實對稱矩陣的標準形第一頁，共四十七頁，2022年，8月28日§9.6對稱矩陣的標準形一、實對稱矩陣的一些性質二、對稱變換三、實對稱矩陣可正交相似于實對角矩陣四、實二次型的主軸問題第二頁，共四十七頁，2022年，8月28日一、實對稱矩陣的一些性質引理1

設A是實對稱矩陣，則A的特征值皆為實數．證：設是A的任意一個特征值，則有非零向量滿足第三頁，共四十七頁，2022年，8月28日其中為的共軛復數，又由A實對稱，有令第四頁，共四十七頁，2022年，8月28日第五頁，共四十七頁，2022年，8月28日由于是非零復向量，必有故

第六頁，共四十七頁，2022年，8月28日引理2

設A是實對稱矩陣，在

n

維歐氏空間上定義一個線性變換如下：則對任意有

或第七頁，共四十七頁，2022年，8月28日證：取的一組標準正交基，則在基下的矩陣為A，即第八頁，共四十七頁，2022年，8月28日任取即第九頁，共四十七頁，2022年，8月28日于是又是標準正交基，第十頁，共四十七頁，2022年，8月28日二、對稱變換1、定義則稱為對稱變換（symmetrictransformation）．設為歐氏空間V中的線性變換，如果滿足

2、基本性質第十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日（1）n維歐氏空間V的對稱變換與n級實對稱矩陣在標準正交基下是相互確定的：

1）

實對稱矩陣可確定一個對稱變換．

正交基．證：設為V的一組標準定義V的線性變換：則即為V的對稱變換．第十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日2）

對稱變換在標準正交基下的矩陣是實對稱矩陣．為V的一組標準正交基，證：設為n維歐氏空間V上的對稱變換，為

在這組基下的矩陣，即或第十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日于是第十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日即所以A為對稱矩陣．由是對稱變換，有第十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日（2）（引理3）對稱變換的不變子空間的正交補也是它的不變子空間．對任取即證：設是對稱變換，W為的不變子空間．

由W是子空間，有因此故也為的不變子空間．第十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日1、（引理4）實對稱矩陣屬于不同特征值的特征向量分別是屬于的特征向量．

則

三、實對稱矩陣的正交相似對角化是正交的．

基下的矩陣，證：設實對稱矩陣A為上對稱變換的在標準正交是A的兩個不同特征值，第十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日又即正交．有即由第十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日（定理7）對總有正交矩陣T，使２、證：設A為上對稱變換在標準正交基下的矩陣．由實對稱矩陣和對稱變換互相確定的關系，只需證有n個特征向量作成的標準正交基即可．第十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日n=1時，結論是顯然的．

對的維數n用歸納法．

有一單位特征向量，其相應的特征值為，即假設n－1時結論成立，對設其上的對稱變換設子空間顯然W是子空間，第二十頁，共四十七頁，2022年，8月28日則也是子空間，且

又對有所以是上的對稱變換．由歸納假設知有n－1個特征向量構成的一組標準正交基．第二十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日從而就是的一組標準正交基，又都是的特征向量．即結論成立．第二十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日3、實對稱矩陣正交相似實對角矩陣步驟設

(1)

求出A的所有不同的特征值：其重數必滿足;

(2)

對每個，解齊次線性方程組

求出它的一個基礎解系：第二十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日它是A的屬于特征值的特征子空間的一組基．正交基把它們按正交化過程化成的一組標準(3)因為互不相同，且所以第二十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日則T是正交矩陣，且將的分量依次作矩陣T的第1，2，…，n列，使為對角形．就是V的一組標準正交基．第二十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日例1

設

求一正交矩陣T使成對角形．解：先求A的特征值．第二十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日A的特征值為（三重）,其次求屬于的特征向量，即求解方程組第二十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日得其基礎解系

把它正交化，得

第二十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日再單位化，得第二十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日這是特征值(三重)的三個單位正交特征向量，也即是特征子空間的一組標準正交基．第三十頁，共四十七頁，2022年，8月28日再求屬于的特征向量，即解方程組第三十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日得其基礎解

再單位化得

這樣構成的一組標準正交基，它們都是A的特征向量，正交矩陣

第三十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日第三十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日使得

第三十四頁，共四十七頁，2022年，8月28日注意成立的正交矩陣不是唯一的．1.對于實對稱矩陣A，使而且對于正交矩陣T,

還可進一步要求第三十五頁，共四十七頁，2022年，8月28日證：如果由上述方法求得的正交矩陣T

取正交矩陣則是正交矩陣且第三十六頁，共四十七頁，2022年，8月28日同時有第三十七頁，共四十七頁，2022年，8月28日2.如果不計較主對角線上元素的排列的次序，與實對稱矩陣A正交相似的對角矩陣是唯一確定的．3.因為正交相似的矩陣也是互相合同的，所以可用實對稱矩陣的特征值的性質刻畫其正定性：第三十八頁，共四十七頁，2022年，8月28日設為實對稱矩陣A的所有特征值(i)A為正定的(ii)A為半正定的(iii)A為負定（半負定）的

(iv)A為不定的且

第三十九頁，共四十七頁，2022年，8月28日4.實對稱矩陣A的正、負慣性指數分別為正、負特特征值的個數（重根按重數計）．n－秩(A)是0為A的特征值的重數.第四十頁，共四十七頁，2022年，8月28日1、解析幾何中主軸問題將上有心二次曲線或上有心二次曲面通過坐標的旋轉化成標準形，這個變換的矩陣是正交矩陣.四、實二次型的主軸問題2、任意n元實二次型的正交線性替換化標準形（1）正交線性替換如果線性替換X=CY的矩陣C是正交矩陣，則稱之為正交線性替換.第四十一頁，共四十七頁，2022年，8月28日（2）任一n元實二次型

都可以通過正交的線性替換變成平方和

其中平方項的系數為A的全部特征值．第四十二頁，共四十七頁，2022年，8月28日例2

在直角坐標系下，二次曲面的一般方程是

①

②

則①式可以寫成

令第四十三頁，共四十七頁，2022年，8月28日對②中的有正交矩陣C（且）確定的坐標變換公式

或這樣由②知道經過由的坐標軸旋轉，第四十四頁，共