序自動控制——在沒有人直接參與的情況下，利用附加的設備或裝置，使機器、設備或生產過程的某個工作狀態或參數自動的按照預定的規律運行。自動控制技術廣泛應用于國民經濟的各個部門。例如：數控車床按照規定程序自動地切削工件；化學反應爐自動地維持溫度或壓力的恒定；導彈發射和制導系統自動地把導彈引向敵方目標；人造地球衛星準確地進入預定軌道并回收……

不僅如此，自動控制技術的應用范圍已擴展到生物、醫學、經濟管理和其它許多社會領域。已成為現代生活領域中不可缺少的重要組成部分。自動控制原理——研究自動控制共同規律的一門技術科學。自動控制原理是對自動控制系統進行分析和設計的基礎，也是自動化及相關專業共同的技術基礎課，其重要性是顯而易見的。自動控制原理的發展階段：階段形成時期理論基礎分析方法研究對象研究重點數學工具Ⅰ30-50年代經典控制論時域、復域(1948)、頻域(1932)SISO(Single-input,Single-output)反饋控制系統微分方程、拉氏變換、復變函數等Ⅱ60-70年代現代控制論狀態空間時域MIMO(Multiple-inputMultiple-output)最優控制自適應控制等矩陣理論(線性代數)Ⅲ70年代至今大系統理論智能控制時域\復域\頻域法，模糊集法多因素多層次復雜對象大系統復雜系統智能控制(1)自動控制原理，李友善，國防工業出版社(2)自動控制原理學習指導與題解指南，張蘇英等，國防工業出版社(3)自動控制原理習題集，胡壽松等，國防工業出版社(4)自動控制原理考研試題分析與解答技巧，張蘇英等，北京航空航天大學出版社(5)Matlab應用基礎主要參考書建議與要求：數學基礎：高等數學、線性代數-拉氏變換、復變函數等。學習方法：聽課為主，討論與自學為輔。要求：①掌握控制系統分析的基本方法和設計思想（穩定性分析、系統分析及系統校正的方法）②按學校要求聽課；遵守課堂紀律；③按時交作業?！?.1自動控制的基本原理與方式1.常用術語電動機——電機，是自動控制系統中的常用部件。電動機D電壓U轉速n,ω負載ML定性的講，當負載ML一定時，電壓U增大轉速n提高；當電壓U一定時，負載ML增大轉速n減小。想一想：當負載變化時，要想保持轉速恒定，應該怎么辦？下面看一龍門刨自動調速系統。該系統的控制目的是：當負載變化時，維持轉速n不變。第一章自動控制的一般概念2.反饋控制系統的一般構成（P5）被控對象輸出量擾動量執行元件放大元件輸入量_反饋量偏差測量元件串聯校正_反饋校正3.基本控制方式有三種閉環控制系統（反饋控制系統）

開環控制系統

復合控制系統（1）閉環控制系統（反饋控制系統）1）結構特征：信息循環往復傳遞，按偏差進行控制；2）系統特點：①按偏差控制，（因此必須有輸出量的測量裝置）；②抗干擾性好，控制精度高；③系統較復雜，有穩定性問題。（2）開環控制系統1）結構特征：信息單向傳遞，沒有形成閉合回路2）系統特點：①控制系統結構簡單，成本低廉；②控制精度差，抗干擾能力差；3）使用場合：多用于系統結構參數穩定和擾動信號較弱的場合。如：自動售貨機、自動報警器、自動化流水線、全自動洗衣機等。（3）復合控制系統——是前饋（順饋）和反饋相結合的控制方式前饋——從本質上講，屬于開環控制。因此，復合控制系統中既有閉環控制，又有開環控制。在自動控制系統中，前饋通常有兩種方式：按擾動補償與按給定補償。例如，P7上的電動機轉速復合控制系統（按擾動補償）。電動機輸出量擾動量輸入量_反饋量偏差測速發電機電壓放大功率放大電阻R電壓放大按擾動補償的前饋控制方式僅適用于干擾可測量的場合。顯然，復合控制系統具有前饋和反饋控制的優點。§1.2控制系統的分類按控制方式：開環控制、閉環控制、復合控制按元件類型：機械、電氣、機電、液壓、氣動、生物……按系統功用：速度控制系統、壓力控制系統、溫度控制系統、位置控制系統…按參據量的變化規律：恒值控制系統、隨動控制系統、程序控制系統。按系統性能：線性系統非線性系統——系統中所有元件的特性都是線性的。定常（時不變）系統時變系統——系統的結構和參數不隨時間變化。連續系統離散系統——系統中各部分信號隨著時間連續變化。確定性系統不確定性系統——本課程只涉及確定性系統。為了全面反映系統特點，通常將上述分類組合應用。例如：（1）線性定常連續系統：其中：c(t)——系統輸出；r(t)——系統輸入特點：各變量及其導數以一次冪形式出現，且無交叉相乘；各系數ai(i=0→n),bi(i=0→m)都是常數。系統中各信號隨著時間連續變化——線性——定?！B續本教材ch1—ch6討論這類系統。（2）線性時變連續系統：——上式中某些系數隨著時間的變化而變化本教材沒涉及。（3）非線性系統：本教材ch8討論這類系統。（4）離散系統：用差分方程表示。本教材ch7討論這類系統?！?.3對自動控制系統的基本要求基本要求：在某種典型輸入信號作用下，系統輸出參數能穩定、快速、準確的跟蹤輸入。簡稱：穩、準、快穩——穩定性絕對穩定性相對穩定性（簡稱穩定性）（反映平穩性

——表征系統動態過程的平穩程度）

穩定是保證系統正常工作的先決條件，顯然，不穩定的系統是無法實現預定的控制任務的準——準確性（表征系統的穩態精度）快——快速性（表征系統的動態過程響應速度）閱讀：P7-10自動控制系統示例作業：思考與練習：p17：1-10觀察你周圍，哪些是開環控制系統？閉環控制系統？復合控制系統？14第二章控制系統的數學模型（ControlSystemModeling）數學模型——（models）描述系統內部各變量之間關系的數學表達式靜態模型——在靜態（即變量的各階導數為零）條件下，描寫變量之間關系的代數方程。數學模型是分析、設計控制系統的基礎。（辨識法）建立數學模型的方法主要有分析法實驗法（解析法）動態模型——描寫變量各階導數之間關系的微分方程（或其它模型形式）。本章主要內容有：傳遞函數與微分方程用分析法建立系統數學模型的一般方法閉環系統傳遞函數的求取15§2.1傳遞函數與微分方程一、預備知識1.Laplace變換2.線性系統重要特性——例如：若：當x=x1時，其解為y1；當x=x2時，其解為y2則①當x=x1+x2時，其解為y=y1+y2。②當x=Ax1時，其解為y=Ay1，其中A為常數。

疊加原理

疊加原理說明了，兩個外作用同時加于系統所產生的總輸出，等于各個外作用單獨作用時分別產生的輸出之和，且當外作用的數值增大若干倍時，其輸出亦增大相應的倍數。傳遞函數——復域模型微分方程——時域模型163.線性定常微分方程求解經典法拉氏變換法計算機求解例：已知某系統的微分方程：解：設：Ui(s)=L[ui(t)]，Uo(s)=L[uo(t)]

由拉氏變換的微分定理，得：uo(0)=0.1初始條件：輸入信號：ui(t)=1(t)連同初始條件一起代入原微分方程，得：17由輸入引起的輸出由初始條件引起的輸出L-1整理得：用拉氏變換法求解微分方程的步驟可歸納為:微分方程拉氏變換輸出的象函數拉氏反變換輸出的時域函數(微分方程的解)18二、傳遞函數的定義對于線性定常系統，在零初始條件下，輸出的L變換與輸入的L變換之比.n

階線性定常系統：幾個概念：傳遞函數的零點：滿足N(s)=0的點傳遞函數的極點：滿足D(s)=0的點特征方程：D(s)=0（當傳函為閉環傳函時）——傳函分子=0的根——傳函分母=0的根①②當t=0-時，輸出量、輸入量及其各階導數項均為零。19G(s)R(s)C(s)③傳遞函數與微分方程有相通性，是一一對應的，非常容易轉換。②傳遞函數是系統輸入輸出關系的表達式，它只取決于系統的結構參數，而與系統的輸入信號的形式無關，當然也與初始條件無關。④傳遞函數的反拉氏變換是系統的單位脈沖響應。三、傳遞函數的性質①傳遞函數是復變量s的有理真分式函數，即m≤n，且所有系數為實數；⑤傳遞函數只是對系統的數學描述，并不反映系統的物理構成。可用下列方框表示其輸入輸出間的關系：熟記對應關系20§2.2分析法建立系統數學模型的一般方法(2)列寫方程：RCUiUo例2.1建立一階RC網絡數學模型(3)消除中間變量，整理為標準形式：RCUiUo解：(1)確定輸入輸出變量:輸入量：電壓uI；輸出量：電壓uo。相應的傳遞函數為：一、環節數學模型的建立對于此類電網絡，可直接用電路上所學的運算法得到其傳遞函數。21歸納分析法建立環節數學模型的一般步驟：（1）確定輸入輸出變量；（2）根據相應的物理定律列寫方程；（3）消除中間變量；（4）增量化、線性化處理。（5）寫成標準形式：對于微分方程：輸出寫在等號的左邊，輸入（及擾動）寫在等號的右邊，并且按降階排列。對于傳遞函數：分子分母都按s降冪次排列。當分子分母都是s的多項式時，或：分子分母都寫為因式連乘的形式。說明：對于電路網絡，如例2.1，可以用《電路》課上所學的運算法可直接得到傳遞函數。再看一例：22例RuouiLC

解：——二階線性常系數微分方程

RLC網絡。(P34)設系統輸入為ui(t)，輸出為uo(t)。試建立該網絡的數學模型?；颍憾咄耆恢赂鶕娐吩?，可列得如下方程i23例

彈簧-質量-阻尼機器機械位移系統。(P35)

由牛頓運動定律有：彈簧的彈力=Kx(t)阻尼器的阻尼力=fdx(t)/dt其中：K為彈簧的彈性系數；f為阻尼器的阻尼系數。試列寫質量m在外力F(t)作用下，位移x(t)的運動方程。解：設質量m相對于初始狀態的位移為：x(t)則速度、加速度分別，dx(t)/dt，d2x/dt2mF(t)x(t)fK與RLC網絡比較思考與理解:傳遞函數只是對系統的數學描述，并不反映系統的物理構成。24例:有源網絡uo－＋R1R1R2ui。。。傳函為：傳函為：uo

-K1uiR2R1⑴。。⑵

-K1uiR2uoR1·c。。⑶

-K1R2uoR1R1u1u2。。。

當求取對其中某一個外作用信號的傳函時，認為其余外作用信號為零。當有多個外作用信號時，傳函要分別求取。思考：這種情況下，系統的總輸出如何？25二、控制系統的數學模型+u2

-K2R1CR功率放大K3ua負載ωmωSM例

某速度控制系統如下圖所示，建立其數學模型。解：被控對象：電動機（帶負載）

輸入量：ui

輸出量：轉速ω

擾動量：負載轉矩Mc′（折算到電動機軸上的等效值）

-K1uiR1R1R2u1-utTG-ut26運算放大器Ⅰ：運算放大器Ⅱ:

功率放大器：直流電動機：齒輪系：

測速發電機：+u2

-K2R1CR功率放大K3ua負載ωmωSM

-K1uiR1R1R2u1-ut-ut測速反饋消去中間變量可得系統微分方程：思考：傳遞函數？27列寫系統各環節數學模型時應要注意的問題：(1)信號傳遞的單向性，前一個元件的輸出是后一個元件的輸入。(2)前后連接的兩個元件中，后級對前級的負載效應問題。例如：R1C1R2C2R1C1R2C2串聯二者傳函不同歸納系統數學模型的建立的一般步驟(1)確定系統輸入、輸出變量；(2)根據各環節相應的物理定律建立各環節的數學模型；(3)消除中間變量，寫出系統外作用量與輸出量之間的微分方程?；蛳犬嫵鱿到y結構圖再求出傳遞函數（當然也就得到了微分方程）。28三、非線性微分方程的線性化非線性環節是廣泛存在的。處理方法:忽略——視為線性元件微偏法——小偏差線性化法非線性系統理論——描述函數法、相平面法、逆系統方法等——本章討論微偏法的實質是：在小范圍內，用切線代替曲線，從而達到線性化的目的。具體做法是：在工作點附近進行泰勒級數展開，忽略高次項。y0x0y(t)x(t)(x0,y0)x(t)——非線性環節的輸入信號y(t)——非線性環節的輸出信號29在工作點（x0，y0）展開為泰勒級數：設：非線性方程為：y=f（x）

設：有：即：——增量線性化方程注意：⑴線性化方程的參數與工作點（平衡狀態）有關。⑵應用微偏法，工作范圍不能過大，否則誤差大。到底多大合適，與非線性曲線形狀有關。⑶二元函數的線性化方法與此相似，請課后閱讀教材上的相關內容。30§2.3控制系統的結構圖及其化簡

（Blockdiagrams）

一、結構圖的組成U(s),u(t)引出點（分支點）：引出點表示信號引出或分支。在同一位置引出的信號在數值和性質方面完全相同。這一點與電路圖是不同的。比較點（綜合點）：兩個以上的信號進行加減運算。輸出信號等于所有輸入信號的代數和。U(s),u(t)U(s),u(t)U(s),u(t)方框（環節）：把傳遞函數寫到方框的里面。方框的輸出等于方框的輸入與傳遞函數的乘積，可視為單向運算的算子。信號線：帶箭頭的直線，箭頭表示信號的流向。U(s),u(t)±R(s),r(t)R(s)±U(s)r(t)±u(t)G(s)R(s),r(t)C(s),c(t)結構圖的組成結構圖的繪制結構圖的等效變換和化簡結構圖又稱方框圖或方塊圖31二、結構圖的繪制

繪制結構圖的一般方法：（1）考慮負載效應，分別列寫系統中各元部件的時域方程或復域方程；代數方程的時域形式和復域形式相同，微分方程則必須寫成復域形式。（2）根據信號流向，從前向后(或從后向前)用信號線依次將各方框連接。兩個例題32U2K3′－KmKcMc′ΩmΩ(s)Kt與時域形式相同Ui(s)Ut(s)U1－K1例前已求出33雙T濾波電路，試繪制該系統結構圖。RRC1C2UoUiii2i1解：根據電路原理課列出系統復域方程為：1/sC2UoI21/RI1/RI1-I21/sC1Uc1-UR2Uo-UR1UiUc1例2.634注意：①雖然系統結構是從系統元部件的數學模型得到的，但結構圖中的方塊與實際的元部件并非一一對應（上例中的電動機）。②方框圖的表示不是唯一的。三、結構圖的等效變換和化簡1、結構圖的三種基本運算：——串聯、并聯、反饋（1）方框的串聯（combiningserialblocks）及運算G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)U(s)=G1(s)R(s)C(s)=G2(s)U(s)C(s)=G2(s)G1(s)R(s)G(s)=G(s)R(s)G1(s)G2(s)結論：方框串聯連接總傳遞函數等于各個方框傳遞函數的乘積。

R(s)C(s)?思考：多個環節串聯？35（2）方框的并聯（combiningparallelblocks）及運算G1(s)+G2(s)U1(s)=G1(s)R(s)U2(s)=G2(s)R(s)C(s)=U1(s)+U2(s)=(G1(s)+G2(s))R(s)=G(s)R(s)結論：并聯的總傳遞函數等于各個方框傳遞函數的代數和。R(s)C(s)?G1(s)G2(s)R(s)C(s)U1U2++思考：多個環節并聯？36（3）反饋（feedback）連接方框的運算“+”表示正反饋；“-”表示負反饋。反饋通路傳函H(s)=1稱為單位反饋前向通道傳函R(s)C(s)？C(s)=G(s)E(s)B(s)=H(s)C(s)記為閉環傳函=前向通路傳函1±開環傳函G(s)H(s)C(s)R(s)E(s)B(s)-+C(s)=G(s)[R(s)H(s)C(s)]-+E(s)=R(s)B(s)-+式中：“+”表示負反饋；“-”表示正反饋。我們稱：為閉環傳遞函數為閉環系統的開環傳遞函數G(s)H(s)相應的概念：閉環零、極點；開環零、極點；……37說明：（1）在很多情況下，傳函為分式，設前向通道傳函G(s)=反饋通道傳函H(s)=式中：“+”表示負反饋；“-”表示正反饋。即：一個很實用的結論。（2）定義：Φ(s)的分母=0為系統特征方程。特征方程的根稱為系統的特征根。38總結對照這三種基本運算：串聯：G1(s)G2(s)R(s)C(s)U(s)G1(s)G2(s)R(s)C(s)并聯：G1(s)G2(s)R(s)C(s)U1U2++G1(s)+G2(s)R(s)C(s)反饋：G(s)H(s)C(s)R(s)E(s)B(s)±R(s)C(s)G

(s)1G(s)H(s)－＋可以發現：他們的共同特點是消除了中間變量，使結構圖簡化。

方框圖變換就是要通過移動引出點、求和點等，使結構圖中出現串聯、并聯或反饋，以便化簡結構圖。2、結構圖變換39常用的幾種結構圖變換（1）引出點前移：G

(s)R(s)C(s)C(s)G

(s)R(s)C(s)C(s)G

(s)●（2）引出點后移：G

(s)R(s)C(s)R(s)●G

(s)R(s)C(s)R(s)1/G

(s)（3）比較點前移：G

(s)R(s)C(s)Q(s)±±G

(s)1/G

(s)R(s)C(s)Q(s)40(5)比較點易位及合并R1(s)C(s)R2(s)±R3(s)±E(s)R1(s)C(s)R2(s)±R3(s)±R1(s)C(s)R2(s)±R3(s)±(6)交換比較點或引出點（極少采用）R1(s)C(s)R2(s)C(s)---R1(s)R2(s)R2(s)C(s)C(s)（4）比較點后移：±G

(s)G

(s)R(s)C(s)Q(s)G

(s)R(s)C(s)Q(s)±41應該說，結構圖的變換是手段；結構圖的化簡才是目的。變換與化簡的基本原則是：等效原則。

在結構圖變換與化簡過程中，我們只能減少（或增加）一些中間變量，但各變量之間的數學關系不能改變。3、結構圖變換與化簡看兩個例題42P63例2-21

已知系統結構圖如下圖所示，求C(s)/R(s)G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H3(s)H1(s)H2(s)－－－R(s)C(s)解：分析如何解除回路之間的交叉？●G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H3(s)H1(s)H2(s)－－－R(s)C(s)G4(s)43G1(s)G2(s)G4(s)H1(s)H2(s)－－R(s)C(s)G1(s)G4(s)H1(s)－R(s)C(s)44G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H3(s)H1(s)H2(s)－－－R(s)C(s)仔細觀察發現什么規律？想一想：有沒有其它的變換方法？對照比較：45§2.4信號流圖與Mason公式一、信號流圖——表示信號之間相互關系的又一種圖示方法。信號流圖有兩種符號——節點和支路。支路——兩節點之間的定向線段，相當于乘法器節點——以小圓圈表示，用來表示信號，同時兼做求和號例如：○○○○x1x2x3x42－51○x5混合節點所代表的信號是所有指向它的信號的代數和。x5=x4又有輸入支路，又有輸出支路的節點為混合節點；稱：只有輸出支路的節點為源節點(sourcenodes)，又稱輸入節點；只有輸入支路的節點為阱點(sinknodes)

，又稱輸出節點；顯然，46二、信號流圖的繪制信號流圖可由系統復域方程繪制，也可由系統結構圖繪制而成。例

網絡如圖。試繪制系統的信號流圖。C2R1R2uiuoC1ii1i2解：列出系統方程為共8個變量UR1UiUC1II21/R111/C1s-1UR2I1Uo1/R21/C2s-1-111U0說明：本例直接寫出的是復域模型，如果不便，也可以先寫微分方程，再取拉氏變換，得到復域模型。47例2-24已知系統框圖，試繪制其信號流圖。(P69)解：先選取節點輸入量R輸出量C引出點通常還包括求和號的輸出（例13)ee1e2共5個變量Ree1e2C1-HG11G2G3G4G1G4G2G3RH_C﹢﹢——非唯一的48三、梅森增益公式（Masongainrule）

梅森增益公式：P——系統總傳遞函數；n——前向通路總條數；pk——第k條前向通路總增益；Δ——特征式單獨回路增益每兩個互不接觸回路增益乘積每三個互不接觸回路增益乘積Δk—特征式的余子式。即特征式中去掉與第k條前向通路相接觸的回路增益項（包括回路增益的乘積項）后的余式。這里：49例：利用梅森增益公式求總增益。X4X1X2X3abc-def-g解：系統有3條回路：L1與L2為互不接觸回路：系統有2條前向通路:于是總增益X4/X1為：50P71例2-25：已知系統結構圖如下圖，用Mason公式求C(s)/R(s)——P63例2-21G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H3(s)H1(s)H2(s)－－－R(s)C(s)解：回路有：L1=-G1G2G3G4H1L2=

-

G2G3H2L3=-

G3G4H3無不接觸回路前向通路有：P1=G1G2G3G4△1=1于是總傳函：51G1(s)G2(s)G3(s)G4(s)H3(s)H1(s)H2(s)－－－R(s)C(s)○R○○○○○C﹣H1G1-H2G2﹣H3G3G4○1C52§2.5典型反饋控制系統傳遞函數的幾個基本概念(P73)REG1G2N-HECC系統外作用：典型的反饋控制系統如下圖R(s)——系統輸入N(s)——擾動信號系統輸出：C(s)系統誤差：E(s)G1G2HREB_CN＋531.輸入R(s)作用下的閉環傳遞函數2.擾動N(s)作用下的閉環傳遞函數

令R(s)=03.兩輸入同時作用下，系統總輸出當時，有：

令N(s)=0G1G2HREB_CN＋544.誤差傳遞函數是指以誤差E(s)作為輸出量的傳遞函數G1G2HREB_CN＋G1G2HREB_G1＋NG2HB－1E可由Mason公式得到55歸納：輸入R(s)作用下的閉環傳遞函數:擾動N(s)作用下的閉環傳遞函數

:兩輸入同時作用下，系統總輸出:誤差傳遞函數：56代入消元，得到微分方程或傳遞函數本章小結：實際系統分析法方程組繪出結構圖結構圖變換與化簡Mason公式繪出信號流圖Mason公式控制系統傳遞函數獲得途徑：由系統各元部件運動方程由結構圖由信號流圖第三章線性系統的時域分析法

數學模型建立以后，可用多種方法分析系統的性能指標。時域分析法是在典型輸入作用下，直接在時間域分析系統性能的方法。其特點是：直觀、準確；并且可以提供系統時間響應的全部信息。本章主要內容包括：1.典型輸入信號及控制系統性能指標2.一階系統的時域分析3.二階系統時域分析4.高階系統時域分析5.線性系統穩定性6.穩態誤差計算§3-1系統的時域性能指標數學模型典型輸入作用下求解微分方程時域響應性能指標3-1-1典型輸入信號

信號名稱時域表達式復域表達式函數曲線單位階躍函數r(t)=l(t),t≥0R(s)=1/s單位斜坡函數r(t)=t,t≥0R(s)=1/s2tr(t)單位加速度函數r(t)=1/2t2t≥0R(s)=1/s3tr(t)單位脈沖函數r(t)=δ(t),t=0R(s)=1tr(t)tr(t)正弦函數r(t)=AsinωtR(s)=Aω/(s2+ω2)tr(t)3-1-2動態過程和穩態過程

1.動態過程

(過渡過程或瞬態過程)——在典型輸入信號作用下，系統輸出量從初始狀態到最終狀態的響應過程。當r(t)=1(t)時，系統響應可能為：穩定系統不穩定系統不穩定系統2.穩態過程(穩態響應)——在典型輸入作用下，當t→∞時的系統輸出。它表征系統輸出最終復現輸入量的程度，用穩態性能指標描述。3-1-3性能指標的定義1動態指標：在階躍輸入作用下，測定或計算系統的動態性能。th(t)h(∞)th(t)h(∞)⑴上升時間tr：振蕩——第一次上升到終值所需時間；非振蕩——從終值的10%上升到終值的90%所需的時間；tr0.1h(∞)0.9h(∞)tr⑵延遲時間td：第一次達到其終值一半所需的時間；0.5h(∞)td⑶峰值時間tp：超過其終值后，到達第一個峰值所需的時間；tphmax⑷調節時間ts：到達并保持在[終值±5%終值](或±2%)內所需的最短時間。ts誤差帶±2%或±5%ts誤差帶±2%或±5%若h(tp)<h(∞),則響應無超調。實際中，常用tr,ts和σ%。tr(tp)——評價系統起始段的響應速度；σ%——評價系統的阻尼程度；ts——評價系統整個過渡過程的響應速度，是速度和阻尼程度的綜合指標。⑸超調量σ%：2.穩態指標：描述系統穩態性能的一種性能指標通常在典型輸入作用下進行測定或計算。單位階躍輸入下的穩態誤差也稱為余差。th(t)h(∞)tr0.5h(∞)tdtphmaxts誤差帶±2%或±5%顯然，h(tp)=hmax注意：性能指標是就穩定系統而言的?！?-2一階系統的時域分析可以用一階微分方程描述的控制系統3-2-1一階系統數學描述例如，RC電路RCr(t)c(t)其微分方程為：其中：T=RC為時間常數其傳遞函數為:——慣性環節典型一階系統：傳遞函數相應于單位反饋系統的結構圖為：R(s)C(s)-等效開環傳遞函數為：3-2-2一階系統單位階躍響應

R(s)C(s)-系統輸出：系統輸入：拉氏反變換，得：tc(t)10.632T63.2%2T86.5%3T95.0%4T98.2%5T99.3%階躍響應的特點：3）c(t)的終值為1，即系統在階躍輸入作用下，穩態誤差為零。2）動態性能與時間常數T有關，其指標為：1）在t=0時的斜率最大，為：ts=4T(2﹪誤差帶)3-2-3一階系統的單位脈沖響應

系統輸入：L反變換，得：系統輸出：R(s)＝1脈沖響應記作g(t)，即：tc(t)1/T0.368/TT脈沖響應的特點：1）響應曲線的斜率為：

在

t=0時最大：2）c(t)的終值為0，即系統在脈沖輸入作用下，穩態誤差為零。動態響應過程由T決定0.368=e-1拉氏反變換，得：誤差：一階系統跟蹤單位斜坡信號的穩態誤差為：②可減少系統跟蹤斜坡信號的穩態誤差。3-2-4一階系統的單位斜坡響應

系統輸入：系統輸出：結論：tc(t)r(t)ess減少時間常數T①可以加快瞬態響應的速度3-2-5一階系統的單位加速度響應

跟蹤誤差隨時間推移而增大，直至無限大。因此，一階系統不能跟蹤加速度輸入。系統輸入：系統輸出：拉氏反變換，得：誤差：1.

典型輸入信號的響應2.等價關系:3-2-6一階系統時域分析小結

系統對輸入信號導數的響應，就等于系統對該輸入信號響應的導數；系統對輸入信號積分的響應，就等于系統對該輸入信號響應的積分；注意：積分常數由零初始條件確定。該結論可推廣至高階系統。3.動態特性:T↑→響應速度↓，即響應時間↑，反之亦然4.跟蹤能力:階躍輸入：無穩態誤差，即能夠跟蹤階躍信號，跟蹤速度取決于T；斜坡輸入：有位置誤差，且穩態誤差等于時間常數T；加速度輸入：穩態誤差無窮大，即一階系統不能跟蹤加速度信號。由時間常數T決定。t1(t)1輸出響應輸入信號圖中4條一階系統階躍響應曲線，時間常數分別為0.5，1，2，5，圖示兩系統有何異同？R(s)C(s)-R(s)C(s)-思考題1思考題2請標在對應的曲線上。§3-3二階系統的時域分析1.標準二階系統微分方程2.標準二階系統傳遞函數——自然頻率（無阻尼自然振蕩頻率）

——阻尼比（相對阻尼系數）

3.標準二階系統結構圖（單位反饋）R(s)C(s)_開環傳遞函數：3-3-1二階系統的數學描述可用二階系統微分方程描述的控制系統4.非標準二階系統的標準化例如，某單位反饋系統的開環傳函為：對照標準二階的開環傳函：有：5.

標準二階系統的特征方程和特征根特征方程：特征根：顯然，的取值決定特征根在s平面的位置：特征根：實部為負S平面ReIm一對共扼復根兩個相等的實根×﹢兩個不相等的實根××實部為零，即純虛根，即：s1,2=±jωn××實部為正一對共扼復根××××兩個相等的實根×﹢兩個不相等的實根××稱：——欠阻尼——臨界阻尼——過阻尼——無阻尼瞬態分量穩態分量二階系統單位階躍響應1.欠阻尼二階系統的單位階躍響應

拉氏反變換，得：欠阻尼：單位階躍作用下，其輸出：其中：1tC(t)1包絡線ReIm××s1-σωdωnβcosβ=ζ其中：——衰減系數——阻尼振蕩頻率

穩態值為1的衰減振蕩過程3-3-2其中：ωn——無阻尼振蕩頻率自然振蕩頻率過渡過程為等幅振蕩過程。此時：s1,2=±jωn無阻尼單位階躍作用下，其輸出：拉氏反變換，得：tC(t)1進一步考慮：

2.臨界阻尼二階系統的單位階躍響應

——穩態值為1的無超調的單調上升過程3.過阻尼二階系統的單位階躍響應

臨界阻尼即：s1=s2=-ωn過阻尼即：其中：——兩個不相等的實根顯然，T1>T2,s1比s2更靠近虛軸?！€態值為1的無超調的單調上升過程標準二階系統的單位階躍響應曲線（P109）ζ=0ζ=0.1ζ=0.2ζ=1ζ=2標準二階系統的動態過程分析及計算1.欠阻尼：

(1)（上升時間）

求得

響應速度越快

一定，即一定，ReIm×s1-σωdωnβcosβ=ζtrtC(t)13-3-3注意：式中β以“弧度”記。(2))(峰值時間pttC(t)1cosβsinβtp根據峰值時間定義，應?。阂欢〞r，

（閉環極點離負實軸的距離越遠）

思考：二階系統的初始斜率——二階系統的初始斜率為零。(3)（超調量）tC(t)1-sinβ=-進一步整理得：時，時，時，%3.16%=s時，時，%=s4.3%%=s時，1.5%工程常用說明：(4)(調節時間)令為實際響應與穩態輸出之間的誤差，則有：

tC(t)1包絡線±5%可近似得到：在分析時，常?。涸诜治鰰r，常?。海?）ts與閉環極點（特征根）到虛軸的距離成反比。離虛軸越遠，ts越小。說明：（2）ts的計算公式是近似公式，從定義上看，ts與ζ的關系曲線是不連續的。標準二階系統欠阻尼過程性能指標公式匯總：

上升時間:峰值時間:延遲時間:超調量：調節時間:（5%的誤差帶）（2%的誤差帶）σ%只與ζ有關，ζ越大，超調量越小系統快速性越好一定時，

nw越大，——式中超調量σ用小數表示。例3.1

系統如圖所示，要求超調量σ%=20%，峰值時間tp=1s，試確定參數K及τ，并計算單位階躍響應的ts及tr。(P113)R(s)C(s)_解：由由由結構圖，得：有：另外，調節時間

當

3）調節時間

2過阻尼

1）上升時間2）延遲時間

3臨界阻尼

這里T1>T2二階系統的單位斜坡響應

系統對斜坡輸入的響應等于該系統對階躍輸入響應的積分：欠阻尼過程：瞬態分量穩態分量臨界阻尼過程：過阻尼過程：3-3-4對于單位反饋系統，誤差響應為：

e(t)=r(t)-c(t)當時間t趨于無窮時，誤差響應e(t)

的穩態值稱為穩態誤差。實際中，ζ不宜太小，所以要減小ess，就要有足夠大的ωn思考：對于單位階躍響應，穩態誤差？對于單位斜坡響應，其穩態誤差為：分子分母同除Td二階系統性能改善1比例-微分控制（PD控制）R(s)_C(s)其中：Kd=1帶有實零點的標準二階傳函微分作用的引入ωn不變（在Kd不變的情況下）ζ→——提高了阻尼比，對σ%↓有利若Kd↑→ωn

↑微分對系統性能的影響較為復雜，要具體分析，指標計算公式見P107,108注意：輸入端噪聲較強時，不宜使用增加了一個閉環實零點——通常會使σ%上升R(s)C(s)_KdTds3-3-52測速反饋控制R(s)C(s)_Kts_G(s)對照標準二階的開環傳函：測速反饋控制不變→ζ——提高了阻尼比σ%↓形式完全相同課后閱讀：P110例3-5——性能比較3PD控制與測速反饋控制比較RC_Kts_PD控制測速反饋控制1）附加阻尼的來源：PD：誤差微分測速：輸出微分2）使用環境：輸入端噪聲較大時，應采用測速反饋控制。3）對開環增益K的影響：PD：開環增益K與比例微分中的Kd成正比測速：等效開環增益減小，會使斜坡作用下的ess提高。4）對自然振蕩頻率的影響：PD：Kd↑→ωn

↑測速：ωn

不變非零初始條件對系統響應有什么影響？思考：——影響初始相角和幅值，但不影響解的振型（運動形態）。RC_TdsKd本節小結：二階系統分析數學描述標準二階系統微分方程標準二階系統傳遞函數標準二階系統結構圖非標準二階系統的標準化標準二階系統的特征方程和特征根單位階躍響應：欠阻尼、臨界阻尼、過阻尼性能分析及計算：欠阻尼（tr,tp,ts,σ%）臨界阻尼（ts）過阻尼（ts）單位斜坡響應：——是單位階躍響應的積分二階系統性能改善PD控制測速反饋控制3-4高階系統的時域分析

高階系統閉環傳遞函數的一般形式為：其中：-zi

—i=1,2,…,m

閉環實數零點-pj

—j=1,2,…,q

閉環實數極點Ζk和ωnk

—k=1,2,…,r

決定閉環r對共軛復數極點q+2r=n3-4-1高階系統數學描述描述振蕩過渡過程描述非振蕩過渡過程1）高階系統時域響應可以看成一階、二階系統的響應的疊加2）特征根實部為正，相應分量的過渡過程為發散的（不穩定的）3）特征根實部為負，相應分量的過渡過程為收斂的（穩定的）4）衰減或發散的速度取決于根的實部的值。

3-4-2動態過程分析當已知高階系統的各個閉環極點后，可以將其化為部分分式和的形式：設某三階系統單位階躍作用下的輸出為：結論：實部為負的極點，越靠近虛軸，衰減速度越慢，對過渡過程的影響越大；越遠離虛軸，衰減速度越快，對過渡過程的影響越小。s2s3s1s2s3s1閉環極點位置對系統的影響靠近虛軸，且附近沒有閉環零點，而其它閉環極點與虛軸的距離都比該極點與虛軸距離大5倍以上的閉環極點稱為高階系統的閉環主導極點。其中：對上式進行反L變換：上式考慮了閉環零點及非主導極點對過程的影響，與欠阻尼二階系統不完全一樣。3-4-3閉環主導極點定義：工程上往往要求高階系統有一對共軛復數的主導極點。應用主導極點的概念，可得高階系統單位階躍響應的近似表達式：設這對共軛復數主導極點為：±jωdS=0(通常K0=1);K1和K2可用待定系數法求得注意：§3-5線性系統的穩定性分析

如果在擾動消失后，系統仍能自動恢復到原平衡狀態，稱系統是穩定的。穩定是控制系統能夠正常運行的首要條件。對系統進行各類品質指標的分析也必須在系統穩定的前提下進行。系統穩定limt→∞暫態分量=03-5-1線性定常系統穩定的充要條件回憶：標準一階：Tteth--=1)(標準二階：欠阻尼:臨界阻尼:過阻尼:高階呢？系統穩定的充要條件：系統的全部特征根都具有負實部系統的全部特征根都位于[s]的左半平面當特征根位于虛軸——

臨界穩定狀態在經典控制理論中，臨界穩定也歸為不穩定。ReIm[s]穩定區臨界穩定不穩定區只要求出系統的全部特征根，便可確定其穩定性。設n階系統特征方程為：穩定的必要條件：不失一般性3-5-2控制系統穩定的必要條件3-5-3勞斯穩定判據設n階線性系統的閉環特征方程為：1勞斯表（勞斯陣列）逐行計算下去算法：注意：n階系統的勞斯表共有n+1行2勞斯穩定判據對于特征方程：我們可以算出其勞斯表勞斯穩定判據的結論是：系統穩定勞斯表的第一列系數全部大于零而且：勞斯表中第一列元素符號改變的次數就等于正實部根的個數。這里：正實部根的個數就是S右半平面根的個數勞斯穩定判據說明了兩方面的問題：（1）給出了系統穩定的判斷方法（2）給出了不穩定情況下判斷右根個數的方法例3-5-1已知系統特征方程：試用勞斯穩定判據判斷其穩定性。解：首先我們看到：特征方程中各項系數>0滿足穩定的必要條件列勞斯表:17182110?15?10?49/3?10規律?說明：在計算勞斯表的過程中，某行同乘或同除一個正數，結果不變。穩定性?——穩定已知系統特征方程：試用勞斯穩定判據判斷其穩定性。解：特征方程中各項系數>0——滿足穩定的必要條件列勞斯表：第一列元素符號變化兩次，1215-35由“+”到“－”符號變化1次由“－”到“+”符號變化1次例3-5-2有2個特征根在右半平面。系統不穩定24135P119例3-7已知系統特征方程：試用勞斯穩定判據判斷其穩定性。解：特征方程中各項系數>0——滿足穩定的必要條件列勞斯表：例3-5-31310150？26首先應該肯定的是：此種情形下系統不穩定。若想進而判斷導致系統不穩定的根的位置，則應采取特殊方法。情形1：勞斯表中某行第一個元素等于零，而該行不全為零處理方法：以很小的正數ε代替零項，繼續計算勞斯表。再令：ε→0，檢驗勞斯表第一列元素符號的變化，符號變化次數為正實部根的個數——系統不穩定情形2：勞斯表中出現了全為零的行處理方法：1）用全零行的上一行各元素構造輔助多項式；2）對輔助多項式求導，用其系數代替全零行，繼續算完勞斯表；3）檢驗勞斯表第一列元素符號的變化，符號變化次數為正實部根的個數——系統不穩定勞斯表的第一列中出現了零元素，則勞斯表沒法算完，怎么辦？若想進一步了解導致系統不穩定的根的情況，可以求解輔助方程，輔助方程的根也是系統的特征根。再看例3-5-3已知系統特征方程：試用勞斯穩定判據判斷其穩定性。解：特征方程中各項系數>0——滿足穩定的必要條件列勞斯表：131015026ε2.5——屬情形11515令ε→0：－∞2.5由“+”到“－”符號變化1次由“－”到“+”符號變化1次第一列元素符號變化兩次，有2個特征根在右半平面。系統不穩定，例3-5-4已知系統特征方程，試用勞斯穩定判據判斷其穩定性。解：特征方程中各項系數>0——滿足穩定的必要條件列勞斯表：11241724163683272001494829-109第一列元素符號變化兩次，有2個特征根在右半平面。由輔助方程F(s)=0容易得到：即：在右半平面有一對共扼復根已知系統特征方程，試確定不穩定特征根。解：1-2-7-41-3-41-3-4004-6-1.5-4-25/1.5-4例3-5-5即：在右半平面有一正實根，虛軸上，有一對共扼虛根。判斷系統穩定性確定給定系統參數范圍——給定穩定度問題相對穩定性問題例3-5-6系統如圖，其中：ζ=0.2，ωn=86.61）確定滿足系統穩定的K1。2)如果要求閉環極點位于s=-1垂線之左，K1=?R(s)C(s)_K1/s1解：1）確定K1閉環傳遞函數：3-5-4勞斯穩定判據的應用(P122例3-9)閉環特征方程：勞斯表：1750034.67500K1

7500K1

根據系統穩定的充要條件：34.6-K1>0K1>0∴0<K1<34.60勞斯表：17433.831.67500K1-7466.47500K1–7466.4根據穩定充要條件：∴1<K1<32.3[s]-1[s1]即令：s=s1-1，代入閉環特征方程，得：2）如果要求閉環極點位于s=-1垂線之左，K1=?把縱軸平移1.穩定的概念從數學上講:從實際意義上講：2.穩定的充要條件:系統的全部特征根都具有負實部系統的全部特征根都位于[s]的左半平面3.穩定的必要條件:4.勞斯判據:(1)計算勞斯表(2)計算過程中，一旦發現第一列元素為零或小于零，即可判斷系統不穩定(3)對于第一列元素出現零的情況，如需進一步判斷根的位置，可先行處理，在把勞斯表算完后判斷。6.兩個實用的結論：本節小結:limt→∞暫態分量=0受擾后仍能恢復到原平衡狀態。G(s)H(s)_R(s)C(s)1/H(s)E’(s)R’(s)G(s)_R(s)C(s)H(s)E(s)1兩種誤差的定義定義1：從輸入端定義誤差：E(s)=R(s)-H(s)C(s)（給定-反饋）定義2：從輸出端定義誤差：E’(s)=R’(s)-C(s)（希望的輸出-實際輸出）應指出：E(s)是有實際意義的，而E’(s)只有數學意義。2兩種誤差的關系對單位反饋系統，有：3-6-1誤差定義§3-6線性系統穩態誤差計算3誤差傳遞函數及穩態誤差計算G(s)_R(s)C(s)H(s)E(s)注意：L變換終值定理應用條件：sE(s)在虛軸和[s]的右半平面解析。即：sE(s)的全部極點都位于[s]的左半平面。瞬態分量穩態誤差對于穩定系統，有：顯然，利用L變換終值定理只能求出誤差終值，無法獲得ess(t)(p124例3-10)某單位反饋系統開環傳遞函數為G(s)=1/Ts，輸入信號r(t)=1(t)，t，t2/2以及r(t)=sinωt（t>0），求系統穩態誤差ess解：1)滿足終值定理的應用條件，2)1/Ts_R(s)C(s)E(s)標準一階系統例3-6-1滿足終值定理的應用條件，3)4)不滿足終值定理的應用條件，不能求終值。不滿足終值定理的應用條件，但用終值定理所得結論也是正確的。設系統開環傳遞函數為：其中：K為開環增益；Τi和τj為時間常數；為開環傳函中包含的積分環節個數（即原點處開環極點的個數）3-6-2系統類型此時，定義：開環傳遞函數包含積分環節的個數稱為系統的型別（類型）

——零型系統；

——Ⅰ型系統；

——Ⅱ型系統

s→0G(s)_R(s)C(s)H(s)E(s)3-6-3典型輸入作用下的穩態誤差及靜態誤差系數1階躍輸入Kp定義為靜態位置誤差系數。結論：0型系統能跟蹤階躍輸入但有位置誤差;Ⅰ型及以上系統能完全跟蹤階躍輸入.考慮到：2.斜坡輸入Kv定義為靜態速度誤差系數。

考慮到：0型系統不能跟蹤斜坡輸入；Ⅰ型系統能跟蹤斜坡輸入，但有穩態誤差；Ⅱ型及以上系統，能準確跟蹤斜坡輸入信號，無穩態誤差結論：3.加速度輸入Ka定義為靜態加速度誤差系數。

0,Ⅰ型系統不能跟蹤加速度輸入；Ⅱ型系統能跟蹤加速度輸入，但有穩態誤差；Ⅲ型及以上系統，能準確跟蹤加速度輸入，無穩態誤差；結論：考慮到：表3-1典型輸入作用下的穩態誤差系統型別(ν)0ⅠⅡ靜態誤差系數典型輸入作用下的穩態誤差K∞∞0K∞00K00∞0∞∞①系統型別越高，跟蹤信號能力↑但穩定性↓，動態性能↓；②靜態誤差系數定量描述系統對各種典型輸入的跟蹤能力，在設計時，在輸入形式及容許誤差確定后，可根據靜態誤差系數確定系統型別和開環增益K。注：(p129例3-12)系統如圖。計算r(t)=1(t)，t，t2/2時系統穩態誤差。R(s)C(s)_50.8s_1s(5s+1)E(s)解：開環傳遞函數G(s)即本系統為K=1的Ⅰ型系統，其靜態誤差系數及穩態誤差為：例3-6-23-6-5控制系統在擾動作用下的穩態誤差R(s)C(s)_++G1(s)G2(s)H(s)N(s)考慮系統結構圖為：R(s)=0,系統的理想輸出為零,于是，L-1變換其中：為穩態分量，——定義為擾動作用下的穩態誤差為暫態分量，對于穩定系統當t→∞時，同樣，===可見，控制系統在擾動作用下的穩態誤差與在輸入作用下的穩態誤差相比，除誤差傳函不同外，計算方法完全相同。可用定義求，可用終值定理求，只要把誤差傳函換一換即可。需要注意的是，擾動作用下“型”的概念與輸入作用下“型”的概念是不同的。不能再在開環傳函上看積分環節的個數，而應從擾動作用下的誤差傳函上來確定擾動作用下“型”，以便判斷擾動作用下的誤差是0？是常數？還是∞？若為常數，其具體數值要用終值定理確定。例3-6-4R(s)C(s)_++K110

(0.1s+1)(0.2s+1)(0.5s+1)N(s)n(t)=1(t)，試問是否可以選擇合適的K1值，使系統在擾動作用下的穩態誤差值為enss=-0.1。解：

欲使：例3-6-4（補）?此時特征方程：10000不穩定欲使系統穩定，此時，即：不能選擇合適的K1值，使enss=-0.1。例3-6-5(P147例3-13）K1R(s)N(s)C(s)－＋r(t)=R0·1(t)n(t)=n0·1(t)求兩個信號同時作用下，系統的總誤差。解：1）r(t)作用：2)n(t)作用：s→03)總誤差為：（1）增大增益（2）提高“型”3-3-6減少或消除穩態誤差的措施需注意：這兩種措施都容易導致系統不穩定，要小心。（3）采用串級控制抑制內回路擾動

R(s)C(s)_++Gc2(s)G2(s)H2(s)N(s)G1(s)Gc1(s)H1(s)_（4）采用復合控制（P259,261）

R(s)C(s)_+Gr(s)G

(s)E(s)R(s)C(s)_+G1(s)Gn(s)H(s)N(s)G2(s)+按擾動補償（只要Gn=－1/G1）按輸入補償（只要Gr=1/G）本節小結（1）1基本概念：E(s)=R(s)-H(s)C(s)1）誤差：2）穩態誤差（終值）3)“型”的確定：輸入作用下的型與擾動作用下的型是不同的。各自如何確定？4）開環增益：s→05）靜態誤差系數：叫做？——靜態速度誤差系數——靜態位置誤差系數——靜態加速度誤差系數本節小結（2）2穩態誤差的計算：1）用終值定理計算2）用型和開環增益的概念快速計算ess——表3-1======僅限于r(t)或n(t)為1(t)、t、t2……或其線性組合的形式。

特別注意當外作用信號為sinωt時不能應用終值定理?！罨镜挠嬎惴椒ㄌ攸c：方便、實用1948年，伊文思(w．R．Evans)，提出了根軌跡法——第四章線性系統的根軌跡法本章主要內容包括：基本概念根軌跡圖的繪制根軌跡圖分析180°根軌跡的繪制0°根軌跡的繪制參量根軌跡的繪制這是一種由開環傳遞函數間接判斷閉環特征根的概略圖解法，從而避免了直接求解系統閉環特征根的困難。從第三章的學習我們知道：系統的動態特性和穩定性主要取決于系統閉環特征方程的根的分布。但是，求解高階系統的特征根非常困難。問題的引入：§4-1根軌跡法的基本概念例4.1已知某單位反饋系統的開環傳遞函數為：試分析K*從0→∞時特征根的變化情況。解：此系統的特征方程式可寫為：解得：時，分析：時，=ReIm-1-2××××s1與s2為兩個不相等的實根；圖中箭頭所指為K*增大的方向。根軌跡圖一、根軌跡的定義1.穩定性：當參數變化時，若根軌跡是否進入S平面的右半平面？參數為何值時進入？當所有根軌跡分支都在左半平面時，系統穩定。2.穩態性能：回憶：穩態性能主要取決于系統的開環增益和積分環節個數。由根軌跡圖不僅可以方便的確定開環增益和積分環節個數，而且可以根據給定系統的穩態誤差要求,確定閉環極點位置的容許范圍。3.動態性能：回憶：動態性能形態主要取決于系統的——閉環極點

從根軌跡圖上，可以直觀地看到特征根隨著參數的變化情況，從而，可以方便地確定動態性能隨著參數的變化情況。定義：當開環系統的某一參數從零到無窮變化時，閉環特征根在s平面上形成的軌跡，叫做根軌跡。二、根軌跡與系統性能常規根軌跡——增益(K*)變化所對應的軌跡廣義根軌跡——其它參數變化所對應的軌跡對于右圖，特征方程為：設開環傳函為標準形式，即：則特征方程為：——根軌跡方程之一注意應用條件負反饋系統開環傳函為標準形式思考：若正反饋?——根軌跡方程之二注意應用條件正反饋系統開環傳函為標準形式則特征方程為：三、根軌跡方程由根軌跡方程一可推知：模值條件相角條件同理，由根軌跡方程二可推知：模值條件相角條件180°根軌跡0°根軌跡四、繪制根軌跡的兩個基本條件對照比較這兩組方程，可以發現：模值條件相同，但相角條件不同。1.

判斷根軌跡是0°根軌跡還是180°根軌跡，不能僅看反饋極性，還要看G(s)H(s)是否為標準形式。當G(s)H(s)不是標準形式時，應先整理特征方程。相角條件是繪制根軌跡的充要條件，模值條件通常用于求給定點對應的增益。說明：作業（補充題）：已知某負反饋系統的開環傳遞函數為：試用相角條件繪出K*從0→∞變化時的根軌跡。2.根軌跡的連續性和對稱性§4.2180°根軌跡圖的繪制適用條件：且從變化。特征方程可整理為根軌跡的分支數整理特征方程可得：+=0分支數——即根軌跡的條數，取決于特征方程的階次，即特征根的個數。規則1:根軌跡的分支數=Max(n,m),通常情況下為開環極點個數n規則2:根軌跡的每一條分支都是連續的；根軌跡對稱于實軸。另一方面，特征根的值或為實數，或為共軛復數——根軌跡對稱于實軸首先，當參量K*有一微小的增量時，其特征根也會有一個微小的增量；——根軌跡是連續的起點：時,特征根終點：特征根時,整理特征方程可得：根軌跡起始于開環極點

根軌跡終止于開環零點

分兩種情況分析：當n>m時,終點數目不夠，其余終點位于s∞處。當m>n時,起點數目不夠，其余起點位于s∞處。規則3:根軌跡起始于n個開環極點，終止于m個開環零點，當時,用補充，即:當n>m時,另n-m條根軌跡終止于∞處當m>n時,另m-n條根軌跡起始于∞處3.根軌跡的起點和終點漸近線給定了趨于（或始于）無窮遠處的根軌跡的方向。規則4：

當n>m時，有n-m條根軌跡趨于無窮遠處,即有n-m條漸近線,它們交實軸于,與實軸正方向之夾角為。且:其中：觀察：當n-m=1時，當n-m

=2時，當n-m

=3時，當n-m

=4時，思考：n-m為不同數值時，漸近線與復平面有什么關系？規律是：漸近線把復平面等分為n-m份。思考：當n<m

時，又如何呢？只要把n-m換成m-n就可以了。4.根軌跡的漸近線

已知某負反饋系統的開環傳遞函數為:概略繪制K*從0→∞變化時的根軌跡。解：首先判斷其屬于1800根軌跡。①與標準形式比較，得:m=0n=3:p1=0,p2=-1,p3=-2把開環零點和開環極點標在s平面上，零點用“o”;極點用“×”。ReIm×××0-1-2②求漸近線：顯然，n-m=3下面的問題是：從三個開環極點出發的根軌跡如何趨向于三條漸近線？我們來看下面的規則。︱︱︱––––-312-1-2例4.2回憶相角條件：設：s1是實軸上的一點，顯然，若s1滿足相角條件，則該點是根軌跡上的點。分兩種情況進行分析：⑴我們以為例，⑵s1+=00結論：當s1是實軸上的點時，只有其右邊的開環實極點和開環實零點對應的角度為1800，其余全為零。5.實軸上的根軌跡設系統有m1個開環零點、n1個開環極點在s1的右邊，=m11800=n11800代入相角條件，得：—=m11800_n11800即：如果s1是根軌跡上的點，則：m1_n1應為奇數m1+

n1應為奇數歸納總結，得：規則5：實軸上的開環零、極點把實軸分為若干個區段，若某段右邊的開環零、極點數目之和為奇數，則該段就是根軌跡；否則不是?！痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢痢餜eIm×××-1-20︱︱︱––––-312-1-2③實軸上的根軌跡：

已知某負反饋系統的開環傳遞函數為:概略繪制K*從0→∞變化時的根