中考數學頻考點突破--圓的綜合1．如圖，AB與⊙O相切于點C，OA，OB分別交⊙O于點D，E，CD=（1）求證：OA＝OB；（2）已知AB＝43，OA＝4，求陰影部分的面積.2．AB是⊙O的直徑，點C是⊙O上一點，連接AC、BC，直線MN過點C，滿足∠BCM=∠BAC=α．（1）如圖①，求證：直線MN是⊙O的切線；（2）如圖②，點D在線段BC上，過點D作DH⊥MN于點H，直線DH交⊙O于點E、F，連接AF并延長交直線MN于點G，連接CE，且CE=53，若⊙O的半徑為1，cosα=3．如圖，已知A、B是⊙O上兩點，△OAB外角的平分線交⊙O于另一點C，CD⊥AB交AB的延長線于D．（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）E為弧AB的中點，F為⊙O上一點，EF交AB于G，若tan∠AFE=34，BE=BG，EG=310，求⊙O的半徑．4．如圖，CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，垂足為點F，AO⊥BC，垂足為點E，BC=3.（1）求AB的長；（2）求⊙O的半徑.5．如圖1，在正方形ABCD中，點F在邊BC上，過點F作EF⊥BC，且FE＝FC（CE＜CB），連接CE、AE，點G是AE的中點，連接FG．（1）用等式表示線段BF與FG的數量關系是；（2）將圖1中的△CEF繞點C按逆時針旋轉，使△CEF的頂點F恰好在正方形ABCD的對角線AC上，點G仍是AE的中點，連接FG、DF．①在圖2中，依據題意補全圖形；②求證：DF＝2FG．6．如圖，已知△ABC，AC=3，BC=4，∠C=90°，以點C為圓心作⊙C，半徑為r.（1）當r取什么值時，點A、B在⊙C外（2）當r在什么范圍時，點A在⊙C內，點B在⊙C外.7．已知直線l與⊙O，AB是⊙O的直徑，AD⊥l于點D．（1）如圖①，當直線l與⊙O相切于點C時，求證：AC平分∠DAB；（2）如圖②，當直線l與⊙O相交于點E，F時，求證：∠DAE=∠BAF．8．如圖，已知三角形ABC的邊AB是⊙O的切線，切點為B．AC經過圓心O并與圓相交于點D、C，過C作直線CE丄AB，交AB的延長線于點E．（1）求證：CB平分∠ACE；（2）若BE=3，CE=4，求⊙O的半徑．9．如圖，AB是⊙O的直徑，BD是弦，C是BD的中點，弦CE⊥AB，H是垂足，BD交CE，CA于點F，G．（1）求證：CF=BF=GF；（2）若CD=6，AC=8，求圓O的半徑和BD長．10．如圖所示，線段AB=1.8cm，作滿足下面要求的圖形．（1）到點A和點B的距離都小于1.1cm的所有點組成的圖形．（2）到點A和點B距離都大于1.1cm的所有點組成的圖形．11．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點D在線段AB上，以AD為直徑的⊙O與BC相交于點E，與AC相交于點F，∠B=∠BAE=30°．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）若AC=3，求⊙O的半徑r；（3）在（1）的條件下，判斷以A、O、E、F為頂點的四邊形為哪種特殊四邊形，并說明理由．12．如圖，在△ABC中，∠A＝45°，以AB為直徑的⊙O經過AC的中點D，E為⊙O上的一點，連接DE，BE，DE與AB交于點F.（1）求證：BC為⊙O的切線；（2）若F為OA的中點，⊙O的半徑為2，求BE的長.13．如圖，已知AB為⊙O的直徑，PD切⊙O于點C，交AB的延長線于點D，且∠D=2∠CAD．（1）求∠D的大小；（2）若CD=2，求AC的長．14．如圖，AB是⊙O的直徑，AM、BN分別與⊙O相切于點A、B，CD交AM、BN于點D、C，DO平分∠ADC.（1）求證：CD是⊙O的切線；（2）設AD＝4，AB＝x(x>0)，BC＝y(y>0).求y關于x的函數解析式.15．如圖，AB是⊙O的直徑，點D在直徑AB上（D與A，B不重合），CD⊥AB，且CD＝AB，連接CB，與⊙O交于點F，在CD上取一點E，使EF＝EC.（1）求證：EF是⊙O的切線；（2）若D是OA的中點，AB＝4，求CF的長.16．如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交AC，BC于點D，E，過點B作AB的垂線交AC的延長線于點F。（1）求證：BE（2）過點C作CG⊥BF于G，若AB=5，BC=25，求CG，FG的長。

答案解析部分1．【答案】（1）證明：連接OC，則OC⊥AB.∵CD=∴∠AOC＝∠BOC.在△AOC和△BOC中，∠AOC=∠BOC∴△AOC≌△BOC(ASA).∴AO＝BO.（2）解：由(1)可得AC＝BC＝12AB＝23在Rt△AOC中，OA＝2，

∴sin∠AOC=AC∴∠AOC＝∠BOC＝60°.∴S△BOC＝12BC·OC＝12×23×2＝23，S扇COE＝60πR∴S陰＝23－23【知識點】等腰三角形的性質；切線的性質；扇形面積的計算；解直角三角形；三角形全等的判定（ASA）【解析】【分析】（1）連接OC，由切線的性質得出∠ACO=90°，由CD=CE，可得∠AOC＝∠BOC，根據ASA可證△AOC≌△BOC，可得AO＝BO；

（2）由(1)可得AC＝BC＝12AB＝23，再求出∠AOC＝∠BOC＝60°，由S陰＝S△BOC2．【答案】（1）證明：連接OC，如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵OC=OB，∴∠B=∠OCB，∵∠BCM=∠A，∴∠OCB+∠BCM=90°，即OC⊥MN，∴MN是⊙O的切線；（2）解：如圖②，∵cosα=ACAB=34∵∠2=∠3，∠1=∠2，∴∠1=∠3，∵DH⊥MN，∴∠1+∠AGC=90°，∵∠3+∠ECD=90°，∴∠ECD=∠AGC，又∵∠DEC=∠CAG，∴△EDC∽△ACG，∴EDAC∴AG?DE=AC?CE=3【知識點】圓周角定理；切線的判定；相似三角形的判定與性質；直角三角形的性質【解析】【分析】（1）由圓周角定理的推論和直角三角形的性質可得∠A+∠B=90°，由OC=OB可得∠B=∠OCB，進一步即可推出∠OCB+∠BCM=90°，從而可得結論；（2）如圖②，由已知條件易求出AC的長，根據對頂角相等和圓周角定理可得∠1=∠3，根據余角的性質可得∠ECD=∠AGC，進而可得△EDC∽△ACG，于是根據相似三角形的性質變形可得AG?DE=AC?CE，進一步即可求出結果．3．【答案】（1）證明：連接OC，如圖，∵BC平分∠OBD，∴∠OBC=∠CBD，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠OCB=∠CBD，∴OC∥AD，而CD⊥AB，∴OC⊥CD，∴CD是⊙O的切線（2）解：連接OE交AB于H，如圖，∵E為弧AB的中點，∴OE⊥AB，∵∠ABE=∠AFE，∴tan∠ABE=tan∠AFE=34∴在Rt△BEH中，tan∠HBE=EH設EH=3x，BH=4x，∴BE=5x，∵BG=BE=5x，∴GH=x，在Rt△EHG中，x2+（3x）2=（310）2，解得x=3，∴EH=9，BH=12，設⊙O的半徑為r，則OH=r-9，在Rt△OHB中，（r-9）2+122=r2，解得r=252即⊙O的半徑為25【知識點】勾股定理；垂徑定理；圓周角定理；切線的判定；同角三角函數的關系【解析】【分析】（1）連接OC，如圖，根據角平分線的定義得出∠OBC=∠CBD，根據等邊對等角得出∠OBC=∠OCB，根據等量代換得出∠OCB=∠CBD，根據內錯角相等，二直線平行得出OC∥AD，由二直線平行，同旁內角互補得出OC⊥CD，故CD是⊙O的切線；

（2）連接OE交AB于H，如圖，根據垂徑定理得出OE⊥AB，根據同弧所對的圓周角相等得出∠ABE=∠AFE，根據等角的同名三角函數值相等得出tan∠ABE=tan∠AFE=34，在Rt△BEH中，用正切函數的定義，由tan∠HBE=EH4．【答案】（1）∵CD為⊙O的直徑，CD⊥AB，AO⊥BC∴AF=FB=1∵BC=3∴CE=在△AOF與△COE中，∵∴△AOF?△COE(AAS)∴CE=AF=∴AB=3（2）由（1）得，AB=BC=3∵BE=∴BE=∵∠AEB=90°∴∠A=30°∴∴AO=∴⊙O的半徑為3.【知識點】含30°角的直角三角形；垂徑定理；三角形全等的判定（AAS）【解析】【分析】（1）由垂徑定理得到AF=FB=12AB,CE=EB=12BC，由BC=3解得CE=1（2）由（1）中結論可知AB=BC，由垂徑定理得到EB=12BC，繼而得到EB=5．【答案】（1）BF＝FG（2）解：①如圖2所示，②如圖2，連接BF、BG，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB，∠ABC＝∠BAD＝90°，AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC＝45°，∵AF＝AF，∴△ADF≌△ABF（SAS），∴DF＝BF，∵EF⊥AC，∠ABC＝90°，點G是AE的中點，∴AG＝EG＝BG＝FG，∴點A、F、E、B在以點G為圓心，AG長為半徑的圓上，∵BF＝BF，∠BAC＝45°，∴∠BGF＝2∠BAC＝90°，∴△BGF是等腰直角三角形，∴BF＝2FG，∴DF＝2FG．【知識點】正方形的性質；圓周角定理；旋轉的性質【解析】【解答】解：（1）BF＝2FG，理由是：如圖1，連接BG，CG，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，∵EF⊥BC，FE＝FC，∴∠CFE＝90°，∠ECF＝45°，∴∠ACE＝90°，∵點G是AE的中點，∴EG＝CG＝AG，∵BG＝BG，∴△AGB≌△CGB（SSS），∴∠ABG＝∠CBG＝12∵EG＝CG，EF＝CF，FG＝FG，∴△EFG≌△CFG（SSS），∴∠EFG＝∠CFG＝12（360°﹣∠BFE）＝1∵∠BFE＝90°，∴∠BFG＝45°，∴△BGF為等腰直角三角形，∴BF＝2FG．故答案為：BF＝2FG【分析】（1）連接BG，CG，利用正方形的性質，可證得∠ABC＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC，再證明EG=CG=AG，從而可證得△AGB≌△CGB，利用全等三角形的性質，就可求出∠ABG＝∠CBG＝45°，再利用SSS證明△EFG≌△CFG，利用全等三角形的性質，可得到∠EFG＝∠CFG=135°，然后證明△BGF是等腰直角三角形，從而可得出結果。

（2）①根據題意補全圖形即可；②根據已知條件易證△ADF≌△ABF，再利用全等三角形的性質，可證得DF＝BF，再證明AG＝EG＝BG＝FG，就可得到點A、F、E、B在以點G為圓心，AG長為半徑的圓上，利用圓周角定理可證得∠BGF=90°，就可得到△BGF是等腰直角三角形，再利用解直角三角形就可質的結論。6．【答案】（1）解：當0＜r＜3時，點A、B在⊙C外（2）解：當3＜r＜4時，點A在⊙C內，點B在⊙C外【知識點】點與圓的位置關系【解析】【分析】點和圓的位置關系：①點到圓心的距離小于半徑，點在圓內；②點到圓心的距離等于半徑，點在圓上；③點到圓心的距離大于半徑，點在圓外。

（1）根據點和圓的位置關系和AC、BC的長度可知，當0＜r＜3時，點A、B在⊙C外；

（2）根據點和圓的位置關系和AC、BC的長度可知，當3＜r＜4時，點A在⊙C內，點B在⊙C外。7．【答案】（1）連接OC，∵直線l與⊙O相切于點C，∴OC⊥CD；又∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠DAC=∠ACO；又∵OA=OC，∴∠ACO=∠CAO，∴∠DAC=∠CAO，即AC平分∠DAB；（2）如圖②，連接BF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°﹣∠B，∴∠AEF=∠ADE+∠DAE，在⊙O中，四邊形ABFE是圓的內接四邊形，∴∠AEF+∠B=180°，∴∠BAF=∠DAE．【知識點】圓周角定理；直線與圓的位置關系【解析】【分析】（1）連接OC，易得OC∥AD，根據平行線的性質就可以得到∠DAC=∠ACO，再根據OA=OC得到∠ACO=∠CAO，就可以證出結論；（2）如圖②，連接BF，由AB是⊙O的直徑，根據直徑所對的圓周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性質，可求得∠AEF的度數，又由圓的內接四邊形的性質，繼而證得結論．8．【答案】（1）證明：如圖1，連接OB，∵AB是⊙0的切線，∴OB⊥AB，∵CE丄AB，∴OB∥CE，∴∠1=∠3，∵OB=OC，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴CB平分∠ACE（2）解：如圖2，連接BD，∵CE丄AB，∴∠E=90°，∴BC=BE2+C∵CD是⊙O的直徑，∴∠DBC=90°，∴∠E=∠DBC，∴△DBC∽△CBE，∴CDBC∴BC2=CD?CE，∴CD=524=∴OC=12CD=∴⊙O的半徑=25【知識點】圓周角定理；切線的性質；相似三角形的判定與性質【解析】【分析】（1）要證CB平分∠ACE，由角平分線的性質只需證∠2=∠3即可。連接OB，由切線的性質和已知條件即可證得∠2=∠3；

（2）連接BD，在直角三角形BCE中，用勾股定理可求得BC的長，由圓周角定理易證△DBC∽△CBE，則可得比例式CDBC=BC9．【答案】（1）證明：∵CE⊥AB，∴BC=∴∠A=∠ECB，∵C是BD的中點，∴∠A=∠DBC，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∵∠DBC+∠CGB=90°，∠ECB+∠GCF=90°，∴∠CGB=∠GCF，∴CF=GF，∴CF=BF=GF；（2）解：∵C是BD的中點，∴BC=CD=6，∵AC=8，∴AB=B∴圓O的半徑是5，∵DC=∴OC垂直平分BD，設OC與BD相交于點M，設OM=x，則CM=5?x，∵BM∴52解得x=1.∴OM=1.∴BM=O∴BD=2BM=48【知識點】圓的綜合題【解析】【分析】（1）先證明∠ECB=∠DBC，可得CF=BF，再根據∠CGB=∠GCF，可得CF=GF，即可得到CF=BF=GF；

（2）設OC與BD相交于點M，設OM=x，則CM=5?x，利用勾股定理可得52?x2=6210．【答案】（1）解：如圖所示：圖中陰影部分就是到點A和點B的距離都小于1.1cm的所有點組成的圖形（2）解：圖中兩個圓以外的部分就是到點A和點B距離都大于1.1cm的所有點組成的圖形【知識點】點與圓的位置關系【解析】【分析】（1）分別以A、B為圓心，1.1cm為半徑畫弧，兩個圓相交的部分就是到點A和點B的距離都小于1.1cm的所有點組成的圖形；（2）兩個圓內部分都是到點A或點B的距離都小于1.1cm的部分，那么兩圓以外的部分就是到點A和點B距離都大于1.1cm的所有點組成的圖形．11．【答案】（1）解：如圖1，連接OE，∴OA=OE，∴∠BAE=∠OEA，∵∠BAE=30°，∴∠OEA=30°，∴∠BOE=∠BAE+∠OEA=60°，在△BOE中，∠B=30°，∴∠OEB=180°-∠B-∠BOE=90°，∴OE⊥BC，∵點E在⊙O上，∴BC是⊙O的切線（2）解：如圖2，∵∠B=∠BAE=30°，∴∠AEC=∠B+∠BAE=60°，在Rt△ACE中，AC=3，sin∠AEC=ACAE∴AE=ACsin∠AEC=3sin60°=2在Rt△ADE中，∠BAE=30°，cos∠DAE=AEAD∴AD=AEcos∠BAE=23cos30°（3）解：以A、O、E、F為頂點的四邊形是菱形，理由：如圖3，在Rt△ABC中，∠B=30°，∴∠BAC=60°，連接OF，∴OA=OF，∴△AOF是等邊三角形，∴OA=AF，∠AOF=60°，連接EF，OE，∴OE=OF，∵∠OEB=90°，∠B=30°，∴∠AOE=90°+30°=120°，∴∠EOF=∠AOE-∠AOF=60°，∵OE=OF，∴△OEF是等邊三角形，∴OE=EF，∵OA=OE，∴OA=AF=EF=OE，∴四邊形OAFE是菱形【知識點】菱形的判定；圓周角定理；切線的判定；解直角三角形【解析】【分析】（1）連接OE，由OA=OE，求出∠AEO的度數，再利用三角形外角的性質，求出∠BOE的度數，在△BOE中，利用三角形內角和定理求出∠OEB=90°，然后利用切線的判定定理，可證得結論。

（2）根據已知求出∠AEC=60°，利用解直角三角形，在Rt△ACE中求出AE的長，Rt△ADE中，求出AD的長，就可求出圓的半徑。

（3）連接OF、EF、OE，利用∠B的度數去證明△AOF和△OEF是等邊三角形，利用等邊三角形的性質及同一個圓的半徑相等，易證OA=AF=EF=OE，就可證得結論。12．【答案】（1）證明：連接BD，∵AB為⊙O的直徑，∴BD⊥AC，∵D是AC的中點，∴BC=AB，∴∠C=∠A＝45°，∴∠ABC=90°，∴BC是⊙O的切線。（2）解：連接OD，由（1）可得∠AOD=90°，∵⊙O的半徑為2，F為OA的中點，∴OF=1，BF=3，AD=22+22=22，∴DF=∵∠AFD=∠EFB，∴△AFD∽△EFB，∴DFAD=BFBE，即5【知識點】切線的判定；圓的綜合題；相似三角形的判定與性質【解析】【分析】（1）連接BD，根據直徑所對的圓周角是直角得出BD⊥AC，根據中垂線定理得出BC=AB，根據等邊對等角及三角形的內角和得出∠ABC=90°，從而得出BC是⊙O的切線；

（2）連接OD，由（1）可得∠AOD=90°，根據中點定義得出OF=1，BF=3根據勾股定理得出AD，DF的長，根據同弧所對的圓周角相等得出∠E=∠A，然后判斷出△AFD∽△EFB，根據相似三角形對應邊成比例得出DFAD13．【答案】（1）解：連接OC．∵BC=∴∠CAD=12∠COB∵∠D=2∠CAD，∴∠COB=∠D．∵PD是⊙O的切線，∴OC⊥PD，即∠OCD=90°．∴∠COB+∠D=90°．∴2∠D=90°．∴∠D=∠COB=45°．（2）解：∵∠COB=∠D，CD=2，∴CO=CD=2．∵∠COB=45°，∴∠AOC=135°．∴AC的長l=【知識點】圓心角、弧、弦的關系；弧長的計算【解析】【分析】（1）連接OC．根據切線的性質的出OC⊥PD，即∠OCD=90°．根據圓周角定理得出∠D=2∠CAD，進而證明∠COB=∠D．根據等腰直角三角形的性質求出∠D的大小；

（2）根據等腰三角形的性質求出OC，根據弧長公式計算即可。14．【答案】（1）證明：過O做OE⊥CD于點E，則∠OED＝90°∵⊙O與AM相切于點A∴∠OAD＝90°∵OD平分∠ADE∴∠ADO＝∠EDO∵OD＝OD∴△OAD≌△OED∴OE＝OA∵OA是⊙O的半徑∴OE是⊙O的半徑∴CD是⊙O的切線（2）解：過點D做DF⊥BC于點F，則DF＝AB＝x∵AD＝4，BC＝y∴CF＝BC－AD＝y－4由切線長定理可得：∴DE=DA，CE=CB∴CD＝CE＋ED＝BC＋AD＝4＋y在Rt△DFC中，∵CD2＝DF2＋FC2∴(y＋4)＝x2＋(y－4)2整理得：y＝116x則y關于x的函數關系式為：y＝116x解法二：連接OC，∵CD、CB都是⊙O的切線∴CE＝CB＝yOC平分∠BCD即：∠OCD＝12同理：DE＝AD＝4∠CDO＝12∵AM、BN分別與⊙O相切且AB為⊙O的直徑∴AM//BN∴∠BCD＋∠CDA＝180°∴∠OCD＋∠CDO＝90°∵∠CDO＋∠OCD＋∠COD＝180°∴∠COD＝90°∵在Rt△DOC中，OD2＝OA2＋AD2即OD2＝(x2)2＋4同理可得：OC2＝(x2)2＋y∵CD＝CE＋ED＝y＋4∴在Rt△OCD中CD2＝OC2＋OD2即(y＋4)2＝(x2)2＋42＋(x2)2＋y2整理得：y＝116x2則y關于x的函數關系式為：y＝【知識點】全等三角形的判定與性質；勾股定理的應用；垂徑定理的應用；切線的判定與性質；切線長定理【解析】【分析】（1）過O做OE⊥CD于點E，則∠OED＝90°，根據切線的性質，圓的切線垂直于經過切點的半徑得出∠OAD＝90°，根據角平分線的定義得出∠ADO＝∠EDO，從而根據AAS判斷出△OAD≌△OED，根據全等三角形的對應邊相等得出OE＝OA，根據切線的判定定理得出CD是⊙O的切線；

（2）解法一：過點D做DF⊥BC于點F，則DF＝AB＝x，根據矩形的性質及線段的和差得出CF＝BC－AD＝y－4，由切線長定理可得：DE=DA，CE=CB，根據線段的和差得出CD＝CE＋ED＝BC＋AD＝4＋y，在Rt△DFC中，由勾股定理得出(y＋4)＝x2＋(y－4)2，從而得出y與x之間的函數關系式；解法二：連接OC，根據切線長定理得出CE＝CB＝y，OC平分∠BCD，即：∠OCD＝12∠BCD，同理：DE＝AD＝4，∠CDO＝12∠CDA，又AM、BN分別與⊙O相切且AB為⊙O的直徑，故AM//BN，根據二直線平行同旁內角互補得出∠BCD＋∠CDA＝180°，進而得出∠OCD＋∠CDO＝90°，根據平角的定義得出∠CDO＋∠OCD＋∠COD＝180°，從而得出COD＝90°，在Rt△DOA中，根據勾股定理得出OD2＝(x2)2＋42，同理可得：OC2＝(x2)2＋y2，由于CD＝CE＋ED＝y＋4