數學模型概論1、什么是數學建模3、數學建模的方法和步驟2、建模示例椅子能在不平的地面上放穩嗎玩具、照片…~實物模型風洞中的飛機…~物理模型地圖、電路圖…~符號模型模型是為了一定目的，對客觀事物的一部分進行簡縮、抽象、提煉出來的原型的替代物。模型集中反映了原型中人們需要的那一部分特征。我們常見的模型什么是數學模型你碰到過的數學模型——“航行問題”用x表示船速，y表示水速，列出方程：求解得到x=20,y=5,答：船速每小時20公里航行問題建立數學模型的基本步驟

作出簡化假設（船速、水速為常數）；

用符號表示有關量（x,y表示船速和水速）；

用物理定律（勻速運動的距離等于速度乘以時間）列出數學式子（二元一次方程）；

求解得到數學解答（x=20,y=5）；

回答原問題（船速每小時20公里）。數學模型

(MathematicalModel)和數學建模（MathematicalModeling)數學模型:對于一個現實對象，為了一個特定目的，根據其內在規律，作出必要的簡化假設，運用適當的數學工具，得到的一個數學結構。數學建模：建立數學模型的全過程（包括建立、求解、分析、檢驗）。數學建模的重要意義

電子計算機的出現及飛速發展

數學以空前的廣度和深度向一切領域滲透數學建模作為用數學方法解決實際問題的第一步，越來越受到人們的重視。數學建模計算機技術如虎添翼知識經濟椅子能在不平的地面上放穩嗎問題分析模型假設通常~三只腳著地放穩~四只腳著地

四條腿一樣長，椅腳與地面點接觸，四腳連線呈正方形;

地面高度連續變化，可視為數學上的連續曲面;

地面相對平坦，使椅子在任意位置至少三只腳同時著地。建模示例1模型構成用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來

椅子位置利用正方形(椅腳連線)的對稱性xBADCOD′C′B′A′用(對角線與x軸的夾角)表示椅子位置

四只腳著地距離是的函數四個距離(四只腳)A,C兩腳與地面距離之和~f()B,D兩腳與地面距離之和~g()兩個距離椅腳與地面距離為零正方形ABCD繞O點旋轉正方形對稱性用數學語言把椅子位置和四只腳著地的關系表示出來f(),g()是連續函數對任意,f(),g()至少一個為0數學問題已知：f(),g()是連續函數;

對任意，f()?g()=0;

且g(0)=0，f(0)>0.證明：存在0，使f(0)=g(0)=0.模型構成地面為連續曲面

椅子在任意位置至少三只腳著地模型求解給出一種簡單、粗造的證明方法將椅子旋轉900，對角線AC和BD互換。由g(0)=0，f(0)>0，知f(/2)=0,g(/2)>0.令h()=f()–g(),則h(0)>0和h(/2)<0.由f,g的連續性知

h為連續函數,據連續函數的基本性質,必存在0,使h(0)=0,即f(0)=g(0).因為f()?g()=0,所以f(0)=g(0)=0.評注和思考建模的關鍵~假設條件的本質與非本質考察四腳呈長方形的椅子和f(),g()的確定

二、數學建模的一般方法和步驟建立數學模型的方法和步驟并沒有一定的模式，但一個理想的模型應能反映系統的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性建模的一般方法：◆機理分析◆測試分析方法機理分析：根據對現實對象特性的認識，分析其因果關系，找出反映內部機理的規律，所建立的模型常有明確的物理或現實意義。測試分析方法：將研究對象視為一個“黑箱”系統，內部機理無法直接尋求，通過測量系統的輸入輸出數據，并以此為基礎運用統計分析方法，按照事先確定的準則在某一類模型中選出一個數據擬合得最好的模型。測試分析方法也叫做系統辯識。將這兩種方法結合起來使用，即用機理分析方法建立模型的結構，用系統測試方法來確定模型的參數，也是常用的建模方法。

在實際過程中用那一種方法建模主要是根據我們對研究對象的了解程度和建模目的來決定。機理分析法建模的具體步驟大致可見右圖。符合實際不符合實際交付使用，從而可產生經濟、社會效益實際問題抽象、簡化、假設確定變量、參數建立數學模型并數學、數值地求解、確定參數用實際問題的實測數據等來檢驗該數學模型建模過程示意圖

模型

數學模型的分類：◆按研究方法和對象的數學特征分：初等模型、幾何模型、優化模型、微分方程模型、圖論模型、邏輯模型、穩定性模型、擴散模型等。◆按研究對象的實際領域（或所屬學科）分：人口模型、交通模型、環境模型、生態模型、生理模型、城鎮規劃模型、水資源模型、污染模型、經濟模型、社會模型等。三、數學模型及其分類數學模型類型

確定－隨機靜態－動態

線性－非線

離散－連續3、雙層玻璃的功效北方城鎮的有些建筑物的窗戶是雙層的，即窗戶上裝兩層厚度為的玻璃夾著一層厚度為的空氣，如左圖所示，據說這樣做是為了保暖，即減少室內向室外的熱量流失。我們要建立一個模型來描述熱量通過窗戶的熱傳導（即流失）過程，并將雙層玻璃窗與用同樣多材料做成的單層玻璃窗（如右圖，玻璃厚度為）的熱量傳導進行對比，對雙