初中數學之拋物線存在性問題知識點拋物線上存在性向黑一.重點和難點重點:利用拋物線上的圖形的特性,如何將問題轉化為基本的數學問題難點：根據題意找出能使四邊形轉變成平行四邊形、矩形、菱形、正方形的條件。二、例題一、平行四邊形與拋物線1、如圖甲，在平面直角坐標系中，A6的坐標分別為（4,0）、（0,3）,拋物線產1區+仞什c經過點8,且對稱軸是（1）求拋物線對應的函螭析式；（2）將圖甲中“8。沿x軸向左平移到A0&（如圖乙），當四邊形483是菱形時,請說明點C和點。都在該拋物線i1at/（3）在（2）中，若點例是拋物線上的一個動點（點用不與點C。重合），經過點M作MNWy軸交直線CD于N,設點"的橫坐標為t,MV的長度為/,求/與f之間的函數解析式，并求當f為何值時，以他乂C￡為頂點的四邊形是跖四邊形.慘考公式:拋物線片/+bx+c（存0）b4ac-b? b的頂點坐標為（?百F"）,對稱軸是直線六?不?）31、解：⑴由于拋物線六4招+6x+c與y軸交于點6（0,4),則廣4;b5??拋物線的對稱軸心?萬二?0,r15竄圖乙?力二52二qf竄圖乙即拋物線的解析式：3_15片承+7x+4.(2)■,/(4,0)、B(3,0).,.OA=4,08=3,/I5=7oa2+OB2=5；若四邊形MCD是菱形，則BC=AD=AB=S,.■<(-5,3)、D(-1,0).3]5 5 ]5將C(-5,3)代入片砂彳x+4中,得:鏟(?5)2+干(-5)+4=3,所I睛C在拋物線上；同理可證：點。也在拋物線上，(3)設直線CD的解析式為：戶kx+b,依題意，有:-JTOC\o"1-5"\h\z/-5k+b二3 4I-k+bz0,解得b二--1 433，直線CD:齊?獷?&315 3由于例Mly軸,設M(t於甲+4),則N(力-?-4)；315J3①k?5或?1時//二M/V二(甲+不+4)?(??■4)3915二上物不33 3嶼②?54<-1時/二WV二（?鏟力-（印+7+4）二39-15?萍,祉彳;若以欣N、JE為頂點的四邊形是平行四邊形，由于MN\\CEt則M/V二CE二3,則有：3915不+0+彳二3,解得：^-3±2V2;梯形與拋物線1,已知，在內aO/B中//0A8=90,/80/二300/8二2?若以0為坐標原點，2所在直線為、軸，建立如圖所示的平面直角坐標系,點8在第一象限內,將他0%沿。斷后點/落在第一象限內的點C處,（1）求點C的坐標;

(2)若拋物線片呼+加(芬0)經過C4兩點,求此拋物線的蜥式；(3)若上述拋物線的對稱軸與08交于點。點P為線段D8上一動點，過P作V軸的平行線，交拋物線于點必問:是否存在這樣的點P,使得四邊形C0PM為等腰梯形？若存在，請求出此時點P的坐標；若不存在，請說明理由.1,解:⑴過點c作CH1X軸，垂足為力.?在aaO/8中，/。48=90。，/6力二30。，)AB2，08二4,04二2丘;由折疊的性質知：“06=30。,0析4a2包"。二60\OH昭國;，C點坐標為曲3).(2),.拋物線六加以(存0)經過C(凡3)、4M0)兩點,[3=3a+V^b??|0=12a+2V3b^解得卜2g；.,此拋物線的函數關系式為：片-解+2場.（3）存在.因為片-解+2端的頂點坐標為（心3）,即為點C用2LX軸，垂足為M設PN=t;因為N8g30°,所以ON=同■-P（廚。；作PQ工CD,垂足為aMELCD,垂足為E;把代入六?城+2Mx,得%-3A+6力：.M（佝?3/+6?），￡（何-3/+6匕），同理:Q電,t）,D（我,1）;=等腰三角形，菱形與峨線1、(2012嚨巖)在平面直角坐標系比"中，一塊含60。角的三角板作如圖擺放,斜邊加在斕上，直角麻C在y軸正半軸上,已知點4(10).⑴請直接寫出點&C的坐標：B并求經過4&C三點的拋物線解析式;(2)現有與上述三角板完全一樣的三角板DEF(其中/EDF=90°/DEF=60°),把頂點E放在哪殳加上(點E是不與A8兩點重合的動點),并使出所在直線經過點Cllt時，行所在直線與⑴中的拋物線交于點M①設/代X當x為何值時，'OgOBC;②在①的條件下探究：拋物線的對稱軸上是否存在點P使△PE例是等腰三角形？若存在,請寫出點P的坐標；若不存在，請說明理由.1、解：⑴,「點4(10),:.OA=],由圖可知，N必C是三角板的60。角，n48c是30。角,所以,OC=04初？60。=1X點二何。6二OQco80°二倔氏3,所以，點8(3.0),C。V3),設拋物線解析式為y=a^+bx+c,a-b+c=0,9a+3b+cz0則[c=V5 ，T解得b-3,、國5

所以，拋物線的解析式為片■所以，拋物線的解析式為片■在2點廠

3*+下%+'，3(2)①08C,OE_OC,五二麗nn0E73即疔手解得循1,所以,脛0/+0￡=1+1=2,即k2時，△OCE-&OBC;②存在.理由如下：砥b 3 ,拋物線的對稱軸為4.瓦二.2X（-近）T，所以，點￡為拋物線的對稱軸與x軸的交點，,：0A=OE,OClx軸，nB/C二60°,?.“G是等邊三角形，??勿公60。,又zDEFVO。,."B二60。，:?乙BAC二乙FEB1:.EF\\ACt由4(-1,0)((0,立)可得直線4C的解析式為尸北x+M,??點E(1,0),，直線牙的解析式為片風-6[y^x一點聯立廣營+槳+日( 。 0卜1=2p2=-3解得卜廣揚\y2=-473(舍去),.?點朋的坐標為(2,糊,EM=J(2T)，+(73-0)2=2,分三種情況討論“弱是等腰三角形，當任=￡例時，PE2所以，點P的坐標為(1,2)或(1,-2)、當任二的時，任B=60°,"P仔=90°?60。=30°,14在任二,除cos30。二弓x2