物理競賽輔導講座——力學部分1一、理論的補充內容

2知識點一：

與質點系的質心相關的內容質心運動定理質心坐標系柯尼希定理剛體平面運動的基本方程3一.質點系的質心質點系（含剛體）的質心C，是一個假想的質點。它的質量等于質點系的總質量，它的坐標定義為：即(1)(1')對于給定的質點系，質心坐標取決于坐標系的選擇。但它的相對位置不因此而變。4CCCC對于質量對稱分布的質點系，其質心就在它的對稱中心。舉例如下：5二.質心運動定理(1)對時間求導，即得質心速度：(2)（2）式對時間求導，即得質心加速度：（4）(3)質心的動量即質心動量就是系統動量。又（5）6（6）式可寫成：(6）或（7）是質心運動滿足的微分方程，稱為質心運動定理。它在形式上與一個單質點的牛頓方程相同。注意內力對質心運動不起作用。合外力為零時，質心加速度為零，質心動量守恒（即系統動量守恒）。（7）因系統內力滿足牛頓第三定律，內力之和應為零，故有（6）7在一般情況下，物體受力后，質心按（7）產生質心加速度。若合力作用線不通過質心，物體將同時受一對質心的力矩的作用，得到繞質心旋轉的角加速度：（8）8三.質心坐標系

以質心為原點的平動坐標系稱為質心坐標系（C系）。質心坐標系在質點系力學中具有極其重要的作用。與觀測儀器相連的坐標系稱為實驗室坐標系（L系）。一般地說，L系適用于測定數據，C系適用于理論分析。CL系C系om1m2m39四.質點系動能的分解

此中ui是第i個質點在C系中的速率。（8）稱為柯尼希定理。證明從略。在許多情況下，用（8）式計算系統動能極其方便。（8）在任何坐標系L中，系統的動能恒可分解為質心在L系中的動能與系統在C系中的動能之和：系統在L系中的動能系統質心C在L系中的動能系統在C系中的動能10例.計算沿平面直線滾動的均質實心輪子的動能Ek。已知輪子半徑為R，質量為M,滾動角速度為.解：在地面坐標系（L系）中，輪子質心速度為質心在L系中的動能為RvCML系輪子在C系中作定軸轉動，轉動慣量為轉動動能為輪子在L系中的動能為11五.剛體的平面平行運動CC過質心C的轉軸垂直圖面上圖顯示剛體運動時其上一個截面的運動。該截面過質心C，并保持在屏幕平面內。同時，剛體繞過質心C且垂直于圖面的軸轉動。剛體的這種運動方式稱為平面平行運動。C質心C的軌跡12CCC剛體的這種運動可分解為隨質心的平動加繞質心定軸轉動。（7）（8）質心C的軌跡隨質心的平動規律與質心的運動規律相同：即13可見，剛體的平面運動滿足3個獨立投影方程。（9）是剛體對過質心轉軸的轉動慣量。定軸轉動的規律為合外力矩以沿平面直線滾動的輪子為例：平動方程轉動方程vCCxdRf滾動摩擦F拉力14

知識點二：

剛體定軸轉動的基本方程——角動量定理15轉軸剛體角位移的大小剛體初始位置剛體末位置剛體角位移矢量剛體角速度矢量轉軸外力在轉軸的垂直平面內外力對O點的矩外力的作用點oo16剛體的角加速度矢量由于轉軸方向不變，上述關系可簡寫成投影關系：剛體的角速度矢量角坐標:角速度:角加速度:剛體的角位移剛體角速度的增量逆關系為:17角動量在轉軸上的投影是：

L=mvr=mr2moz?對于定軸轉動剛體上的質點，恒有，因而質點對轉軸的角動量：18剛體作定軸轉動時，其上所有質點繞轉軸的角速度為一共同量。

按照質點動量定義p=mv，質點對轉軸的角動量L=mr2也可視為慣量與角速度的乘積，mr2就是質點對轉軸的轉動慣量，以字符J記之：J=mr2，它體現了質點作定軸轉動時慣性的大小。剛體作定軸轉動時，其上所有質點對轉軸的轉動慣量之和，稱為剛體對轉軸的轉動慣量：LArdm19（5）稱為剛體定軸轉動的角動量定理，又稱剛體的轉動定律。當（5）中外力矩M=0時，剛體角動量L=J=常值。此即剛體定軸轉動下的角動量守恒定律。它類似于平動問題中的動量守恒定律。剛體定軸轉動微分方程：（4）因只有一個分量，可寫成投影式：（5）20外力矩M=0時，定軸轉動剛體的角動量L=J=常值，是一條應用極廣的定律。離心節速器21平行軸定理dLCL若剛體對過其質心C的軸LC的轉動慣量為已知，則該剛體對另一平行軸L的轉動慣量為：此處d為兩平行軸間的垂距。證明從略。質心C平行軸22已知均質圓盤繞過中心C的垂直軸LC的轉動慣量為:則該圓盤對過邊緣的垂直軸L的轉動慣量為：RCLLC平行軸定理應用舉例：23當系統質點排成一直線時，質心坐標公式成為24解：1）過O點的轉動慣量：挖去部分的質量OR/2252）過新質心點的轉動慣量：C首先找出新質心位置作如圖坐標系令挖后質心坐標為

XC’，有：挖前質心坐標：Ox+=26平行軸定理：本題結束COx+=R/627垂直軸定理

如右圖所示,對于勻質薄剛體，x、y軸在剛體內且相互垂直,z軸垂直于剛體.則剛體對z軸的轉動慣量等于其對x、y軸的轉動慣量之和。28垂直軸定理應用舉例xyzab已知矩形均質薄剛體，邊長各為a,b,對x軸與y軸的轉動慣量各為：由垂直軸定理知，剛體對z軸的轉動慣量為：29已知圓盤初始角速度,圓盤與水平板之間的摩擦系數為.求：（1）圓盤所受摩擦力矩；（2）圓盤放在平板上經多長時間后停止轉動？例題Rm圓盤側視圖30rr+drR解（1）:將圓盤分解成許多寬為dr的同心圓環。圓環面積為dS=2rdr,

圓盤單位面積質量為=m/R2,園環質量為dm=dS,園環受的摩擦力為df=gdm,摩擦力矩為負號表示力矩的方向與初始角速度方向相反。dS圓盤俯視圖31答(1):

對r積分，得總摩擦力矩：解(2):

將總摩擦力矩的值代入轉動定律（角動量定理）中：

分離變量：32設t=t1時刻圓盤停止，便有：答（2）：t=t1=3R/4g

時圓盤停止。33將轉動定律代入上式右方，得元功定軸轉動的動能定理定義力矩M的元功：此處為定軸轉動剛體的動能。(6)式表明：力矩的元功轉化為剛體定軸轉動動能的元增量——此稱定軸轉動剛體的動能定理的微分形式。(6)34動能定理的積分形式是：即，外力矩作的總功等于定軸轉動剛體動能的增量。(7)（7）式僅適用于J不變的場合。當J改變時，（7）應改為：(8)35沖擊力問題沖擊力的特點是力F很大而作用時間極短。因而積分值（沖量）既不是無限大，也不是無限小，而是有限非零值。當已知時，按動量定理（1）（2）（2）是動量定理的積分形式，適用于沖擊力造成剛體平動的場合。沖擊力的沖量動量增量36（3）（3）是角動量定理的積分形式，適用于沖擊力造成剛體旋轉的場合。沖量矩角動量增量將（2）改寫成：沖擊力矩問題沖擊力問題的一個共同特點是，在力作用時間內，剛體的動量或角動量有明顯改變，但剛體的位移則可以忽略不計。原因是，前者是時間的同級小量，而后者是時間的二級小量。37沖擊力矩例題·OmlA一質量為m，長為l的均勻細棒AO，支點在棒端O點。開始時，棒自由懸掛。以不變的沖力打擊它的下端點A，力作用的時間為。若棒原先靜止，求打擊后瞬間棒的角動量L以及棒的最大偏角。解.打擊前，棒的角動量為零。沖擊力對棒上O點的矩為：沖擊力作用點按角動量定理，有C懸掛點打擊后瞬間棒的角速度38·OmlF·Om打擊后瞬間棒的角速度為：打擊后棒的初動能：由機械能守恒求出棒的最大偏角：打擊后棒得到的角動量為重心C提升高度CCC重心棒受打擊后瞬間的動能39剛體定軸旋轉中的機械能守恒例題t=0時刻t時刻CCL水平軸均勻細棒AB質量為m，長為L,可繞過A端的水平軸旋轉。將棒置于水平位置，然后將B端放開任其自由落下。求細棒的角速度和角加速度與角位移的關系。

AABBB質心C下降了(L/2)sin40CCL勢能改變量：動能改變量：機械能守恒定律：水平軸t=0時刻t時刻質心C下降了(L/2)sin41將（2）對t求導：注意，有：（4）解出：（3）（2）即：（1）也可用轉動定律得到42典型難題：彈簧與非彈性碰撞mL0m′Ov0v初態LkmL0m′Ov0初態彈簧開始轉動后的瞬態m+m′OvLkL0m+m′O碰撞后瞬間u光滑水平面上有一輕質彈簧，勁度系數為k。它一端固定，另端系一質量為m的滑塊。最初滑塊靜止時，彈簧呈自然長度L0,今有一質量為m的子彈以速度v0

沿水平方向并垂直于彈簧軸線射向滑塊并留在其中，使滑塊在水平面內滑動。當彈簧長度被拉伸至L時，求滑塊速度的大小v和方向角。43L0m+m′O碰撞后瞬間u(1)解得：子彈射入滑塊可視為沖擊過程。它是完全非彈性碰撞過程，歷時很短，可認為子彈停留在滑塊中后，滑塊才攜子彈開始運動