動力學的研究內容及分析步驟研究內容：研究結構的動力特性及其動荷載作用下動力反應規律。動力學分析步驟：1）建立運動方程——描述結構中力與變形關系的數學表達式（也稱動力方程）。2）確定初邊值條件——初始條件和邊界條件3）對運動方程求解——利用初邊值條件求解微分方程（偏微分方程）4）結果分析及相關工程應用一、結構動力計算（問題）的特點1、動荷載定義：荷載（大小、方向和作用位置）隨時間變化；在其作用下，結構上的慣性力與外荷載相比不可忽視。2、動力計算特點（1）所考慮的力系中要包含慣性力。慣性力是導致結構產生動力反應的根本原因（內因，外因是動力荷載作用）。（2）動力平衡方程是瞬時平衡。荷載，內力，變形等都是時間的函數。10-1動力計算特點和動力自由度二、動力計算中體系的自由度1、動力自由度：確定體系（運動時）質量位置所需的獨立坐標（參數）數目。動力自由度與質點（集中質量）個數無關！靜力自由度：確定體系（運動時）幾何位置所需的獨立坐標（參數）數目。2、結構離散化：把無限自由度問題轉化為有限自由度的過程。常用簡化方法有： 1）集中質量法； 2）廣義坐標法； 3）有限單元法。

自由振動：結構受到干擾離開平衡位置以后，不再受到任何外力影響的振動過程。yykmc彈簧-質點模型mk簡化模型mEIhEI實際模型yykm無阻尼時，c=0一、自由振動微分方程建立基本方法：動靜法；

剛度法；

柔度法

10.2單自由度體系的自由振動1）動靜法/剛度法——基于體系的動態平衡條件mEIlyykmm動靜法步驟：1.在振動的任意時刻，求質點的慣性力和所受的彈性力；2.考慮t時刻的瞬時平衡。剛度法步驟：1.在任意時刻，求質點的慣性力和所受的彈性力；2.考慮該時刻的瞬時平衡力系沿動位移方向虛位移所作虛功=0。mk：彈簧剛度系數，使彈簧單位長度所施加的力（對立柱，使柱頂產生單位水平位移時所施加的水平力）1l柔度法步驟：1.求質點沿振動方向慣性力；2.虛設單位荷載下體系質點處沿振動方向靜位移；3.求慣性力作用引起的動位移mEIl柔度法-基于體系的位移協調條件δ為彈簧柔度系數：單位力作用下產生的位移，它與彈簧剛度系數互為倒數。體系振動任意時刻t的動位移，是由慣性力作用引起yykmδ二、自由振動微分方程的解yykm二階線性齊次常微分方程初始條件三、自由振動解的分析自振周期自振圓頻率(自振頻率)初相位角振幅頻率單位時間內的振動次數2π個單位時間內的振動次數完成一次振動循環所需時間四、自振頻率和自振周期計算（重點）1）T和ω只與結構質量和剛度有關，與外界干擾因素無關；2）T與質量平方根成正比，與剛度平方根成反比，要改變結構自振周期，只有從改變結構質量和剛度入手；3）T和ω是結構動力性能的一個重要數量標志。

Δst表示在質點上沿振動方向施加數值為W的荷載時質點沿振動方向所產生的靜位移。自振周期和自振頻率計算舉例——例1l/2l/2mEI1l/4求δ，作單位荷載作用下彎矩圖，如圖示例2判斷下列結構頻率大小關系，不計梁自重l/2l/2mEIl/2l/2mEIl/2l/2mEI定性判斷定量判斷1l/4一、強迫振動的力學模型及運動方程mEIlFp(t)yykmm非齊次常系數微分方程求解時，標準化微分方程10.3單自由度體系的強迫振動1、簡諧荷載作用常微分方程求解全部解=通解+特解F:荷載幅值,θ:荷載圓頻率yykm二、微分方程求解初始條件：穩態反應瞬態反應穩態反應：按荷載頻率振動的部分，起主要作用瞬態反應：按自振頻率振動的部分，在實際振動中，由于阻尼存在，這部分將會逐漸消失。最大靜位移，是指把荷載幅值F當做靜荷載作用時，結構沿振動方向產生的靜位移2、簡諧荷載下穩態階段的振動解分析顯然，動力系數是關于頻率比的函數，見下圖動力系數曲線（圖）動力系數的討論動內力幅值分析上述分析表明：簡諧荷載作用下，在平穩階段，體系的動位移、動內力和慣性力與動荷載同步，同時達到幅值。動位移和動內力幅值（如彎矩和剪力）在動荷載幅值作用下可以按靜力方法計算，再乘以動力系數即可。

該結論只適用于單自由度體系！mEIlFp(t)Fp(t)x簡諧振動計算舉例例10-3l/2l/2mEI1l/4解：（1）求自振頻率已知：l=4m，I28b工字鋼，E=2.1×105MPa，電機G=35kN,轉速n=500r/min，離心力FP=10kN，豎向分量FPsinθt，求動力系數、最大彎矩、最大正應力和最大撓度。為避免單位弄錯，建議都采用國際單位！（2）求荷載頻率l/2l/2mEI電機重量引起的靜撓度轉子偏心力引起的動撓度平衡位置（3）求動力系數（4）求最大彎矩（5）求最大正應力（6）求最大撓度Fp(t)dτdS=Fpdττtt-τtFp(t)對于任意動力荷載的反應，整個加載過程相當于一系列瞬時沖量所組成。在任意時間t結構的反應，等于t以前所有瞬時沖量作用下動反應之和。3、一般動力荷載作用下的微分方程解上式也稱J.M.C.Duhamel（杜哈梅/杜哈美/杜哈曼）積分，給出的解是一個由動力荷載引起的相應于零初始條件的特解。如果初始條件不為零，則需要再疊加上由非零初始條件引起的自由振動。杜哈梅積分的幾點說明：1）杜哈梅積分法只適用于線彈性體系；2）若荷載Fp(t)是簡單函數，積分相對簡單，若Fp(t)是一個很復雜的函數，精確積分會遇到困難；3）杜哈梅積分法是一種直接積分法，其計算效率不高。因為對于計算任一個時間點t的反應，積分都要從0積到t，計算相當耗時。這時可采用效率更高的數值解法，如逐步積分法。1）突加荷載Fp(t)Fp0t0幾種動荷載的杜哈梅公式2）短時荷載Fp(t)Fp0t0u（短時荷載）動力系數反應譜1、阻尼定義：引起結構能量的耗散，結構振幅逐漸變小的一種作用。2、阻尼來源（物理機制）： 1）固體材料變形時的內摩擦，或材料快速應變引起的熱耗散； 2）結構連接部位的摩擦，結構構件與非結構構件之間的摩擦； 3）結構周圍外部介質引起的阻尼。例如，空氣、流體等。

一、阻尼概述10.4阻尼對振動的影響阻尼力對質點運動起阻礙作用，其方向總與質點速度/位移方向相反，數值上，有以下幾種假設：1）粘滯阻尼：阻尼力大小與質點速度成正比；2）摩擦阻尼：阻尼力大小與速度大小無關，一般為常數；3）滯變阻尼：阻尼力大小與位移成正比(相位與速度相同)；4）流體阻尼：阻尼力與質點速度的平方成正比。

上述幾種阻尼力中，粘滯阻尼力的分析比較簡單，表達式為：FD=-cv，其中c為阻尼系數

，它是反映了多種耗能因素綜合影響的系數，阻尼系數一般是通過結構原型振動試驗的方法得到。3、阻尼（阻尼力）基本假設二、有阻尼體系力學模型和運動方程yy(t)kmcmkm三、有阻尼體系運動方程求解1、有阻尼的自由振動運動方程標準常微分方程有阻尼自由振動：結構受到擾動離開平衡位置以后，受阻尼影響的振動過程。運動方程（微分方程）解的形式解的討論（1）當ξ>1，大阻尼，指數衰減，無振動（2）當ξ=1，臨界阻尼，指數衰減，無振動（3）當ξ<1，低阻尼，有振動——重點（1）低阻尼解的形式初始條件低阻尼體系的自振頻率與自振周期1）自振頻率2）自振周期（1）阻尼使結構自振頻率變小，自振周期變大；（2）現場實測考慮阻尼作用，因而得到的是有阻尼的自振頻率和自振周期；在理論計算時，往往給出的是無阻尼的自振頻率和自振周期。（3）工程結構阻尼比ζ在1%—5%之間，一般不超過20%，因此可以用有阻尼體系的結果代替無阻尼結果。方法一（基本原理）：任意兩個相鄰振動峰值的比值運動衰減及阻尼比測量阻尼比很小時，自由振動衰減較慢。為提高精度，采用相隔幾周的振動峰值比來計算結構阻尼比。設相隔n個周期（2）臨界阻尼-無振動（3）大阻尼-無振動算例:用自由振動法研究一單層框架結構的性質，用一鋼索給結構的屋面施加Fp=73kN的水平力，使框架結構產生Δst=5.0cm的水平位移，突然切斷鋼索，讓結構自由振動，經過2.0s，結構振動完成了4周循環，振幅變為2.5cm。從以上數據計算：①阻尼比ξ；②無阻尼自振周期T；③等效剛度k；④等效質量m。解：（1）阻尼比（3）等效剛度k（4）等效質量m（2）自振周期2、有阻尼（低阻尼）的強迫振動運動方程標準常微分方程運動方程解——杜哈曼積分公式瞬態響應穩態響應Fp(t)Fp0t0（1）突加荷載兩種動荷載作用下的杜哈曼積分ysty(t)0ωtπ2π3π4π5π通解特解運動方程：方程全解：（2）簡諧荷載——重點初始條件：利用特解條件和初始條件確定各系數瞬態響應穩態響應可得運動方程的全解為最大靜位移，是指把荷載幅值F當做靜荷載作用時，結構沿振動方向產生的靜位移有阻尼體系的穩態振動穩態振幅相位角動力系數有阻尼動力系數動力系數分析動力荷載作用下，阻尼體系動反應滯后動力荷載的時間通過相位角α來反映。如果時間滯后t0，則相位角

α=θt0相位角分析動荷載主要由恢復力來平衡同步（同相位）同步（同相位）動荷載主要由阻尼力來平衡滯后π/2同步動荷載主要由慣性力來平衡反相，滯后π算例分析重量G=35kN的發電機置于簡支梁的中點上，梁長4m，梁的慣性矩I=8.8×10-5m4,E=210GPa,發電機轉動時其離心力的垂直分力為Fpsinθt，且Fp=10kN，不計梁的自重。若阻尼比ξ=0.02，試求（1）發電機每分鐘的轉數為n=500r/min時，梁的最大彎矩和撓度。（2）共振時最大位移。解：1）求結構自振頻率及荷載頻率2）有阻尼的動力放大系數3）有阻尼的最大彎矩和最大撓度4）共振時最大撓度剛度法：基于體系平衡（瞬時平衡）條件，建立其微分方程。適用于剪切型剛架的運動方程。柔度法：基于體系位移協調條件，建立其微分方程。適用于梁和簡單剛架的運動方程。l/3l/3mEIl/3m§10.4多自由度體系的自由振動m1m2y2y1m1m2r2r1y1r2r1y21k12k221k11k21r1：使質點單獨產生位移y1所施加的力；r2：使質點單獨產生位移y2所施加的力。1、運動方程（一）剛度法——兩個自由度1k12k221k11k21k2k1k12:質點2產生單位位移時（質點1保持不動），在質點1上所需施加的力第二下標：引起力的原因第一下標：引起力的方向2、自由振動方程解及其分析構造解的兩個特點：1）振動中，兩個質點具有相同的頻率ω和相位角α，只是位移幅值不同；2）振動中，兩個質點位移在數值上隨時間變化，但二者的比值保持不變振型方程顯然，ω1和ω2與引起振動的原因無關，僅取決于體系的質量分布和剛度分布，是體系固有的，所以常稱他們為體系的固有圓頻率或特征圓頻率。頻率方程/特征方程3、振型（主振型，固有振型）顯然，振型也與引起振動的原因無關，僅取決于體系的質量分布和剛度分布，也是體系固有的，故又稱固有振型。k2k1P1=P2=04、算例計算ki層間側移剛度：層間產生單位相對側移時所需施加的力kij:質點j產生單位位移時（質點i保持不動），在質點i上所需施加的力層間側移剛度mEIlEIl對于帶剛性橫梁的剛架(剪切型剛架),當兩層之間發生相對單位水平位移時,兩層之間的所有柱子中的剪力之和稱作該層的層間側移剛度。mEIlFp(t)1EIllEIEIEI層間側移剛度EIEI1EIhlEIEIEIEIEI解：1）求固有頻率和固有振型m1m22）假設m1=m2=m，k1=k2=km1m23）假設m1=nm2,k1=nk2該算例表明，頂部質量和剛度突然變小，導致頂部位移反應過大。振動中這種引起巨大反響的現象，稱為鞭梢效應。女兒墻，小閣樓開裂破壞問題。（一）剛度法——多自由度體系m1mnmim1mnmim1mnyny1miyi1niy1yiynm1mnmi1、運動方程以矩陣形式表示剛度矩陣K為對稱方陣，質量矩陣M為對角矩陣2、運動方程的解及其分析將行列式展開，可得到一個關于頻率參數ω2的n次代數方程（n是體系自由度的次數），求該方程可得到n個根：ω12，ω22，…，ωn2，即可得出體系的n個自振頻率：ω1，ω2

，…，ωn

。把全部自振頻率由小到大排列而成的向量稱為頻率向量，其中最小的頻率稱為基本頻率或第一頻率，其他頻率依次稱為第二，…，第n頻率。主振型顯然，主振型向量Y與頻率ω有關。令Y(i)表示與頻率ωi

相應的主振型向量，Y(i)=[Y1i,Y2i,…,Yni]T,代入振型方程，可得令i=1,2，……，n，可得到n個向量方程，由此可求出n個主振型向量

Y(1)，Y(2)，…,Y(n)，對于每一個主振型向量Y(i)可由代數方程組直接求出，其中Y1i,Y2i,…,Yni為未知數。上述代數方程組為齊次方程，如果Y1i,Y2i,…,Yni為方程組的解，則CY1i,CY2i,…,CYni也是方程組的解。即主振型Y(i)的形狀可以唯一確定，但不能唯一的確定它的振幅。為了使主振型Y(i)的振幅有確定值，需要另外補充條件——標準化主振型。作法有：1）特定坐標的歸一化方法。

做法一：令振型向量中的第一元素為1。

做法二：令振型向量中的最大元素為1。

2）正交歸一化。Y(i)TMY(i)=11、運動方程（二）柔度法—兩個自由度體系m1m2y2y1m1m2y21y11m1m2y22y12m1m2y2y1m1m2δ21δ11m1m2δ22δ122、自由振動方程解代入得消元頻率方程/特征方程要使線性方程組有解，要求系數行列式=0振型方程頻率方程（特征值方程）展開并求解自振頻率振型3、柔度法算例l/3l/3mEIl/3m2l/912l/91解：先求柔度系數主振型mm11mm-11第一主振型第二主振型第一主振型為正對稱第二主振型為反對稱習題10-20l/2mEIm解：1）求柔度系數l/2l/2l/2超靜定結構，采用力矩分配法11/21/23l/16-3l/32-3l/3203l/32-3l/32013l/3213l/6413l/3213l/6413l/3213l/6413l/3213l/641l/41l/4（二）柔度法——多自由度體系m1mnynny1nmiyinm1mnyny1miyim1mnyn1y11miyi1m1mnyniy1imiyii1、運動方程整理為或簡寫為柔度矩陣δ為對稱方陣，質量矩陣M為對角矩陣2、運動方程的解及其分析行列式展開得到一個關于頻率參數1/ω2的n次代數方程，求該方程可得到n個自振頻率：ω1，ω2

，…，ωn

。非零解的條件主振型令Y(i)表示與頻率ωi

相應的主振型向量，Y(i)=[Y1i,Y2i,…,Yni]T，代入振型方程可得主振型向量令i=1，2，……，n，可得到n個向量方程，由此可求出n個主振型向量

Y(1)，Y(2)，…,Y(n)。一、主振型的正交性1、兩個自由度體系mmmm§10.5主振型正交性第一正交關系第二正交關系設ωl和ωk為兩個不同的自振頻率，相應的主振型向量分別為2、n個自由度體系二、主振型矩陣

n個多自由度體系n個自振頻率對應的振型（或主振型）向量Y(i)=[Y1i,Y2i,…,Yni]T（i=1,2,……,n）。將n個振型向量組成矩陣，則該矩陣稱為主振型矩陣。顯然，主振型矩陣為一個方陣，它的轉置矩陣為三、廣義剛度和廣義質量定義廣義質量矩陣廣義剛度矩陣四、正交性的應用1）利用正交關系來判斷主振型的形狀特點對剪切模型，振型特點為：一階振型不變符號，二階振型變一次符號，三階振型變二次符號。推而廣之，對應ωj的第j階振型向量的各元素有（j-1）次變號，即振型曲線有（j-1）個節點（原點除外！）。——課本三個自由度例題2）利用正交關系來確定位移展開公式中的系數在多自