計算機輔助設計技術制作：方舟本章學習目標

掌握CAD的基本概念、發展和趨勢了解CAD技術在機械設計中的應用熟悉CAD的軟硬件系統掌握設計資料的管理技術掌握圖形生成的主要方法重點：CAD的概念計算機輔助設計技術（CAD）已經成為企業提高創新能力、產品開發能力和增強企業競爭能力的一項關鍵技術。

CAD技術是集計算機圖形學、數據庫、網絡通訊等計算機及其他領域知識于一體的綜合性高新技術；是先進制造技術的重要組成部分；也是提高設計水平、縮短產品開發周期、增強行業競爭能力的一項關鍵技術。CAD技術具有涉及面廣、技術變化快、投入產出高、功能強等特點，能夠滿足廣大用戶需求的變化和不斷增長的要求。1.1計算機輔助設計概述1.1.1計算機輔助設計概念

（ComputerAidedDesign，CAD)

計算機輔助設計是利用計算機強有力的計算功能和高效的圖形處理能力,輔助設計師進行工程和產品的設計和分析,以達到理想的目的或取得創新成果的一種技術.包括設計、工程分析、仿真、繪圖、編撰技術文檔…完備的CAD系統包括:圖形系統、科學計算和工程數據庫…1.1.1.1CAD的基本功能交互功能圖形顯示功能存儲功能輸入輸出功能交互功能

人機接口是CAD系統中用戶與系統連接的橋梁友好的用戶界面，是用戶直接而有效地完成復雜設計任務的必要條件除軟件中界面設計外，還必須有交互設備實現人與計算機之間的不斷通信圖形顯示功能

CAD是一個人機交互的過程，從產品的造型、構思、方案的確定，結構分析到加工過程的仿真，系統隨時保證用戶能夠觀察、修改中間結果，實時編輯處理用戶的每一次操作都要能從顯示器上及時得到反饋，直到取得最佳的設計結果。圖形顯示功能不僅能夠對二維平面圖形進行顯示控制，還應當包含三維實體的處理存儲功能為了保證系統正常的運行，CAD系統必須配置容量較大的存儲設備，支持數據在模塊運行時的正確流通；其次，工程數據庫系統的運行也必須有存貯空間的保障

CAD系統運行時，數據量很大，有很多算法往往生成大量的中間數據，尤其是對圖形的操作、交互式的設計以及結構分析中的網格劃分等。IBM737Magneticcorestorageunit輸入輸出功能

CAD系統運行中，用戶需不斷地將有關設計的要求、各步驟的具體數據等輸入計算機內，通過計算機的處理，能夠輸出系統處理的結果輸入輸出的信息既可以是數值的，也可以是非數值的，如圖形數據、文本…1.1.1.2CAD的主要任務幾何建模工程繪圖計算分析優化設計有限元分析計算機輔助工藝規程設計數控編程動態仿真計算機輔助測試技術工程數據管理幾何建模描述基本幾何實體（如大小）及實體間的關系（如幾何信息），進行圖形圖像的技術處理。幾何建模技術是CAD系統的核心，為產品設計、制造提供基本數據和原始信息

工程繪圖

CAD系統有處理二維圖形的能力，包括基本圖元的生成，標注尺寸，圖形編輯（比例變換、平移、拷貝、刪除等）CAD系統的重要環節，產品最終結果的表達方式系統還應具備從幾何造型的三維圖形直接向二維圖形轉換的功能計算分析計算分析對象包括幾何特征（如體積、表面積、質量、重心位置、轉動慣量…）和物理特征（如應力、溫度、位移…）低壓冷渦輪葉片結構分析

要求CAD系統對各類計算分析的算法正確、全面，且有較高的計算精度油井壓縮機頭部封蓋失效的原因分析優化設計

CAD系統應具有優化求解的功能，也就是在某些條件的限制下，使產品或工程設計中的預定指標達到最優。優化設計包括：

總體方案的優化

產品零件結構的優化工藝參數的優化

…優化設計是現代設計方法學中的重要的組成部分

有限元分析

CAD系統結構分析中的常用方法是有限元法，這是一種數值近似解方法，用來解決結構形狀比較復雜零件的靜態、動態特性計算，強度、振動、熱變形、磁場、溫度場強度、應力分布狀態等計算分析。

計算機輔助工藝規程設計設計的目的是為了加工制造，而工藝設計是為產品的加工制造提供指導性的文件，是CAD與CAM的中間環節

CAPP根據建模生成的產品信息及制造要求，人機交互或自動決策出加工該產品所采用的加工方法、加工步驟、加工設備及加工參數

CAPP設計結果一方面生成工藝卡片文件被生產實際應用，一方面直接輸出信息，為CAM中的NC自動編程系統接收、識別，直接轉換為刀位文件1.1.2CAD技術的發展(Ⅰ)1946年，ENIAC

50年代，APT1962年，SKETCHPAD

70年代末，以小型和超級小型計算機為主機的CAD系統進入市場并形成主流，形成CAD產業1.1.2CAD技術的發展(Ⅱ)KMCAD摩托車曲軸箱體柔性加工生產線1.1.3CAD技術發展趨勢1集成化多功能化.2智能化數據庫高度綜合集成.3網絡化跨地域同步工作.1.1.4CAD技術的應用1.1.4CAD技術的應用將設計人員從大量繁瑣的重復勞動中解放出來，減少設計、計算、制圖、制表所需的時間，縮短了設計周期，提高了產品的質量，有利于發揮設計人員創造性借助計算機輔助分析技術，可從多方案中進行分析、比較、選出最佳方案，實現設計方案的優化有利于實現產品的標準化、通用化和系列化促進先進生產設備的應用，在較大范圍內適應加工對象的變化，提高生產過程自動化水平，有利于企業提高應變能力和市場競爭力

CAD的一體化，可以實現信息集成，使產品的設計、制造過程形成一個有機的整體，在經濟上、技術上給企業帶來綜合效益優越性CATIA汽車點云1CATIA汽車點云21.2CAD系統硬件提供CAD系統潛在的能力軟件是開發、利用其能力的鑰匙CAD系統運行環境構成：硬件、軟件和人（重要的是人的創新能力！）1.2.1CAD系統結構1.2.2CAD系統的硬件主機外存儲器輸入設備輸出設備網絡設備硬件包括一切可以觸摸到的物理設備硬件系統是實現系統各項功能的物質基礎，它由計算機，存儲設備，顯示設備，人機交互設備和輸出設備等組成主機主機是控制和指揮整個系統執行運算及邏輯分析的裝置，是系統的核心主機的類型及性能很大程度上決定了CAD系統的使用性能功能較強的CAD系統常選用工作站作為系統的主機主機關鍵部分:中央處理器(CPU)主存儲器(內存)外存儲器外存儲器是補充內存、減輕主機負荷的一種輔助存儲設備，用來存放大量暫時不用而等待調用的程序和數據，它通過內存參與計算機的工作，容量比內存大，速度慢

通常對存儲器的評價須考慮容量、價格、存取速度等指標

磁盤

(軟盤、

U盤、硬盤)

磁帶光盤小型數控測量機

關節式測量臂

非接觸式三維掃描儀

輸入設備輸出設備（1）滾筒式繪圖儀大型平板繪圖儀筆式繪圖機：以墨水筆作為繪圖工具，計算機通過程序指令控制筆和紙的相對運動，同時，對圖形的顏色、圖形中的線型以及抬筆、落筆動作加以控制，由此將屏幕顯示的圖形或存儲器中的圖形輸出平板式繪圖機：紙不動、筆在x、y兩方向運動，繪圖者可自始至終觀察繪圖過程，速度稍慢，精度高，但價格比較貴，而且占地面積大，幅面受限制，工程圖紙質量高筆式繪圖

自動繪圖機按工作原理分：筆式繪圖和非筆式繪圖光固化成形機

熔融擠壓機

迅速做出100%忠實再現設計意圖的原型供外觀驗證、裝配驗證

快速原型系統真空注型機

輸出設備（2）1.2.3CAD系統的軟件系統軟件

支撐軟件

應用軟件計算機軟件是指控制CAD系統運行，并能使計算機發揮最大功效的計算機程序、數據及相關文檔資料等的總和

基本組成

根據系統中執行的任務及服務對象的不同，可將軟件系統分為三個層次:特點：基礎性：各種支撐軟件及應用軟件都需要在系統軟件支撐下運行通用性：不同領域的用戶都可以和需要使用。應用軟件要借助于系統軟件編制與實現

CAD系統流行的操作系統：微機：WINDOWS98、WINDOWS2000、WINDOWSNT、PC-DOS…工作站：UNIX，VMS…系統軟件與計算機硬件直接關聯，起著擴充計算機的功能和合理調度與運用計算機的作用系統軟件支撐軟件功能獨立型支撐軟件功能集成型支撐軟件

支撐軟件指直接支持用戶進行CAD工作的通用性功能軟件，不同的支撐軟件依賴一定的操作系統，是各類應用軟件的基礎。支撐軟件可從軟件市場上購買，用戶也可自行開發。功能獨立型支撐軟件交互繪圖軟件幾何建模軟件優化方法軟件有限元分析軟件數控編程軟件數據庫系統軟件模擬仿真軟件交互繪圖軟件主要以人機交互方法完成二維工程圖樣生成和繪制，具有基本圖形元素(點、線、圓)繪制，圖形變換(縮放、平移、旋轉…)，編輯(增、刪、改…)，存貯，顯示控制以及人機交互設計、驅動輸入/輸出設備…

典型：

…幾何建模軟件為用戶提供一個完整、準確地描述和顯示三維幾何形狀的方法和工具SolidEdge

SolidWorks具有消隱、著色、濃淡處理、實體參數計算、質量特性計算、參數化特征造型、裝配和干涉檢查等功能優化方法軟件將優化技術應用于工程設計，綜合多種優化計算方法，為選擇最優方案、取得最優解、求解數學模型提供強有

力的數學工具軟件用戶通過改變技術要求或輸入確定的規則，完成許多優化過程，快速、自動地進行優化設計。通過多次設計迭代得到最佳設計結果。優化設計的原則是尋求最優設計；手段是計算機和應用軟件；理論依據是數學規劃法有限元分析軟件利用有限元法進行結構分析的軟件，通常包括前置處理、計算分析及后置處理三個部分。可以進行靜態、動態、熱特性、流體特性、電磁場分析…

例：ANSYS、SAP、ASKA、NASTRAN…moldflowAnsys功能集成型支撐軟件

一般提供設計、分析、造型、數控編程及加工控制…，多種模塊，功能比較齊全，是開展CAD的主要軟件如：Pro/Engineer

SolidWorks

UG

…

Pro/Engineer

Pro/E是美國PTC（ParamatricTechnologyCorporation）公司開發的機械設計自動化軟件，最早實現參數化技術商品化，國內應用最為廣泛的CAD軟件之一

Pro/E功能齊全，包括70多個專用功能模塊，如特征造型、裝配建模、有限元分析、曲面造型、產品數據管理…應用軟件應用軟件是在系統軟件和支撐軟件基礎上，針對用戶具體要求而開發的程序

在具體的CAD應用中，必須進行二次開發，根據用戶要求開發用戶化的應用程序如：塑料模具設計軟件、冷沖模具設計軟件、組合機床設計軟件、機床夾具設計軟件…1.5設計資料管理數表的數組化數表的文件化數表的公式化數據庫

CAD中需要將各種表格數據和曲線圖表編入程序預先存入計算機中，以便設計時由程序自動檢索和調用，提高設計的自動化程度

這就涉及各種計算機數據處理技術

1.5.1設計數據或資料的計算機常用處理方法：將數表或線圖轉化為公式編入程序，再根據已知數據計算出所需數據數表的數組化將數表(含線圖離散化而成數表)中的數據編入程序，存入一維、二維或多維數組，再根據已知條件自動檢索和調用所需數據例1：將表中為標準螺孔底孔尺寸進行數組化處理標準螺孔底孔尺寸公稱尺寸MM4M5M6M7M8M9M10M12M14M16M18M20底孔尺寸d3.34.25.06.06.77.78.510.211.913.915.417.4定義2個一維數組，將數表中的數值賦值于各自的數組，使之初始化

數表程序化的C語言初始化賦值語句：

floatm[12]={4,5,6,7,8,9,10,12,14,16,18,20};floatd[12]={3.3,4.2,5.0,6.0,6.7,7.7,8.5,10.2,11.9,13.9,15.4,17.4};可用d[0]=3.3表示M4的底孔尺寸，d[1]=4.2表示M5螺孔的底孔尺寸…若已知螺孔公稱尺寸m[i]，就可相應的檢索出螺孔底孔尺寸d[i]例2：二維數表

決定齒輪工況系數KA值有兩個自變量，即原動機的載荷特性和工作機的載荷特性。它們原本無數值概念，現用i=0~2及j=0~2分別代表原動機和工作機不同的載荷特性，用一個二維數組ka[3][3]記載表中的系數

齒輪傳動工況系數KA工作機載荷特性工作平穩中等沖擊較大沖擊j=0j=1j=2工作平穩i=01.001.251.75輕度沖擊i=11.251.502.00中等沖擊i=21.501.752.25原動機載荷特性工況系數

Ka[i][j]#include<stdio.h>main(){inti,j;floatka[3][3]={{1.0,1.25,1.75},{1.25,1.5,2.0},{1.5,1.75,2.25}};while(1){printf(“請輸入原動機的載荷特性(0,1,2):”);scanf（“%d”，&i）;if(i>=0&&i<=2)break;}while(1){printf(“請輸入工作機的載荷特性(0,1,2):”)；

scanf（“%d”，&j）;if(j>=0&&j<=2)break;}printf(“您檢索的齒輪工況系數為%f,”,ka[i][j]);}檢索齒輪傳動工況系數的C程序：數表的數組化數表的文件化數據量很大，用數組不便于處理，可將數表中（含線圖離散化而成數表）的數據，存入數據文件或數據庫中，數據獨立于應用程序使用時通過檢索程序查詢和調用所需數據例：建立平鍵和鍵槽尺寸數據文件

平鍵和鍵槽的剖面尺寸（部分）

軸徑d鍵鍵槽

b

htt1>17-22663.52.8>22-30874.03.3>30-381085.03.3>38-441285.53.3>44-501496.03.8>50-5816106.54.3>58-6518117.04.4>65-7520127.54.9>75-8522149.05.4>85-9525149.05.4>95-110281610.06.4>110-130321811.07.41.5.2設計數據的輸入、輸出1數據的輸入數據的輸入可以通過直接賦值、交互式賦值、數據采集、數據文件、數據庫文件和數據庫接口六種方式完成。

數據庫接口是目前許多高級編程語言提供的與數據庫連接的接口。2數據的輸出

屏幕輸出 文件輸出 數據庫輸出1.5.3設計數據的查找1人工查找（無法排序或自動處理）2順序查找（不排序，逐個對比）3折半查找（已經排序）4分塊查找（關鍵值排序，塊內順序查找）1.5.4設計的常用排序方法1選擇排序：選出關鍵值最小的記錄，與第一個交換。2冒泡排序：順次比較相鄰記錄，如果后者較小則交換位置。3插入排序：第一個位置合適，IF第二個記錄值小則插入到第一個之前，ELSE位置不變。下一個值與前面的各記錄進行比較，確定該值的位置。4快速排序：將數據分為兩組，一組大于關鍵值，一組小于關鍵值。再對這兩組再分組。由于數據的離散性和離散數量的有限性，相鄰兩數值點之間的函數值只能選取相近的數據，會給計算帶來誤差。數表的存儲和使用，會占用較多的計算機資源和存儲空間，增加計算機檢索時間；數表公式化處理方法：1.5.5函數插值

1.5.6曲線擬合數據間存在某些聯系或函數關系的列表函數應盡量進行公式化處理，充分利用計算機高速計算功能1.5.5函數插值已知插值點P的相鄰兩點：

P1=f(x1)P2=f(x2)

近似認為此區域函數呈線性變化，用過P1、P2兩點連線的直線g(x)代替原來函數f(x)，則插值點函數為：

函數插值分：線性插值、拋物線插值和拉格朗日插值

線性插值（兩點插值）拋物線插值為提高插值精度，可采用拋物線插值。拋物線插值又稱三點插值根據插值點x值，選取三個相鄰自變量xi-1,xi和xi+1，簡化為x1、x2、x3

滿足x1≤x≤x3

，過這三點作拋物線g(x)替代f(x)，與線性插值類似可寫出拋物線插值公式：1.5.6曲線擬合用插值法對列表函數進行公式化處理是一種比較簡便的方法，但存在兩方面不足：①插值函數嚴格通過列表函數中的每個節點，而這些節點數據往往由試驗所得，不可避免的帶有試驗誤差，這樣得到的插值公式復印了原有的節點誤差；②仍需將各節點數據存儲在計算機內，占用存儲空間工程上常采用數據的函數擬合方法（又稱曲線擬合），所擬合的曲線不要求嚴格通過所有的節點，而是盡量反映數據的變化趨勢函數擬合有多種方法，最常用的為最小二乘法最小二乘法原理若列表函數所有節點基本上呈現線性變化規律，用直線方程f(x)=a+bx

描述

選取系數a,b，使偏差平方和φ最小，就是最小二乘法的實質

最小二乘法處理的任務就是求直線方程中的待定系數a和b

最小二乘法步驟①在坐標紙上標出列表函數各節點數據，并根據其趨勢繪出大致的曲線②根據曲線確定近似的擬合函數類型，擬合函數可為直線方程、代數多項式、對數函數、指數函數…③用最小二乘法原理確定函數中的待定系數圖示各結點到所擬合直線偏差的平方和為：則令：

根據函數求極值性質，函數對自變量的偏導為零求偏導數，得：

求得：例：以表中的5次實驗數據為例，擬合線性方程

ixiyixi2xiyi11010222443329644516205542520Σ15135550將表中數據代入前式得方程組：

求解得：a=-0.7b=1.1

則：f(x)=1.1x-0.71.5.7設計數據的結構及應用

數據的存儲方式:順序存儲、鏈式存儲、樹狀結構和網狀結構(1)鏈表的應用1）繪圖軟件中用鏈表存儲圖形數據，例如下面的矩形圖形，可以采用鏈表存儲四個頂點數據2）對于繪圖區域中的幾個圓形，也可以采用鏈表的方式存儲圖形數據。

其中，鏈表的每一個結點存儲一個圓的數據。3）對于繪圖中，在坐標系的線段的數據的存儲也可以采用鏈表結構。右圖所示為一平面坐標內的折線段，其存采用下面所示鏈表。（2）建立一個鏈表右圖所示為建立鏈表流程圖（其中，當輸入數據為零時，結束鏈表的建立）第一步：建立頭節點，由指針*head，指向它。第二步：判斷，并建立一個新的節點，由指針*s，指向它。第三步：將新節點添加到鏈表。第四步：依次類推，直到輸入數據為0。（3）鏈表中節點的刪除刪除節點以后刪除節點以前（4）給鏈表插入一個節點插入節點之前插入節點之后1.5.8數據庫的基本原理與應用數據庫技術可有效管理產品設計和制造的數據信息，實現數據的共享，保持程序與數據的獨立性，保證數據的完整性和安全性.數據庫技術在CAD作業中得到廣泛的應用數據庫的數據模型數據庫系統的一個核心問題就是研究如何表示和處理實體間的聯系表示實體及實體間聯系的模型被稱為數據模型層次數據庫網狀數據庫關系數據庫現行數據庫系統中，常用的數據模型有三種：層次模型用樹性結構表示實體之間連系的模型稱為層次模型，它能描述一對多的關系層次模型兩個條件：只有一個根結點根以外的其他節點有且只有一個父節點按照層次模型建立的數據庫系統稱為層次模型數據庫系統

網狀模型網狀模型滿足兩個條件：可以有兩個以上結點無父點至少有一個結點有多于一個父結點層次模型是網狀模型的特殊形式，網狀模型能描述多對多的關系

按照網狀模型建立的數據庫系統稱為網狀模型數據庫系統

關系模型用二維表結構表示實體之間聯系的一種模型，能描述多對多的關系

作為一個“關系”的二維表，必須滿足如下條件：表中每一列必須是基本數據項，而不是組合項表中每一列必須具有相同的數據類型表中的每一列必須有一個唯一的屬性名表中不應有內容相同的行行與列的順序均不影響表中所表示的信息含義關系模型的數據結構簡單，數據獨立性高，理論基礎堅實，操作算法成熟、完善

關系模型的理論基礎是關系代數、集合論基于關系模型建立的數據庫系統稱為關系數據庫系統關系模型示例表a為產品數據的集合，表b是零件數據的集合兩個表之間通過關鍵字段“產品代號”形成一對多的關系，表a為父表，表b為子表，它們共同描述了產品的基本的構成信息產品代號產品名稱數量價格AA減速器2002000BB閥門2601200CC車床2056000DD銑床1064000產品代號零件名稱零件號數量AA齒輪AAA-2250AA傳動軸AA-3120CC主軸CC-3100CC絲杠CC-4100CC三爪卡盤CC-7120BB連接盤BB-3220AA齒輪BAA-6130表a：產品數據表

表b：零件數據表

1:M1.6圖形變換坐標系統窗口－視區變換幾何變換基礎二維圖形基本幾何變換二維圖形的復合變換三維圖形的幾何變換圖形變換指對圖形的幾何信息經過幾何變換后產生新的圖形，提出的構造或修改圖形的方法除圖形的位置變動外，可以將圖形放大或縮小，或者對圖形作不同方向的拉伸來使其扭曲變形…坐標系統從定義一個零件的幾何外形到圖形設備上生成相應圖形，需要建立相應的坐標系統來描述，并通過坐標變換來實現圖形的表達實物物體所處空間中（二維或三維空間）用以協助用戶定義圖形所表達物體幾何尺寸的坐標系，也稱用戶坐標系，多用右手直角坐標系設備坐標系（DC）

規格化設備坐標系（NDC）世界坐標系（WC）O

X

Y

O

XYZ坐標系統從定義一個零件的幾何外形到圖形設備上生成相應圖形，通常需要建立相應的坐標系統來描述，并通過坐標變換來實現圖形的表達與圖形輸出設備相關聯，用以定義圖形幾何尺寸及位置的坐標系，也稱物理坐標系設備坐標系是一個二維平面坐標系，通常使用左手直角坐標系度量單位：象素(顯示器)或步長(繪圖儀)

設備坐標系（DC）

規格化設備坐標系（NDC）世界坐標系（WC）O

X

Y（顯示器）坐標系統從定義一個零件的幾何外形到圖形設備上生成相應圖形，通常需要建立相應的坐標系統來描述，并通過坐標變換來實現圖形的表達。人為規定的假想設備坐標系，與設備無關規格化設備坐標系坐標軸方向及原點與設備坐標系相同，但其最大工作范圍的坐標值規范化為1

既定圖形輸出設備的規格化設備坐標系與設備坐標系相差一個固定倍數，即相差該設備的分辨率圖形軟件與圖形設備隔離開，增加了圖形軟件的可移植性設備坐標系（DC）

規格化設備坐標系（NDC）世界坐標系（WC）窗口－視區變換窗口：用戶坐標系（世界坐標系）中定義的確定顯示內容的一個矩形區域

工程設計中，需要突出圖形的某一部分而用一個局部視圖單獨畫出來。改變窗口的大小、位置和比例，用戶可以方便地觀察局部圖形，控制圖形的大小用矩形左下角點坐標（XW1，YW1）和右上角點坐標（XW2，YW2）確定窗口的大小和位置，在這個區域內的圖形在設備坐標系下輸出，窗口外的部分則被裁掉（XW1，YW1）（XW2，YW2）窗口－視區變換視區：設備坐標系（通常是圖形顯示器）中定義的一個用于輸出所要顯示的圖形和文字的矩形區域若將窗口中的圖形顯示在屏幕視區范圍內，則視區決定了窗口內的圖形在屏幕上顯示的位置和大小一個屏幕上定義四個視區，同時輸出一個鼠標的三視圖和軸測圖

窗口－視區變換窗口和視區是在不同的坐標系中定義的，窗口中的圖形信息送到視區輸出前，需進行坐標變換，即把用戶坐標系的坐標值轉化為設備(屏幕)坐標系的坐標值，此變換即窗口—視區變換

（XV,YV）

視區窗口（XW,YW）

（XV1,YV1）

（XV2,YV2）

（Xw1,Yw1）

（Xw2,Yw2）

YYooxxXV=XV1

＋（XW

－XW1）YV=YV1

＋（YW

－YW1）XW=XW1＋（XV－XV1）YW=YW1

＋（YV－YV1）

幾何變換基礎圖形由圖形的頂點坐標、頂點之間的拓撲關系以及組成圖形的面和線的表達模型所決定任何一個圖形都可以認為是點之間的連線構成

對一個圖形作幾何變換，實際上就是對一系列點進行變換點和圖形的表示

二維平面內，一個點通常用坐標(x,y)來表示，矩陣形式為：

或三角形的三個頂點坐標a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3)，用矩陣表示：點和圖形的齊次坐標表示

齊次坐標是將一個n維空間的點用n＋1維，即附加一個坐標表示二維點[xy]的齊次坐標通常用三維坐標[Hx

HyH]表示三維點[xyz]的齊次坐標通常用四維坐標[Hx

HyHzH]表示…齊次坐標系中，附加的坐標H稱為比例因子

Hx＝H×x、Hy＝H×y、Hz＝H×zH的取值是任意的，任何一個點可用許多組齊次坐標來表示，

如：二維點[32]可表示為[321]，[642]…當取H＝1時，稱為齊次坐標的規格化形式

四邊形用齊次坐標可表示：

采用齊次坐標表示的主要優點：（1）為幾何圖形的二維、三維甚至高維空間的坐標變換提供統一的矩陣運算方法，并可以方便地將它們組合在一起進行組合變換

平移、比例和旋轉等變換的組合變換處理形式不統一，將很難把它們級聯在一起（2）無窮遠點的處理比較方便。

如，對二維的齊次坐標[ABH]，當H→0時，表示直線上Ax+By=0的連續點（x，y）逐漸趨近于無窮點

三維情況下，利用齊次坐標表示視點在世界坐標系原點時的投影變換變換矩陣設一個幾何圖形的齊次坐標矩陣為A，另有一個矩陣T，則由矩陣乘法運算可得一新矩陣B：

B＝A?T矩陣B是矩陣A經變換后的圖形矩陣用來對原圖形施行坐標變換矩陣T

稱為變換矩陣根據矩陣運算原理，二維圖形變換矩陣T為3×3階矩陣，三維圖形的變換矩陣T為4×4階矩陣通過矩陣的乘法可以對圖形進行諸如比例、對稱、旋轉、平移、投影等各種變換圖形變換的主要工作就是求解變換矩陣T

二維圖形的基本幾何變換平移變換比例變換對稱變換旋轉變換錯切變換歸納二維圖形幾何變換主要有:平移變換

圖形的每一個點在給定的方向上移動相同距離所得的變換稱為平移變換

圖形在x軸方向的平移量為l，

在y軸方向的平移量為m，

則坐標點的平移變換：＝＝比例變換(1)a=e=1時，為恒等比例變換，即圖形不變

(2)a=e＞1時，圖形沿兩個坐標軸方向等比放大

(3)a=e＜1時，圖形沿兩個坐標軸方向等比縮小

(4)a≠e時，圖形沿兩個坐標軸方向進行非等比變換，稱為畸變

圖形中的每一個點以坐標原點為中心，按相同的比例進行放大或縮小所得到的變換稱為比例變換圖形在x，y兩個坐標方向放大或縮小比例分別為a和e，

則坐標點的比例變換：對稱變換對稱變換也稱反射變換，指變換前后的點對稱于x軸、y軸、某一直線或點(1)以x軸為對稱線的對稱變換

變換后，圖形點集的x坐標值不變，

y坐標值不變，符號相反（2）以Y軸為對稱線