級

數

與

多

元

微

積

分

SeriesandCalculousinSeveralVariables授課教師：胡鵬彥授課對象：05本科第十六章多元函數的極限與連續本章主要介紹多元函數的極限與連續性,要求對平面點集,多元函數,極限及連續性的概念有足夠的了解,理解平面的完備性定理以及連續函數的性質,掌握兩種極限的關系,會求多元函數的極限,會用多元函數連續性的定義討論一些多元函數的連續性.第十六章多元函數的極限與連續§1平面點集與多元函數§2二元函數的極限§3二元函數的連續性§1平面點集與多元函數一平面點集二2上的完備性定理三二元函數四n元函數§2二元函數的極限一二元函數的極限二累次極限§3二元函數的連續性一二元函數的連續性概念二有界閉域上連續函數的性質§1平面點集與多元函數理解平面點集和多元函數的概念.理解平面完備性定理.§1平面點集與多元函數坐標平面坐標平面上滿足某種條件P的點的集合稱為平面點集,一平面點集并記作E{(x,y)|(x,y)滿足條件P}.點集一般用大寫的英文字母表示.平面點集與分別稱為以點A(x0,y0)為中心的

圓鄰域與

方鄰域.§1平面點集與多元函數§1平面點集與多元函數由于點A的任一圓鄰域可以包含在點A的某一方鄰域之內,反之亦然,因此通常用“點A的

鄰域”或“點A的鄰域”泛指這兩種形狀的鄰域,并以記號U(A;

)或U(A)來表示.點A的空心鄰域是指或并用符號U

o(A;

)或U

o(A)來表示.§1平面點集與多元函數§1平面點集與多元函數點A2與點集E2之間的關系:內點,外點,界點.(i)內點—若存在點A的某鄰域U(A),使得U(A)

E,則稱點A是點集E的內點;E的全體內點構成的集合稱為E的內部,記作int

E.(ii)外點—若存在點A的某鄰域U(A),使得U(A)

E,則稱點A是點集E的外點.§1平面點集與多元函數(iii)界點—若在點

A的任何鄰域內既有屬于

E的點,有含有不屬于

E的點,則稱

A是集合

E的界點,即對任何正數

,恒有U(A;

)

E且U(A;

)C

E,其中C

E2\E是E關于全平面的余集,E的全體界點構成E的邊界,記作

E.以上是按“點A在E內或在E外”來區分§1平面點集與多元函數按點A近旁是否有E中無窮多個點來分:聚點,孤立點.(i)聚點—若在點A的任何空心鄰域U

o(A)內都含有E中的點,則稱A是E的聚點.(ii)孤立點—若點AE,但不是E的聚點,即存在某一正數

,使得U

o(A)

E,則稱點A是E的孤立點.聚點可能屬于E,也可能不屬于E.孤立點一定是界點;內點和非孤立的界點一定是聚點;既不是聚點,又不是孤立點,則必為外點.§1平面點集與多元函數平面點集開集—若平面點集所屬的每一點都是E的內點,則稱E為開集.閉集—若平面點集E的所有聚點都屬于E,則稱E為閉集.若點集E沒有聚點,這時也稱E為閉集.§1平面點集與多元函數開域—若非空開集E具有連通性,即E中任意兩點之間都可用一條完全含于E的有限折線相連接,則稱E閉域—開域連同其邊界所成的點集稱為閉域.的點集,統稱為區域.為開域(或稱連通開集).區域—開域,閉域,或者開域連同其一部分界點所成有界點集—對于平面點集E,若存在某正數r,使得其中O是坐標原點,則稱E是有界點集.否則就是無界點集.§1平面點集與多元函數點集E的直徑—點集E的直徑就是其中

(P1,P2)表示P1與P2兩點之間的距離,當P1,P2的坐標分別為(x1,y1)和(x2,y2)時,有E為有界集的充分必要條件是d

(E)是有限值.§1平面點集與多元函數距離的三角形不等式,即對2上任何三點P1,P2和P3,皆有§1平面點集與多元函數定義1設{Pn}2為平面點列,P02為一固定點.若對任給的正數,存在正整數N,使得當nN時,有PnU(P0;),二2上的完備性定理則稱點列{Pn}收斂于點P0,記作或等價于也等價于收斂點列定理16.1(柯西準則)§1平面點集與多元函數平面點列{Pn}收斂的充要條件是:任給正數,存在正整數N,使得當nN時,對一切正整數p,都有(6)定理16.2(閉域套定理)§1平面點集與多元函數設{Dn}是2中的閉域套,它滿足:(i)(ii)則存在唯一的點P0Dn,n1,2,.定理16.3(聚點定理)§1平面點集與多元函數設E2為有界無限點集,則E在2中至少有一個聚點.推論有界無限點列{Pn}2必存在收斂子列{Pnk}.定理16.4(有限覆蓋定理)§1平面點集與多元函數設D2為一有界閉域,{}為一開域族,它覆蓋了D,則在{}中必存在有限個開域1,2,,n,它們同樣覆蓋了D.§1平面點集與多元函數定義2設平面點集D2,若按照某對應法則

f

,D中每一點P(x,y)都有唯一確定的實數z與之對應,則稱f

三二元函數為定義在D上的二元函數(或稱

f

為D到的一個映射),記作稱D為

f

的定義域;稱PD所對應的z為

f

在點P的函數值,記作zf

(P)或zf

(x,y);全體函數值的集合稱為

f的值域,記作f(D).§1平面點集與多元函數把P的坐標x與y稱f

的自變量,而把z稱為因變量.在影射意義下,zf

(P)稱為P的象,P稱為z的原象.當把(x,y)D和它所對應的zf

(x,y)一起組成三維就是二元函數

f

的圖象.通常zf

(x,y)的圖象是一空間曲面,f

的定義域D便是該曲面在xOy平面上的投影.數組(x,y,z)時,三維歐氏空間3中的點集§1平面點集與多元函數二元函數有時也記為或而當定義域D不被誤解的時候,也簡單地說“函數zf

(x,y)”或“函數

f”.§2二元函數的極限例2函數例3函數例4函數若二元函數的值域是有界數集，則稱該函數為有界函數,若值域是無界數集，則稱該函數為無界函數.§1平面點集與多元函數n維向量空間,簡稱n維空間,記作n.其中每個有所有n個有序實數組(x1,x2,,xn)構成的集合稱為四n元函數序實數組(x1,x2,,xn)稱為n中的一個點;n個實數x1,x2,,xn是這個點的坐標.§1平面點集與多元函數稱f為定義在E上的n元函數(或稱f為En到的一設E為n中的點集,若有某個對應法則f,使E中每一點P(x1,x2,,xn)都有唯一的一個實數y與之對應,則個映射),記作(8)§1平面點集與多元函數有時也把n元函數簡寫成或(9)§2二元函數的極限定義1設f為定義在D2上的二元函數,P0為D的一點聚點,A是一個確定的實數.若對任給正數,總一二元函數的極限存在某正數

,使得當PU

o(P0;

)

D時,都有則稱f在D上當P

P0時以A為極限,記作(1)§2二元函數的極限當P和P0分別用坐標(x,y)和(x0,y0)表示時,(1')也寫作(1'')在對于PD不致產生誤解時,也可簡單地寫作(1')§2二元函數的極限例1依定義驗證例2設證明定理16.5一子集E,只要P0是E的聚點,就有§2二元函數的極限的充要條件是:對于D的任推論1設E1D,P0是E1的聚點.若不存在,則也不存在.§2二元函數的極限推論2設,E1,E2D,P0是它們的聚點,若存在極限但E1

E2,則不存在.推論3存在的充要條件是:對于D極限中任一滿足條件Pn

P0,且的點列{Pn}所對應的函數值列{f(Pn)}都收斂.§2二元函數的極限例3例4二元函數存在極限.討論當(x,y)(0,0)時是否§2二元函數的極限定義2設D為二元函數f的定義域,P0(x0,y0)是D的一點聚點.若對任給正數M,總存在一個

鄰域,使得當P(x,y)U

o(P0;

)

D時,都有f(P)M,則稱f在D上當P

P0時存在非正常極限,記作或仿此可類似地定義:與§2二元函數的極限例5設證明二元函數極限有與一元函數極限相仿的四則運算法則.§2二元函數的極限定義3設Ex,Ey,x0是Ex的聚點,y0是Ey的聚點,二元函數f在集合D

ExEy上有定義.若對每一個二累次極限y0yEy,存在極限而且進一步存在極限重極限§2二元函數的極限或簡記作類似地可以定義先對y后對x的累次極限則稱此極限為二元函數f先對x(

x0)后對y(

y0)的累次極限,并記作§2二元函數的極限§2二元函數的極限重極限與累次極限的關系:則它們必相等.定理16.6若f(x,y)在點(x0,y0)存在重極限與累次極限§2二元函數的極限都存在,則三者相等.推論1若累次極限和重極限推論2若累次極限必不存在.存在但不相等,則重極限與§3二元函數的連續性定義設f為定義在點集D2上的二元函數,P0D(它或者是D的聚點,或者是D的孤立點).對于任給的一二元函數的連續性概念正數,總存在相應的正數

,只要PU

(P0;

)

D時,則稱f

關于集合D在點

P0連續.在不致誤解的情況下,(1)就有也稱f在點

P0連續.若

f

在D上任何點都連續,則稱

f

為D上的連續函數.§3二元函數的連續性由定義可知若P0是D的孤立點,則P0必定是f關于D的連續點.若P0是D的聚點,則

f關于D在

P0連續等價于如果P0是D的聚點,而(2)式不成立,則稱P0是f的不(2)連續點(或稱間斷點).特別當(2)式左邊極限存在但不等于

f

(P0)時,P0是

f

的可去間斷點.二元連續函數具有局部有界性,局部保號性以及相應的有理運算的各個法則.§3二元函數的連續性設P0(x0,y0),P(x,y

)D,x

x

x0,y

y

y0,則稱為函數f在點P0的全增量.用增量形式描述連續性:當時,

f

在點P0連續.§3二元函數的連續性若在全增量中取x

0或y

0,則相應的函數增量函數的全增量不一定等于相應的兩個偏增量之和.稱為偏增量,記作§3二元函數的連續性可以證明:當f在其定義域的內點(x0,y0)連續時,

f(x0,y)在y0和f(x0,y0)在x0都連續.但反之不真.§3二元函數的連續性定理16.7(復合函數的連續性)(i)設函數u

(x,y)和u

(x,y)在x