積微精2017高二091、平面向量數量積的性質及其坐標表設非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b結幾何表坐標表模|a|＝|a|＝ a·b＝|a||b|cos夾cosθ＝ cosθ＝x2＋y2· |a·b|與|a||b||x1x2＋y1y2|≤x2＋y2· 2、向量在幾何中的應①cos〈a，b〉＝a·b

x2＋y2 AB2＝3、向量與相關知識的平面向量作為一種工具，常與函數(三角函數)與垂直求解相關問題．例題精 1、如7－10，在梯形ABCD→ →若AC·BM＝－3，則 →

→1→

(

ADAB)

3

2 2→→ ∴3

3

×422→ →→∴－AB·AD＝－1，∴AB·AD＝ 例2、若a，b，c均為單位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，則|a＋b－c|的最大值 解析：設a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，則x2＋y2＝1，a－c＝(1－x，－y)，b－c＝(－x，1－y)，則(a－c)(b－c)＝(1－x)(－x)＋(－y)(1－y)＝x2＋y2－x－y＝1－x－y≤0，即x＋y≥1.又 ∴|a＋b－c|＝（1－x）2＋（1－y）2＝ 法一如圖.c＝(x，y)對應點在AB上，而①式的幾何意義為P點到AB上點的距離，其最大值為1. 法二|a＋b－c|＝（x－1）2＋（y－1）2＝x2＋y2－2x－2y＋2＝＝ ≤ 3、已知＝1＝3→＝0，點C在∠AOB內，且∠AOC＝30°， (m，n∈R)，則mn解析：由題設知 →，→＝

→

→

→ →3333

m|OA| 所以→→＝2 ＝2

→ ＝22

m

＋2mnOA·OB＋n2|OB|2·|因為 →

＝?

又因為點C在∠AOB內，所以m>0，n>0，所以n 4ABCDDADBDCDADBDBDCDCDA4 P,M滿足AP2,PMMC，則BM的最大值 解析:設|DA||DB||DC|r,r2cosr2cosr2cos4由題設可知1200,r28r22建立如圖所示的平面直角坐標系,則 2),B(6,0),C(6,0)由題意點P在以A為圓心的圓上,M是線段PC的中點故結合圖形可知當CP與圓相切時, 的值最大,其最大值是 ＝例5、已知邊長為4的正三角形 →1→→＝1→，AD與BE交于點P，則→→的值 ＝

b解析：法一：設→＝a＝b.a·＝8.設＝→＝λa＋μb 3 → ,

2 ＝

→→→解得λ＝，μ＝，η＝，PB＝AB－AP＝4

－1b，→44 4 44

→ a－ a＋

4＝(aa

法二：BCx軸，ADy軸，建立坐標系，B(－2,0)，C(2,0)，A(0,23)，P(0，→所以PB·PD＝(－23)·(0→ →BA·CA＝BF·CF＝－1則 BE·CE的值是 →解析設則→1 2

2

a＋2→2→ 3

AD＝a＋ →1→ 3

AD＝a＋ →→

a＋

a＋

a＋

a－3 —a＋ a－ 2 2 2 則 .

3＝－a－b

(a＋b)＋

92又→→ BE＝BA＋AE＝－a＋a＋

a＋

a＋

a－6 則

—a＋

a－ 6＝－(a＋b

a·b＝－

＋×4＝ 課后練習（5題，241、在ABC中，AB邊上的CO2PAPsin2AOcos2ACR

PA

2、已知菱ABCD的邊長為2，∠BAD＝120°，點E，F分別在邊BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若→AEAF＝1，則λ的值

|a|x ．4、在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，動點E和F分別段BC1DC上，且 →，則→·→的最小值 1

5、已O為△ABC的外心

→＝ ，若a

αAB＋βAC，則α＋β的最小值 答1、解：因為APsin2AOcos2ACR，系數之和為1，故C,P,O三點共線，且sin2,cos20,1所以點P 段OC上，設PQtt0,2， 故PAPBPC2POPC2t2t1 2當t1時，取最小值→→→→1 1 12、解析：法一如圖，AE＝AB＋BE＝AB＋BC，AF＝AD＋DF＝AD＋DC＝BC＋ → 所以

1→

1→AE·AF＝(AB BC)(BC AB)＝(1 )AB·BC＋AB＋ ＝(11×2×2×cos1204＋4＝1，解得 λ法二建立如圖所示平面直角坐標系.A(0，1)，C(0，－1)，B(－3，0)，D(E，FE(231，F(3(111 3→ 3

∴AE·AF＝ ,)(

＝－2(11＋4(11＝1，解得 2∵函數f(x)R上有極值即Δ＝|a|－4a·b>0，∴2

方程x2＋|a|x＋a·b＝0有兩個不同的實數根a·b<4又∵|a|＝2|b|≠0，∴cosθ＝a·b< (又∵θ∈[0，π]，∴θ∈(3

＝cosθ< 24、解析：→梯形ABCD可得DC＝1，＝＋→＝1 → 1 1 1∴AE·AF＝(AB＋λBC)·(

＝2×1×cos60°＋2×1＋λ×1×cos60°＋λ·1×cos120°＝ λ

2 ·＋＝＋當且僅當

9λ ＝9λ

，即

時，取得最小值為 法二以點A為坐標原點，AB所在的直線為x軸建立平面直角坐標系，則B(2，0)，C 3)，D 3)(, (, 2 2又 1又BE＝λBC，DF＝ ,則E(21,3)，F(1 3, 9所以→ 2·1λ29AE·AF＝(2)()＋λ＝＋ ＋λ≥ ＝ 9λ 9λ 9λ → 故AE·AF的最小值為3 3aACn上，AC的中點(12a

，ACtan120°＝－ny3＝3(x

1mn的方程聯立方程組

x y 3(x12