最低系列之瓜豆原理在輔助圓問題中，我們了解了求關于動點最值問題的方式之一——求出動點軌跡，即可求出關于動點的最值.本文繼續討論另一類動點引發的最值問題，在此類題目中，題目或許先描述的是動點P,但最終問題問的可以是另一點Q,當然P、。之間存在某種聯系，從P點出發探討。點運動軌跡并求出最值，為常規思路.一、軌跡之圓篇引例I：如圖，尸是圓。上一個動點，人為定點，連接AP,。為金一中點.考慮：當點。在圓。上運動時，。點軌跡是？【分析】觀察動圖可知點Q軌跡是個圓，而我們還需確定的是此圓與圓。有什么關系?考慮到。點始終為AP中點，連接AQ取人。中點M,則用點即為。點軌跡圓圓心，半徑A1Q是。P一半，任意時刻，均有△AMQs/vAORQM.PO=A().AP=[.2.p【小結】確定。點軌跡圓即確定其圓心與半徑，由A、Q、P始終共線可得：人M、。三點共線，由。為A尸中點可得：AM=[/yX(),。點軌跡相當于是P點軌跡成比例縮放.根據動點之間的相對位置關系分析同心的相對位置關系;根據動點之間的數量關系分析軌跡圓半徑數量關系.

引例2：如圖，P是圓。上一個動點，A為定點，連接AP,作AQL4P且AQ"P.考慮：當點/,在圓。上運動時，。點軌跡是？GT【分析】Q點軌跡是個圓，可理解為將AP繞點A逆時針旋轉9()。得AQ,故Q點軌跡與P點軌跡都是圓.接下來確定圓心與半徑.考慮APLAQ,可得Q點軌跡圓圓心M滿足力必，工。；考慮八〃二A。，可得。點軌跡圓圓心M滿足八仰且可得半徑即可確定圓"位置，任意時刻均有△APOg/^AQM.引例3：如圖，AAPQ是直角三角形，N/24Q=9O。且八〃=2月。，當，在圓。運動時，。點軌跡是？【分析】考慮AP^AQ,可得。點軌跡圓圓心”滿足八MJ_A。；考慮AP：A0=2:1,可得。點軌跡圓圓心”滿足AO.AM=2：［.即可確定圓〃位置，任意時刻均有△APOsaAQW,且相似比為2.

【模型總結】為了便于區分動點P、Q,【模型總結】為了便于區分動點P、Q,可稱點P為??主動點”，點。為??從動點，此類問題的必要條件：兩個定量主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（/附。是定值）;主動點、、從動點到定點的距離之比是定量（4八八。是定值）.【結論】（I）主、從動點與定點連線的夾角等于兩圓心與定點連線的夾角:（2）主、從動點與定點的距離之比等于兩圓心到定點的距離之比：AP.AQ=AO.AM,也等于兩圓半徑之比.按以上兩點即可確定從動點軌跡圓，。與P的關系相當于旋轉+伸縮.古人云：種瓜得瓜，種豆得豆.“種”圓得圓，"種.'線得線，謂之“瓜豆原理工【思考I】：如圖，尸是圓。上一個動點，A為定點，連接AF,以AF為一邊作等邊考慮：當點夕在圓。上運動時，。點軌跡是？【分析】。點滿足（1）N以。=60。：（2）故。點軌跡是個圓：考慮/由。=60。，可得。點軌跡圓圓心A1滿足/MAO二6（）。；考慮AP=AQ,可得。點軌跡圓圓心歷滿足AM”。，且可得半徑例。=尸。.即可確定圓M位置，任意時刻均有△“POwZvi0M.【小結】可以理解A。由八〃旋轉得來，故圓M亦由圓。旋轉得來，旋轉角度與縮放比例均等于AP與AQ的位置和數量關系.【思考2】如圖，2是圓。上一個動點，八為定點，連接八R以八戶為斜邊作等展直角&IP。.考慮：當點?在圓。上運動時，如何作出。點軌跡？Q【分析】。點滿足（1）/以0=45。；（2）APAQ=42：1，故。點軌跡是個圓.連接AO,構造NOAM=45。且AO：4W=JL|.例點即為0點軌跡圓圓心，此時任意時刻均有△工。Ps》MQ.即可確定點。的軌跡圓.

Qp【練習】如圖，點〃（3.4）,圓〃半徑為2,4（2.8,0），"（560）,點時是圓〃上的動點,點C是A"的中點，則A。的最小值是 .【分析】M點為主動點，。點為從動點，/，點為定點.考慮C是AM中點，可知C點軌跡:取5P中點。，以。為圓心，0c為半徑作圓，即為點C軌跡.當4U。三點共線且點。在線段上時，AC取到最小值，根據從P坐標求。，利用兩點間距離公式求得。工再減去即可.X

X【2016武漢中考】如圖，在等膜R3A3C中，AC=BC=?6,點尸在以斜邊A4為直徑的半圓上，，必為PC的中點，當半圓從點A運動至點。時，點M運動的路徑長為.【分析】考慮C、M、P共線及M是C『中點，可確定M點軌跡：取AB中點O,連接CO取CO中點D,以D為圓心，DM為半徑作圓D分別交AC、8C于E、尸兩點，則弧E尸即為時點軌跡.CBCB當然，若能理解.仞點與“點軌跡關系，可直接得到M點的軌跡長為P點軌跡長半，即可解決問題.【2()18南通中考】如圖，正方形A4CQ中，A4=2",。是4c邊的中點，點￡是正方形內一動點，()E=2,連接。&將線段DE繞點。逆時針旋轉9()。得。尸，連接AE、CF,求線段OF長的最小值.【分析】七是主動點，廠是從動點，。是定點，E點滿足七0二2,故七點軌跡是以。為圓心，2為半徑的圓.考慮DE_LDF且DE=DF,故作DM_LDO且0M=DO,尸點軌跡是以點“為圓心,2為半徑的圓.直接連接OM,與圓M交點即為尸點、，此時。尸最小,可構造三垂直全等求線段長，再利用勾股定理求得0M,減去M廠即可得到0尸的最小值.

【練習】AMC中，八3=4,AC=2.以4。為邊在乙44？外作正方形式;DE,3D、C￡交于點O,則線段AO的最大值為.【分析】考慮到A/?、AC均為定值，可以固定其中一個，比如固定4",將AC看成動線段，由此引發正方形8CEO的變化，求得線段,4。的最大值.根據47=2,可得C點軌跡是以點A為圓心，2為半徑的圓.接下來題目求八。的最大值，所以確定。點軌跡即可，觀察△BOC是等腰直角三角形，銳角頂點c的軌跡是以點4為圓心，2為半徑的圓，所以。點軌跡也是圓，以A8為斜邊構造等腰直角三角形，直角頂點M即為點。軌,跡圓圓心.

連接八M并延長與圓M交點即為所求的點°,此時a。最大，根據A"先求4必，再根據4。與40的比值可得圓〃的半徑與圓從半徑的比值，得到mo,相加即得AO.此題方法也不止這一種，比如可以如下構造旋轉，當a、C、*共線時，可得ao最大值.或者直接利用托勒密定理可得最大值.二、軌跡之線段篇引例：如圖，P是直線6c上一動點，連接AP,取a尸中點Q,當點尸在上運動時，。點軌跡是？可以這樣理解：分別過A、。向6。作垂線，垂足分別為M、N,在運動過程中，因為AP=2AQ，所以QN始終為A"的一半，即。點到6c的距離是定值，故。點軌跡是一條直線.【引例】如圖，ZkAP。是等腰直角三角形，/山。=?)0。且AP=AQ,當點P在直線BC上運動時，求。點軌跡？【分析】當AP與八。夾角固定且人外從。為定值的話，P、。軌跡是同一種圖形.當確定軌跡是線段的時候，可以任取兩個時刻的Q點的位置，連線即可，比如Q點的起始位置和終點位置，連接即得。點軌跡線段.【模型總結】必要條件：主動點、從動點與定點連線的夾角是定量（/附。是定值）;主動點、從動點到定點的距離之比是定量（八尸:八。是定值）.結論：入。兩點軌跡所在直線的夾角等于/心。（當/用Q09O。時，/心。等于MN與"C夾角）P、。兩點軌跡長度之比等于”3。（由△WCszMMV,可得"：aq=/?qmao[2017姑蘇區二模】如圖，在等邊中，"=10,"。=4,催=2,點P從點E出發沿￡人方向運動，連結以），以尸。為邊，在的右側按如圖所示的方式作等邊△/?￡當點。從點E運動到點八時，點廠運動的路徑長是.【分析】根據△。尸尸是等邊三角形，所以可知"點運動路徑長與P點相同，P從E點運動到工點路徑長為8,故此題答案為8.【2013湖州中考】如圖，已知點A是第一象限內橫坐標為2逐的一個定點，ACL工軸于點壞交直線于點N,若點P是線段ON上的一個動點，/AP8=3()。，BA1PA,則點P在線段on上運動時，工點不變，8點隨之運動.求當點P從點。運動到點N時，點"運動的路徑長是 .【分析】根據/以厲=9()。，/，4=3()。可得：AP："=":1,故"點軌跡也是線段,且P點軌跡路徑長與/，點軌跡路徑長之比也為6:1,P點軌跡長。N為26，故4點軌跡長為2n5.【練習】如圖，在平面直角坐標系中，A(?3.0)，點3是，軸正半軸上一動點，點。、。在元正半軸上，以4,為邊在川的下方作等邊"臺匕點4在￥軸上運動時,求。夕的最小值.【分析】求OP最小值需先作出P點軌跡，根據△A8P是等邊三角形且B點在直線上運動，故可知尸點軌跡也是直線.取兩特殊時刻：(1)當點8與點。重合時，作出尸點位置尸1：(2)當點6在k軸上方且A4與x軸夾角為60。時，作出〃點位置夕2.連接，1夕2,即為夕點軌跡.,V八\/>t-

根據NA3P=6()。可知：片「與y軸夾角為6()。，作OP，11,所得OP長度即為最小值，。「2二。八二3,所以OP=N.【2019宿遷中考】如圖，正方形ABC。的邊長為4,E為BC上一點,且&F為AB邊上的一個動點，連接EF,以EF為邊向右側作等邊△EFG,連接CG,則CG的最小值為.A D【分析】同樣是作等邊三角形，區別于上一題求動點路徑長，本題是求最小值，可以將尸點看成是由點4向點從運動，由此作出G點軌跡：考慮到尸點軌跡是線段，故3點軌跡也是線段，取起點和終點即可確定線段位置，初始時刻G點在q位置，最終G點在G,位置(G、不一定在CD邊)，GQ.即為G點運動軌跡.CG最小值即當CGIGG,的時候取到，作CH±GG,于點H,CH即為所求的最小值.

根據模型可知：qq與43夾角為60。，故q.LEq.過點石作政，。”于點尸，則〃F=G￡=i,CF=1CE=12 2所以C"=2,因此CG的最小值為*.2 2三、軌跡之其他圖形篇所謂?,瓜豆原理”，就是主動點的軌跡與從動點的軌跡是相似性.，根據主、從動點與定點連線形成的夾角以及主、從動點到定點的距離之比，可確定從動點的軌跡，而當主動點軌跡是其他圖形時，從動點軌跡必然也是.【2016樂山中考】如圖，在反比例函數＞=-2的圖像上有一個動點A,連接40A并延長交圖像的另一支于點、出在第一象限內有一點C,滿足當點A運動時，點C始終在函數y=9的圖像上運動，若5/CW=2,貝產的值為（ ）rA.2C.6B.4A.2C.6B.4D.8【分析】NAOC=90。且工顯然點。的軌跡也是一條雙曲線，分別作AM、CN垂直二軸，垂足分別為M、N,連接0C,易證△AMOsAQVC,??.CW=20M,ON=2AW,：.CN.CN=W4.()M,故心4x2=8.【思考】若將條件“〃/NCM=2"改為"A4C是等邊三角形”，k會是多少？【練習】如圖，A B(-1.4),。(-5.4〉，點P是△工5。邊上一動點，連接OP,以。P為斜邊在。P的右上方作等腰直角△OPQ,當點P在aA4c邊上運動一周時，點。的軌跡形成的封閉圖形面積為 .【分析】根據△OPQ是等腰直角三角形可得：。點運動軌跡與尸點軌跡形狀相同,根據。尸：。。二夜：1,可得產點軌跡圖形與Q點軌跡圖形相似比為0：1，故面積比為2:1,A/WC面積為［/2x3x4=6,故。點軌跡形