定積分在物理上的應用初步第一頁，共十五頁，2022年，8月28日

由萬有引力定律知道：質量為m1，m2，相距為r的的兩質點間的引力為

一、引力問題

在此基礎上，我們用定積分的微元法來求解一些引力問題．下一頁上一頁返回第二頁，共十五頁，2022年，8月28日

例1

設有均勻的細桿，長為

l，質量為

M，另有一質量為

m的質點位于細桿所在的直線上，且到桿的近端距離為

a，求桿與質點之間的引力．

解

取坐標系如圖，取積分變量為

x[0,l]，在[0,l]中任意子區間[x,x

+

dx]

上，

細桿的相應小段的質量為

xax

x

+

dxxOmxOam該小段與質點距離近似為

x+

a，下一頁上一頁返回第三頁，共十五頁，2022年，8月28日則細桿與質點之間的引力為

于是該小段與質點的引力近似值，即引力

F的微元為下一頁上一頁返回第四頁，共十五頁，2022年，8月28日

由物理學可知，如果有一常力F作用在物體上，使物體沿力的方向移動了距離S，則力F對物體所作的功為W=FS．如果物體在運動過程中受到的力是變化的，情況就會有所不同．下面通過例題來說明如何運用微元法求解變力作功問題．二、變力作功問題下一頁上一頁返回第五頁，共十五頁，2022年，8月28日

例2

已知定滑輪距光滑的玻璃平面的高為h,一物體受到通過定滑輪繩子的牽引，其力的大小為常數F,沿著玻璃平面從點A沿直線AB移到點B處(如圖所示).設點A,B及定滑輪所在平面垂直玻璃板,求力F對物體所作的功．

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F

hq

x

A

x

x+dx

BO下一頁上一頁返回第七頁，共十五頁，2022年，8月28日（如圖所示）功的微元為

在選定的坐標系中,設A點坐標為x=a，B點坐標為x=b，選取積分變量為

解選取定滑輪在玻璃平面上的投影點為坐標原點O,x軸通過A,B兩點，且它的正向是指向A.下一頁上一頁返回第八頁，共十五頁，2022年，8月28日

所以，力F對物體在從x=a移動到x=b處所作的功為

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例3

一圓臺形容器高為5m，

解

這是一個克服重力作功問題.思考的方法是：

上底圓半徑為3m，下底圓半徑為2m，

試問將容器內盛滿的水全部吸出需作多少功？水的比重

r=1000kg/m3.

將吸水過程看作是一層一層地吸出.那么提取每薄層水力的大小就是薄層水的重量，

但水深不同所以位移量是不同的.具體算法如下：下一頁上一頁返回第十頁，共十五頁，2022年，8月28日

選擇坐標系如圖，水的深度為積分變量

y,y

[0,5].

取任意子區間

[y,y

+

dy]

上的水所作的功

W的近似值，即功的微元為216000(kg·m)=2116.8(kJ).y+dyx2m5mAy3mxOy=-5(x

-3)y下一頁上一頁返回第十一頁，共十五頁，2022年，8月28日

在直流電路中，若電流強度為I（I是常數），則電流通過電阻所消耗的功率是P=I2R．在交流電路中，電流強度I是隨時間變化的，是時間t的函數，因而上式所表示的功率只是時刻t的瞬時功率．由于使用電器是一段時間，所以需要計算一段時間內的平均功率．那么，如何計算平均功率呢？我們用一個實例來說明．三、交流電路的平均值問題下一頁上一頁返回第十二頁，共十五頁，2022年，8月28日例4

正弦交流電的電流強度為I0是電流的極大值，稱為峰值，

計算正弦交流電的平均功率．解

電流可近似看作不變：下一頁上一頁返回第十三頁，共十五頁，2022年，8月28日于是，平均功率為下一頁上一頁返