2023年高考數學模擬試卷注意事項1．考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規定位置．3．請認真核對監考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．馬林●梅森是17世紀法國著名的數學家和修道士，也是當時歐洲科學界一位獨特的中心人物，梅森在歐幾里得、費馬等人研究的基礎上對2p﹣1作了大量的計算、驗證工作，人們為了紀念梅森在數論方面的這一貢獻，將形如2P﹣1（其中p是素數）的素數，稱為梅森素數.若執行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數的個數是（）A．3 B．4 C．5 D．62．若的展開式中的系數為150，則（）A．20 B．15 C．10 D．253．函數的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．4．運行如圖程序，則輸出的S的值為（）A．0 B．1 C．2018 D．20175．四人并排坐在連號的四個座位上，其中與不相鄰的所有不同的坐法種數是（）A．12 B．16 C．20 D．86．若復數為虛數單位在復平面內所對應的點在虛軸上，則實數a為（）A． B．2 C． D．7．如圖，用一邊長為的正方形硬紙，按各邊中點垂直折起四個小三角形，做成一個蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋中心（球心）與蛋巢底面的距離為（）A． B． C． D．8．為實現國民經濟新“三步走”的發展戰略目標，國家加大了扶貧攻堅的力度．某地區在2015年以前的年均脫貧率（脫離貧困的戶數占當年貧困戶總數的比）為．2015年開始，全面實施“精準扶貧”政策后，扶貧效果明顯提高，其中2019年度實施的扶貧項目，各項目參加戶數占比（參加該項目戶數占2019年貧困戶總數的比）及該項目的脫貧率見下表：實施項目種植業養殖業工廠就業服務業參加用戶比脫貧率那么年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的（）A．倍 B．倍 C．倍 D．倍9．我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成，爻分為陽爻“——”和陰爻“——”．如圖就是一重卦．在所有重卦中隨機取一重卦，則該重卦至少有2個陽爻的概率是（）A． B． C． D．10．如圖所示，三國時代數學家趙爽在《周髀算經》中利用弦圖，給出了勾股定理的絕妙證明.圖中包含四個全等的直角三角形及一個小正方形（陰影），設直角三角形有一內角為，若向弦圖內隨機拋擲500顆米粒（米粒大小忽略不計，?。瑒t落在小正方形（陰影）內的米粒數大約為（）A．134 B．67 C．182 D．10811．已知直線過雙曲線C：的左焦點F，且與雙曲線C在第二象限交于點A，若（O為坐標原點），則雙曲線C的離心率為A． B． C． D．12．已知在平面直角坐標系中，圓：與圓：交于，兩點，若，則實數的值為（）A．1 B．2 C．-1 D．-2二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知集合A＝，B＝，若AB中有且只有一個元素，則實數a的值為_______．14．展開式中的系數為_______________．15．已知函數為偶函數，則_____.16．已知各棱長都相等的直三棱柱(側棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱)所有頂點都在球的表面上.若球的表面積為則該三棱柱的側面積為___________．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）等差數列的前項和為，已知，．（1）求數列的通項公式；（2）設數列{}的前項和為，求使成立的的最小值．18．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，平面底面，為的中點，是棱上的點且，，，.求證：平面平面以；求二面角的大小.19．（12分）已知函數（，為自然對數的底數），.（1）若有兩個零點，求實數的取值范圍；（2）當時，對任意的恒成立，求實數的取值范圍.20．（12分）已知函數.（1）若在上是減函數，求實數的最大值；（2）若，求證：.21．（12分）設函數，是函數的導數.（1）若，證明在區間上沒有零點；（2）在上恒成立，求的取值范圍.22．（10分）“綠水青山就是金山銀山”，為推廣生態環境保護意識，高二一班組織了環境保護興趣小組，分為兩組，討論學習．甲組一共有人，其中男生人，女生人，乙組一共有人，其中男生人，女生人，現要從這人的兩個興趣小組中抽出人參加學校的環保知識競賽.（1）設事件為“選出的這個人中要求兩個男生兩個女生，而且這兩個男生必須來自不同的組”，求事件發生的概率；（2）用表示抽取的人中乙組女生的人數，求隨機變量的分布列和期望

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】

模擬程序的運行即可求出答案．【詳解】解：模擬程序的運行，可得：p＝1，S＝1，輸出S的值為1，滿足條件p≤7，執行循環體，p＝3，S＝7，輸出S的值為7，滿足條件p≤7，執行循環體，p＝5，S＝31，輸出S的值為31，滿足條件p≤7，執行循環體，p＝7，S＝127，輸出S的值為127，滿足條件p≤7，執行循環體，p＝9，S＝511，輸出S的值為511，此時，不滿足條件p≤7，退出循環，結束，故若執行如圖所示的程序框圖，則輸出的梅森素數的個數是5，故選：C．【點睛】本題主要考查程序框圖，屬于基礎題．2、C【解析】

通過二項式展開式的通項分析得到，即得解.【詳解】由已知得，故當時，，于是有，則.故選：C【點睛】本題主要考查二項式展開式的通項和系數問題，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.3、B【解析】

根據函數奇偶性，可排除D；求得及，由導函數符號可判斷在上單調遞增，即可排除AC選項.【詳解】函數易知為奇函數，故排除D.又，易知當時，；又當時，，故在上單調遞增，所以，綜上，時，，即單調遞增.又為奇函數，所以在上單調遞增，故排除A，C.故選：B【點睛】本題考查了根據函數解析式判斷函數圖象，導函數性質與函數圖象關系，屬于中檔題.4、D【解析】

依次運行程序框圖給出的程序可得第一次：，不滿足條件；第二次：，不滿足條件；第三次：，不滿足條件；第四次：，不滿足條件；第五次：，不滿足條件；第六次：，滿足條件，退出循環．輸出1．選D．5、A【解析】

先將除A，B以外的兩人先排，再將A，B在3個空位置里進行插空，再相乘得答案.【詳解】先將除A，B以外的兩人先排，有種；再將A，B在3個空位置里進行插空，有種，所以共有種.故選：A【點睛】本題考查排列中不相鄰問題，常用插空法，屬于基礎題.6、D【解析】

利用復數代數形式的乘除運算化簡，再由實部為求得值．【詳解】解：在復平面內所對應的點在虛軸上，，即．故選D．【點睛】本題考查復數代數形式的乘除運算，考查復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題．7、D【解析】

先求出球心到四個支點所在球的小圓的距離，再加上側面三角形的高，即可求解.【詳解】設四個支點所在球的小圓的圓心為，球心為，由題意，球的體積為，即可得球的半徑為1，又由邊長為的正方形硬紙，可得圓的半徑為，利用球的性質可得，又由到底面的距離即為側面三角形的高，其中高為，所以球心到底面的距離為.故選：D.【點睛】本題主要考查了空間幾何體的結構特征，以及球的性質的綜合應用，著重考查了數形結合思想，以及推理與計算能力，屬于基礎題.8、B【解析】

設貧困戶總數為，利用表中數據可得脫貧率，進而可求解.【詳解】設貧困戶總數為，脫貧率，所以.故年的年脫貧率是實施“精準扶貧”政策前的年均脫貧率的倍.故選：B【點睛】本題考查了概率與統計，考查了學生的數據處理能力，屬于基礎題.9、C【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對立事件,即該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻的概率,再根據兩對立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設“該重卦至少有2個陽爻”為事件.所有“重卦”共有種；“該重卦至少有2個陽爻”的對立事件是“該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻”,其中,沒有陽爻（即6個全部是陰爻）的情況有1種,只有1個陽爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個陽爻的概率是.故選：C【點睛】本題主要考查了對立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎題.10、B【解析】

根據幾何概型的概率公式求出對應面積之比即可得到結論.【詳解】解：設大正方形的邊長為1，則小直角三角形的邊長為，

則小正方形的邊長為，小正方形的面積，

則落在小正方形（陰影）內的米粒數大約為，

故選：B.【點睛】本題主要考查幾何概型的概率的應用，求出對應的面積之比是解決本題的關鍵.11、B【解析】

直線的傾斜角為，易得．設雙曲線C的右焦點為E，可得中，，則，所以雙曲線C的離心率為.故選B．12、D【解析】

由可得，O在AB的中垂線上，結合圓的性質可知O在兩個圓心的連線上，從而可求.【詳解】因為，所以O在AB的中垂線上，即O在兩個圓心的連線上，，，三點共線，所以，得，故選D.【點睛】本題主要考查圓的性質應用，幾何性質的轉化是求解的捷徑.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、2【解析】

利用AB中有且只有一個元素，可得，可求實數a的值.【詳解】由題意AB中有且只有一個元素，所以，即.故答案為：.【點睛】本題主要考查集合的交集運算，集合交集的運算本質是存同去異，側重考查數學運算的核心素養.14、【解析】

把按照二項式定理展開，可得的展開式中的系數．【詳解】解：，故它的展開式中的系數為，故答案為：．【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數的性質，屬于基礎題．15、【解析】

根據偶函數的定義列方程，化簡求得的值.【詳解】由于為偶函數，所以，即，即，即，即，即，即，即，所以.故答案為：【點睛】本小題主要考查根據函數的奇偶性求參數，考查運算求解能力，屬于中檔題.16、【解析】

只要算出直三棱柱的棱長即可，在中，利用即可得到關于x的方程，解方程即可解決.【詳解】由已知，，解得，如圖所示，設底面等邊三角形中心為，直三棱柱的棱長為x，則，，故，即，解得，故三棱柱的側面積為.故答案為：.【點睛】本題考查特殊柱體的外接球問題，考查學生的空間想象能力，是一道中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）的最小值為19.【解析】

（1）根據條件列方程組求出首項、公差，即可寫出等差數列的通項公式；（2）根據等差數列前n項和化簡，利用裂項相消法求和，解不等式即可求解.【詳解】(1)等差數列的公差設為，，，可得，，解得，，則；(2)，，前n項和為，即，可得，即，則的最小值為19.【點睛】本題主要考查了等差數列的通項公式，等差數列的前n項和，裂項相消法求和，屬于中檔題18、證明見解析；.【解析】

推導出，，從而平面，由此證明平面平面以；以為原點，建立空間直角坐標系，利用法向量求出二面角的大小.【詳解】解：，，為的中點，四邊形為平行四邊形，.,，即.又平面平面，且平面平面，平面.平面，平面平面.，為的中點，.平面平面，且平面平面，平面.如圖，以為原點建立空間直角坐標系，則平面的一個法向量為，，，，，設，則，，，，，在平面中，，，設平面的法向量為，則，即，平面的一個法向量為，，由圖知二面角為銳角，所以所求二面角大小為.【點睛】本題考查面面垂直的證明，考查二面角的大小的求法，考查了空間向量的應用，屬于中檔題.19、（1）；（2）【解析】

（1）將有兩個零點轉化為方程有兩個相異實根，令求導，利用其單調性和極值求解；（2）將問題轉化為對一切恒成立，令，求導，研究單調性，求出其最值即可得結果.【詳解】（1）有兩個零點關于的方程有兩個相異實根由，知有兩個零點有兩個相異實根.令，則，由得：，由得：，在單調遞增，在單調遞減，又當時，，當時，當時，有兩個零點時，實數的取值范圍為；（2）當時，，原命題等價于對一切恒成立對一切恒成立.令令，，則在上單增又，，使即①當時，，當時，，即在遞減，在遞增，由①知函數在單調遞增即，實數的取值范圍為.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性，極值，最值問題，考查學生轉化能力和分析能力，是一道難度較大的題目.20、（1）（2）詳見解析【解析】

（1），在上，因為是減函數，所以恒成立，即恒成立，只需.令，，則，因為，所以.所以在上是增函數，所以，所以，解得.所以實數的最大值為.（2），.令，則，根據題意知，所以在上是增函數.又因為，當從正方向趨近于0時，趨近于，趨近于1，所以，所以存在，使，即，，所以對任意，，即，所以在上是減函數；對任意，，即，所以在上是增函數，所以當時，取得最小值，最小值為.由于，，則，當且僅當，即時取等號，所以當時，．21、（