專訓1巧用位似解三角形中的內接多邊形問題名師點金：位似圖形是特殊位置的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質．位似圖形必須具備三個條件：(1)兩個圖形相似；(2)對應點的連線相交于一點；(3)對應邊互相平行或在同一直線上．三角形的內接正三角形問題1．如圖，用下面的方法可以畫△AOB的內接等邊三角形，閱讀后證明相應問題．畫法：①在△AOB內畫等邊三角形CDE，使點C在OA上，點D在OB上；②連接OE并延長，交AB于點E′，過點E′作E′C′∥EC，交OA于點C′，作E′D′∥ED，交OB于點D′；③連接C′D′，則△C′D′E′是△AOB的內接等邊三角形．求證：△C′D′E′是等邊三角形．(第1題)三角形的內接矩形問題2．如圖，求作：內接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的邊EF在BC上，頂點D，G分別在AB，AC上，并且有DEEF＝12.(第2題)三角形的內接正方形問題(方程思想)3．如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊QM在BC上，其余兩個頂點P，N分別在AB，AC上，則這個正方形零件的邊長是多少？(第3題)4．(1)如圖①，在△ABC中，點D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點P.求證：eq\f(DP,BQ)＝eq\f(PE,QC).(2)在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四個頂點在△ABC的邊上，連接AG，AF，分別交DE于M，N兩點．①如圖②，若AB＝AC＝1，直接寫出MN的長；②如圖③，求證：MN2＝DM·EN.(第4題)答案1．證明：∵E′C′∥EC，∴∠C′E′O＝∠CEO.又∵∠COE＝∠C′OE′，∴△OCE∽△OC′E′.∴eq\f(CE,C′E′)＝eq\f(OE,OE′).又∵E′D′∥ED，∴∠D′E′O＝∠DEO.又∵∠DOE＝∠D′OE′，∴△DOE∽△D′OE′，∴eq\f(DE,D′E′)＝eq\f(OE,OE′).∴∠CED＝∠C′E′D′，eq\f(CE,C′E′)＝eq\f(DE,D′E′).∴△CED∽△C′E′D′.又∵△CDE是等邊三角形，∴△C′D′E′是等邊三角形．(第2題)2．解：如圖，在AB邊上任取一點D′，過點D′作D′E′⊥BC于點E′，在BC上截取E′F′，使E′F′＝2D′E′，過點F′作F′G′⊥BC，過點D′作D′G′∥BC交F′G′于點G′，作射線BG′交AC于點G，過點G作GF∥G′F′，DG∥D′G′，GF交BC于點F，DG交AB于點D，過點D作DE∥D′E′交BC于點E，則四邊形DEFG為△ABC的內接矩形，且DEEF＝12.3．解：設符合要求的正方形PQMN的邊PN與△ABC的高AD相交于點E.易知AE為△APN的邊PN上的高，設正方形PQMN的邊長為xmm，∵PN∥BC，∴∠APN＝∠B，∠ANP＝∠C.∴△APN∽△ABC.∴eq\f(AE,AD)＝eq\f(PN,BC).即eq\f(80－x,80)＝eq\f(x,120).解得x＝48.即這個正方形零件的邊長是48mm.4．(1)證明：在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴∠ADP＝∠B，∠APD＝∠AQB.∴△ADP∽△ABQ.∴eq\f(DP,BQ)＝eq\f(AP,AQ).同理△ACQ∽△AEP，∴eq\f(PE,QC)＝eq\f(AP,AQ).∴eq\f(DP,BQ)＝eq\f(PE,QC).(2)①解：MN＝eq\f(\r(2),9).②證明：∵∠B＋∠C＝90°，∠CEF＋∠C＝90°.∴∠B＝∠CEF.又∵∠BGD＝∠EFC＝90°，∴△BGD∽△EFC.∴eq\f(DG,CF)＝eq\f(BG,EF).∴DG·EF＝CF·BG.又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG.由(1)得eq\f(DM,BG)＝eq\f(MN,GF)＝eq\f(EN,CF).∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(MN,GF)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\f(