PAGEPAGE4第1課時直線與平面、平面與平面垂直的性質一、選擇題1．若l，m，n表示不重合的直線，α表示平面，則下列說法中正確的個數為()①l∥m，m∥n，l⊥α?n⊥α；②l∥m，m⊥α，n⊥α?l∥n；③m⊥α，n?α?m⊥n.A．1 B．2C．3 D．0解析：選C①正確，∵l∥m，m∥n，∴l∥n.又l⊥α，∴n⊥α；②正確．∵l∥m，m⊥α，∴l⊥α.又n⊥α，∴l∥n；③正確，由線面垂直的定義可知其正確．故正確的有3個．2．如果直線a與平面α不垂直，那么平面α內與直線a垂直的直線有()A．0條 B．1條C．無數條 D．任意條解析：選C可構造圖形，若a∥α，a′?α，且a′∥a，則在平面α內有無數條直線垂直于a′，故平面α內有無數條直線垂直于直線a.3．設l是直線，α，β是兩個不同的平面()A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l⊥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β解析：選B對于選項A，兩平面可能平行也可能相交；對于選項C，直線l可能在β內也可能平行于β；對于選項D，直線l可能在β內或平行于β或與β相交．4．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，點A∈α，A?l，直線AB∥l，直線AC⊥l，直線m∥α，m∥β，則下列四種位置關系中，不一定成立的是()A．AB∥m B．AC⊥mC．AB∥β D．AC⊥β解析：選D如圖所示．AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l?AC⊥m；AB∥l?AB∥β，故選D.5．線段AB的兩端在直二面角α-l-β的兩個面內，并與這兩個面都成30°角，則異面直線AB與l所成的角是()A．30° B．45°C．60° D．75°解析：選B過B作l的平行線，過A′作l的垂線，兩線交于點C，連接AC，則∠ABC即為異面直線AB與l所成的角，由題意，∠ABA′＝∠BAB′＝30°，所以AA′＝eq\f(1,2)AB，BB′＝A′C＝eq\f(1,2)AB，AB′＝eq\f(\r(3),2)AB，所以A′B′＝BC＝eq\f(\r(2),2)AB，AC＝eq\f(\r(2),2)AB，由勾股定理知∠ACB＝90°，則∠ABC＝45°.二、填空題6．一條與平面α相交的線段，其長度為10cm，兩端點到平面的距離分別是2cm,3cm，這條線段與平面α所成的角是________．解析：如圖：作出AC⊥α，BD⊥α，則AC∥BD，AC，BD確定的平面與平面α交于CD，且CD與AB相交于O，AB＝10，AC＝3，BD＝2，則AO＝6，BO＝4，∴∠AOC＝∠BOD＝30°.答案：30°7.如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，直線a?β，a⊥AB，則直線a與直線l的位置關系是________．解析：∵EA⊥α，平面α∩平面β＝l，即l?α，∴l⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB＝E，∴l⊥平面EAB.∵EB⊥β，a?平面β，∴EB⊥a.又a⊥AB，EB∩AB＝B，∴a⊥平面EAB，∴a∥l.答案：平行8．如圖，四面體P－ABC中，PA＝PB＝eq\r(13)，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，則PC＝________.解析：取AB的中點E，連接PE.∵PA＝PB，∴PE⊥AB.又平面PAB⊥平面ABC，∴PE⊥平面ABC.連接CE，所以PE⊥CE.∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，∴AB＝2eq\r(7)，PE＝eq\r(PA2－AE2)＝eq\r(6)，CE＝eq\r(BE2＋BC2)＝eq\r(43)，PC＝eq\r(PE2＋CE2)＝7.答案：7三、解答題9.如圖：三棱錐P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求證：平面PAB⊥平面PBC.證明：∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC?平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，AB?平面PAB，PA?平面PAB，∴BC⊥平面PAB.又BC?平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.10.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是邊長為a的正方形，E、F分別為PC、BD的中點，側面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝eq\f(\r(2),2)AD.(1)求證：EF∥平面PAD；(2)求三棱錐C—PBD的體積．解：(1)證明：連接AC，如圖所示，則F是AC的中點，又E為PC的中點，∴EF∥PA.又∵PA?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD.(2)取AD的中點N，連接PN，如圖所示．∵PA＝PD，∴PN⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN?平面PAD，∴PN⊥平面ABCD，即PN是三棱錐P－BCD的高．又∵PA＝PD＝eq\f(\r(2),2)AD＝eq\f(\r(2),2)a，∴PN＝