它條件不變，(1)中結論是否仍然成立？請直接寫出你的判斷.解

∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD，∠FBC＝∠ECD＝90°，在△CBF與△DCE中，∵BF＝CE，∠FBC＝∠ECD，BC＝DC，∴△CBF≌△DCE(SAS)，∴∠BCF＝∠CDE，CF＝DE，∵EG＝DE，∴CF＝EG，∵DE⊥EG，∴∠DEC＋∠CEG＝90°，∵∠CDE＋∠DEC＝90°，∴∠CDE＝∠CEG，∴∠BCF＝CEG，∴CF∥EG，∴四邊形CEGF是平行四邊形，∴FG∥CE，FG＝CE.返回易錯防范返回易錯警示系列

26不認真畫圖導致錯誤試題在△ABC的兩邊AB、AC上向形外作正方形ABEF、ACGH，過點A作BC的垂線分別交BC于點D，交FH于M，求證：FM＝MH.錯誤答案展示證明：如圖，∵四