安培環路定理開放分類：物理、磁場11-3安培環路定理安培環路定理在穩恒磁場中，磁感強度B沿任何閉合路徑的線積分，等于這閉合路徑所包圍的各個電流之代數和的倍。這個結論稱為安培環路定理。它的數學表達式是按照安培環路定理，環路所包圍電流之正負應服從右手螺旋法則。如果閉合路徑l包圍著兩個流向相反的電流I1和I2（如左圖所示），這在下式中，按圖中選定的閉合路徑l的繞行方向，B矢量沿此閉合路徑的環流為如果閉合路徑l包圍的電流等值反向（如右圖所示），或者環路中并沒有包圍電流，則：安培環路定理的證明（不完全證明）以長直載流導線產生的磁場為例，證明安培環路定理的正確性。在長直載流導線的周圍作三個不同位置，且不同形狀的環路，可以證明對磁場中這三個環路，安培環路定理均成立。1、 取對稱環路包圍電流在垂直于長直載流導線的平面內，以載流導線為圓心作一條半徑為r的圓形環路1，則在這圓周上任一點的磁感強度B的大小為其方向與圓周相切.取環路的繞行方向為逆時針方向，取線元矢量dl，則B與dl間的夾角，B沿這一環路l的環流為式中積分是環路的周長。于是上式可寫成為從上式看到，B沿此圓形環路的環流只與閉合環路所包圍的電流I有關，而與環路的大小、形狀無關。2、 取任意環路包圍電流在垂直于長直載流導線的平面內，環繞載流直導線作一條如下圖所示的任意環路l，取環路的繞行方向為逆時針方向。在環路上任取一段線元dl，載流直導線在線元dl處的磁感強度B大小為B與dl的夾角為，則B對dl的線積分為直導線中心向線元的張角為，則有，所以有可見，B對dl的線積分與到直導線的距離無關。那么B對整個環路的環流值為上述計算再次說明B的環流值與環路的大小、形狀無關。3、取任意環路不包圍電流在垂直于長直載流導線的平面內，在載流直導線的外側作一條如下圖所示的任意環路l，取環路的繞行方向為逆時針方向。以載流直導線為圓心向環路作兩條夾角為的射線，在環路上截取兩個線元和。和距直導線圓心的距離分別為和，直導線在兩個線元處的磁感強度分別為和。從上圖可以看出，而。利用安培環路定理的證明之二的結論可知所以有從載流直導線中心O出發，可以作許多條射線，將環路分割成許多成對的線元，磁感強度對每對線元的標量積之和，都有上式的結果，故即環路不包圍電流時，B的環流值為零。安培環路定理反映了磁場的基本規律。和靜電場的環路定理相比較，穩恒磁場中B的環流，說明穩恒磁場的性質和靜電場不同，靜電場是保守場，穩恒磁場是非保守場。安培環路定理的應用利用安培環路定理求磁場的前提條件：如果在某個載流導體的穩恒磁場中，可以找到一條閉合環路1，該環路上的磁感強度B大小處處相等，B的方向和環路的繞行方向也處處同向，這樣利用安培環路定理求磁感強度B的問題，就轉化為求環路長度，以及求環路所包圍的電流代數和的問題，即利用安培環路定理求磁場的適用范圍：在磁場中能否找到上述的環路，取決于該磁場分布的對稱性，而磁場分布的對稱性又來源于電流分布的對稱性。因此，只有下述幾種電流的磁場，才能夠利用安培環路定理求解。電流的分布具有無限長軸對稱性電流的分布具有無限大面對稱性各種圓環形均勻密繞螺繞環利用安培環路定理求磁場的基本步驟首先用磁場疊加原理對載流體的磁場作對稱性分析；根據磁場的對稱性和特征，選擇適當形狀的環路；利用公式（1）求磁感強度。長直載流螺線管內的磁場用磁場疊加原理作對稱性分析:可將長直密繞載流螺線管看作由無窮多個共軸的載流圓環構成，其周圍磁場是各匝圓電流所激發磁場的疊加結果。在長直載流螺線管的中部任選一點P，在P點兩側對稱性地選擇兩匝圓電流，由圓電流的磁場分布可知，二者磁場疊加的結果，磁感強度B的方向與螺線管的軸線方向平行。由于長直螺線管可以看成無限長，因此在P點兩側可以找到無窮多匝對稱的圓電流，它們在P點的磁場迭加結果與上圖相似。由于P點是任選的，因此可以推知長直載流螺線管內各點磁場的方向均沿軸線方向。磁場分布如下圖所示。從上圖可以看出，在管內的中央部分，磁場是均勻的，其方向與軸線平行，并可按右手螺旋法則判定其指向；而在管的中央部分外側，磁場很微弱，可忽略不計，即B=0.利用安培環路定理可以解得螺線管內的磁感強度為具體解的過程根據長直載流螺線管中段的磁場分布特征，可以選擇如下圖所示的矩形環路及繞行方向。則環路ab段的dl方向與磁場B的方向一致，即；環路bc段和da段的dl方向與磁場B的方向垂直，即B?d1=0；環路cd段上的。于是，沿此閉合路徑1，磁感強度B的環流為：因為ab段的磁場是均勻的，可以從積分號中提出，則上式成為:設螺線管上每單位長度有n匝線圈，通過每匝的電流是I，則閉合路徑所圍繞的總電流為nI，根據右手螺旋法則，其方向是正的。按安培環路定理，有：注意對于繞得不緊的載流螺線管，其磁場的分布就不是如此。對于繞得不緊的均勻載流螺線管，由下圖可以看到，在靠近導線處的磁場和一條長直載流導線附近的磁場很相似，磁感線近似為圍繞導線的一些同心圓。管內、外的磁場是不均勻的，僅在螺線管的軸線附近，磁感強度B的方向近乎與軸線平行。均勻密繞螺繞環的磁場對于如圖所示的均勻密繞螺繞環，由于整個電流的分布具有中心軸對稱性，因而磁場的分布也應具有軸對稱性，因此，利用安培環路定理可以解得均勻密繞螺繞環內部的磁場分布為具體解的過程將通有電流I的矩形螺繞環沿直徑切開，其剖面圖如下所示。在環內作一個半徑為r的環路，繞行方向如圖所示。環路上各點的磁感強度大小相等，方向由右手螺旋法可知：與環路繞行方向一致。磁感強度B沿此環路的環流為環路內包圍電流的代數和為。根據安培環路定理，有：對均勻密繞螺繞環，環上的線圈繞得很密，則磁場幾乎全部集中于管內，在環的外部空間，磁感強度處處為零，即B=0。如果將長直載流螺線管對接起來，就形成了圓形截面的均勻密繞細螺繞環，由安培環路定理同樣可以解得其內部的磁場和長直載流螺線管內部的磁場相同，仍為。無限大均勻載流平面的磁場電流的分布具有無限大面對稱性的載流導體，包括無限大均勻載流平面和無限長的大均勻載流平板。對無限大的載流平面產生的磁場，同樣可以進行對稱性分析，如上右圖所示，可以將無限大載流平面的磁場看成是由無窮多個平行的長直載流導線的磁場疊加而成。每一對對稱的直導線在P點的磁場疊加的結果是:垂直于磁場的分量都相互抵消，只剩下平行于磁場的分量，故載流平面產生的磁場，其方向與平面平行，與平面電流成右手螺旋方向。利用安培環路定理解得磁場的分布。如果無限大載流平面上的電流密度是j，那么它在周圍空間產生的磁場是一個均勻