2022年湖南省永州市普通高校對口單招高等數學一自考測試卷(含答案)學校:________班級:________姓名:________考號:________

一、單選題(20題)1.平面x+y一3z+1=0與平面2x+y+z=0相互關系是()。

A.斜交B.垂直C.平行D.重合

2.設z=x2y，則等于()。A.2yx2y-1

B.x2ylnx

C.2x2y-1lnx

D.2x2ylnx

3.如圖所示，在半徑為R的鐵環上套一小環M，桿AB穿過小環M并勻速繞A點轉動，已知轉角φ=ωt(其中ω為一常數，φ的單位為rad，t的單位為s)，開始時AB桿處于水平位置，則當小環M運動到圖示位置時(以MO為坐標原點，小環Md運動方程為正方向建立自然坐標軸)，下面說法不正確的一項是()。

A.小環M的運動方程為s=2Rωt

B.小環M的速度為

C.小環M的切向加速度為0

D.小環M的法向加速度為2Rω2

4.

5.設函數y=(2+x)3，則y'=

A.(2+x)2

B.3(2+x)2

C.(2+x)4

D.3(2+x)4

6.

7.

8.

9.滑輪半徑，一0．2m，可繞水平軸0轉動，輪緣上纏有不可伸長的細繩，繩的一端掛有物體A，如圖所示。已知滑輪繞軸0的轉動規律為φ=0．15t3rad，其中t單位為s。當t-2s時，輪緣上M點速度、加速度和物體A的速度、加速度計算不正確的是()。

A.M點的速度為VM=0．36m／s

B.M點的加速度為aM=0.648m／s2

C.物體A的速度為VA=0．36m／s

D.物體A點的加速度為aA=0.36m／s2

10.

11.A.絕對收斂B.條件收斂C.發散D.無法確定斂散性

12.曲線y=x-3在點(1，1)處的切線斜率為()

A.-1B.-2C.-3D.-4

13.

14.

15.A.-1

B.1

C.

D.2

16.設un≤aυn(n=1，2，…)(a＞0)，且收斂，則()A.必定收斂B.必定發散C.收斂性與a有關D.上述三個結論都不正確

17.點(-1，-2，-5)關于yOz平面的對稱點是()

A.(-1，2，-5)B.(-1，2，5)C.(1，2，5)D.(1，-2，-5)

18.單位長度扭轉角θ與下列哪項無關()。

A.桿的長度B.扭矩C.材料性質D.截面幾何性質

19.

20.

二、填空題(20題)21.

22.設區域D：0≤x≤1，1≤y≤2，則

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.設，則y'=________。

31.

32.33.34.

35.

36.

37.

38.

39.

40.若∫x0f(t)dt=2e3x-2，則f(x)=________。

三、計算題(20題)41.42.證明：43.求函數y=x-lnx的單調區間，并求該曲線在點(1，1)處的切線l的方程．44.求微分方程的通解．

45.

46.將f(x)=e-2X展開為x的冪級數．47.設拋物線Y=1-x2與x軸的交點為A、B，在拋物線與x軸所圍成的平面區域內，以線段AB為下底作內接等腰梯形ABCD(如圖2—1所示)．設梯形上底CD長為2x，面積為

S(x)．

(1)寫出S(x)的表達式；

(2)求S(x)的最大值．

48.

49.求曲線在點(1，3)處的切線方程．50.研究級數的收斂性(即何時絕對收斂，何時條件收斂，何時發散，其中常數a>0．51.

52.

53.設平面薄板所占Oxy平面上的區域D為1≤x2+y2≤4，x≥0，y≥0，其面密度

u(x，y)=2+y2，求該薄板的質量m．54.當x一0時f(x)與sin2x是等價無窮小量，則55.

56.求微分方程y"-4y'+4y=e-2x的通解．

57.求函數f(x)=x3-3x+1的單調區間和極值．

58.已知某商品市場需求規律為Q=100e-0.25p，當p=10時，若價格上漲1％，需求量增(減)百分之幾?

59.

60.求函數一的單調區間、極值及其曲線的凹凸區間和拐點．四、解答題(10題)61.

62.(本題滿分8分)

63.

64.

65.

66.(本題滿分8分)設y＝x＋sinx，求y．67.

68.

69.70.五、高等數學(0題)71.設

求df(t)

六、解答題(0題)72.設y=x2+2x，求y'。

參考答案

1.Bπ1x+y一3z+1=0的法向量n1=(1，1，一3)π2：2x+y+z=0的法向量n2=(2，1，1)∵n1.n2=(1，1，一3).(2，1，1)=0∵n1⊥n2；∴π1⊥π2

2.A本題考查的知識點為偏導數的計算。對于z=x2y，求的時候，要將z認定為x的冪函數，從而可知應選A。

3.D

4.C

5.B本題考查了復合函數求導的知識點。因為y=(2+x)3，所以y'=3(2+x)2·(2+x)'=3(2+x)2.

6.C

7.A解析：

8.D解析：

9.B

10.B

11.A本題考察了級數的絕對收斂的知識點。

12.C由導數的幾何意義知，若y=f(x)可導，則曲線在點(x0，f(x0))處必定存在切線，且該切線的斜率為f"(x0)。由于y=x-3，y"=-3x-4，y"|x=1=-3，可知曲線y=x-3在點(1，1)處的切線斜率為-3，故選C。

13.C

14.B

15.A

16.D由正項級數的比較判定法知，若un≤υn，則當收斂時，也收斂；若也發散，但題設未交待un與υn的正負性，由此可分析此題選D。

17.D關于yOz平面對稱的兩點的橫坐標互為相反數，故選D。

18.A

19.D

20.A

21.

解析：22.本題考查的知識點為二重積分的計算。

如果利用二重積分的幾何意義，可知的值等于區域D的面積．由于D是長、寬都為1的正形，可知其面積為1。因此

23.

解析：

24.2m2m解析：

25.1/(1-x)2

26.6x2

27.

28.-ln｜x-1｜+C

29.2

30.

31.2/52/5解析：32.1．

本題考查的知識點為二元函數的極值．

可知點(0，0)為z的極小值點，極小值為1．

33.1本題考查了一階導數的知識點。

34.本題考查了一元函數的導數的知識點

35.

36.2/5

37.

38.(e-1)2

39.(01)(0，1)解析：

40.6e3x

41.

42.

43.

44.

45.

46.

47.

48.

則

49.曲線方程為，點(1，3)在曲線上．

因此所求曲線方程為或寫為2x+y-5=0．

如果函數y=f(x)在點x0處的導數f′(x0)存在，則表明曲線y=f(x)在點

(x0，fx0))處存在切線，且切線的斜率為f′(x0)．切線方程為

50.

51.

52.

53.由二重積分物理意義知

54.由等價無窮小量的定義可知

55.

56.解：原方程對應的齊次方程為y"-4y'+4y=0，

57.函數的定義域為

注意

58.需求規律為Q=100ep-2.25p

∴當P=10時價格上漲1％需求量減少2．5％需求規律為Q=100ep-2.25p,

∴當P=10時,價格上漲1％需求量減少2．5％59.由一階線性微分方程通解公式有

60.

列表：

說明

61.

62.【解析】

63.

64.

65.66.