現在是數學時間5.5.1第1課時兩角差的余弦公式課標要求1.能通過任意角的三角函數的定義及平面上兩點間的距離公式推導出兩角差的余弦公式.2.理解兩角差的余弦公式的結構形式,并能利用公式進行簡單的化簡、求值.知識回顧：利用誘導公式化簡觀察本組練習的結構特征：兩角差的余弦;

從化簡的結果發現：都與任意角α（β）的正弦或余弦有關.

思考：cos(α－β)的展開公式可能與哪些值有關?差角的余弦我們用到哪些知識探究cos(α－β)與sinα、cosα、sinβ、cosβ間的關系？問題1已知角α的終邊與單位圓的交點為P，請寫出點P的坐標.提示P(cosα，sinα).問題2觀察右圖，并閱讀教材P215以及右下角的注解部分，分組討論，你能得到哪些結論？提示A(1,0)，P(cos(α－β)，sin(α－β))，A1(cosβ，sinβ)，P1(cosα，sinα).連接AP，A1P1，根據圓的旋轉對稱性，容易發現AP＝A1P1.問題3你還記得初中所學兩點間的距離公式嗎？由此可得[cos(α－β)－1]2＋sin2(α－β)＝(cosα－cosβ)2＋(sinα－sinβ)2.扇形AOP繞著點o旋轉β角，由圓的旋轉對稱性得，知識點

兩角差的余弦公式公式:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.(1)簡記符號:C(α-β).

(2)適用條件:公式中的角α,β是任意角.公式中α,β∈R名師點睛1.公式可簡記為:余余正正、符號反.2.公式中的α,β都是任意角,既可以是一個角,也可以是幾個角的組合,公式右端展開式為角α,β的同名三角函數積的和,即差角余弦等于同名積之和.3.要注意公式的逆用和變形應用,如cos(α+β)cos

β+sin(α+β)sin

β=cos[(α+β)-β]=cos

α.過關自診1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)cos(60°-30°)=cos60°-cos30°.(

)(2)當α,β∈R時,cos(α-β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(

)(3)對于任意實數α,β,cos(α-β)=cosα-cosβ都不成立.(

)(4)cos30°cos120°+sin30°sin120°=0.(

)×××√2.你能利用兩角差的余弦公式推導cos(-α)=-sinα嗎?探究點一利用兩角差的余弦公式解決給角求值問題【例1】

求下列各式的值:規律方法

兩角差的余弦公式常見題型及解法(1)兩特殊角之差的余弦值,利用兩角差的余弦公式直接展開求解.(2)含有常數的式子,先將常數轉化為特殊角的三角函數值,再利用兩角差的余弦公式求解.(3)求非特殊角的三角函數值,把非特殊角轉化為兩個特殊角的差,然后利用兩角差的余弦公式求解.變式訓練1化簡下列各式:(1)cos(θ+21°)cos(θ-24°)+sin(θ+21°)sin(θ-24°);(2)-sin167°sin223°+sin257°sin313°;探究點二利用兩角差的余弦公式解決給值求值問題規律方法

給值求值的解題策略(1)已知某些角的三角函數值,求另外一些角的三角函數值,要注意觀察已知角與所求表達式中角的關系,適當地拆角與湊角.(2)由于和、差角與單角是相對的,因此解題過程中根據需要靈活地進行拆角或湊角的變換.常見角的變換有:變式訓練2探究點三利用兩角差的余弦公式解決給值求角問題變式探究本例中,若將條件“α,β均為銳角”改為“α,β∈

”,再求α-β的值.規律方法

解決三角函數給值求角問題的方法步驟(1)確定角的范圍,根據條件確定所求角的范圍;(2)求所求角的某種三角函數值,為防止增解最好選取在上述范圍內單調的三角函數;(3)結合三角函數值及角的范圍求角.本節要點歸納1.知識清單:(1)兩角差的余弦公式的推導.(2)給角求值,給值求值,給值求角.2.方法歸納:整體法、構造法.3.常見誤區:(1)求角時忽視角的范圍;(2)公式的逆用及符號問題.學以致用?隨堂檢測全達標1.cos(-75°)的值為(

)答案

C

解析

cos(-75°)=cos(-30°-45°)=cos(-30°)cos

45°