§10.6對稱結構(symmetricalstructure)的計算對稱結構是幾何形狀、支座、剛度都對稱.EIEIEI1、結構的對稱性：對稱軸對稱軸l/2l/2a/2a/2EI1EI1EI2EI22、荷載的對稱性：對稱荷載——繞對稱軸對折后，對稱軸兩邊的荷載等值、作用點重合、同向。反對稱荷載——繞對稱軸對這后，對稱軸兩邊的荷載等值、作用點重合、反向。對稱軸對稱軸EIEI對稱軸↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑qPP1

P1

m反對稱荷載對稱軸↓↓↓↓↓↓↓↓↓qPP1P1對稱荷載任何荷載都可以分解成對稱荷載+反對稱荷載。PP1P2一般荷載aP/2FF對稱荷載aaP/2WW反對稱荷載P/2aaP/2P1=F+W，P2=W—F3、利用對稱性簡化計算：1）取對稱的基本體系(荷載任意，僅用于力法)PP2一般荷載X3X2X1X2X1=1X2=1X2X3=1力法方程降階如果荷載對稱，MP對稱，Δ3P=0，X3=0；如果荷載反對稱，MP反對稱，Δ1P=0，Δ2P=0，X1=X2=0。對稱結構在對稱荷載作用下，內力、變形及位移是對稱的。對稱結構在反對稱荷載作用下，內力、變形及位移是反對稱的。EIEIEI①對稱結構在對稱荷載作用下，內力、變形及位移是對稱的。a）位于對稱軸上的截面的位移，內力PPCuc=0、θc=0PPQC=0QCPC等代結構b）奇數跨對稱結構的等代結構是將對稱軸上的截面設置成定向支座。對稱：uc=0,θc=0中柱：vc=0PPCCP等代結構PPC對稱：uc=0,θc=0中柱：vc=0PPCuc=0vc=0P等代結構NCNCMC2）取等代結構計算(對稱或反對稱荷載，適用于各種計算方法)c）偶數跨對稱結構在對稱荷載下等代結構取法：將對稱軸上的剛結點、組合結點化成固定端；鉸結點化成固定鉸支座。PPC2EIEIEIEI②對稱結構在反對稱荷載作用下，內力、變形及位移是反對稱的。

a）位于對稱軸上的截面的位移，

內力PPvc=0PPNC=0，MC=0QCPC等代結構P等代結構P等代結構CPPC2EIPPC2EIEIEINCNCMCc）偶數跨對稱結構的等代結構將中柱剛度折半，結點形式不變b）奇數跨對稱結構的等代結構是將對稱軸上的截面設置成支桿EIEIEIEIQCQC由于荷載是反對稱的，故C截面只有剪力QC當不考慮軸向變形時，QC對原結構的內力和變形都無影響。可將其略去，取半邊計算，然后再利用對稱關系作出另半邊結構的內力圖。等代結構偶數跨對稱結構在反對稱荷載作用下，其等代結構的選法2EIPPC2EIEIPPPCPP198103.581135kNm例：繪制圖示結構的內力圖。↑↑↑↑↑↑↑EIEIEI6m6m23kN/m103.581135MKkN·m198198103.581135kNm396207等代結構對稱結構對稱（或反對稱）荷載作用時的計算要點：①選取等代結構；②對等代結構進行計算，繪制彎矩圖；③利用對稱或反對稱性作原結構的彎矩圖；EIEI2EIEIEI6m6m6m↑↑↑↑↑↑↑46kN/mPPEI=常數l/2l/2l/2P/2P/2l/2P/2

l/2l/4P/2l/2l/4X1基本體系l/2X1=1P/2l/21Mp解:11x1+Δ1P=011=Δ1P=X1=先疊加等代結構的彎矩圖作圖示剛架的彎矩圖。EI=常數。PPPPPPABCPCBPl/8Pl/8Pl/8Pl/8PPPPl/2l/2l/2l/2ABCl/2l/2例題：用力法計算圖示結構并作M圖。EI=常數。2kN4kN.m4m4m2m4m4kN.m4m4m4m4kN.m4kN.mX1X1=14MP4kN.m4解:11x1+Δ1P=0431111-=D-=dPX6444411=··=DPEIEI32564443424421111=ú?ùê?é··+····=dEIEI13341M圖(kN.m)2kN2kN

0.08Pl0.014Pl0.028Pl0.014Pl0.094Pl0.094PlPll/2l/2lAB對稱結構在一般荷載作用下，如無法取對稱的基本體系，對稱和反對稱的未知力計算，可將荷載分為對稱和反對稱兩組，按等代結構計算兩個問題，再疊加最后彎矩圖。P/2ABP/2P/2EIEIEIP/2AEIEI/20.014PlP/2ABP/20.027Pl0.108Pl對稱結構對稱荷載作用下中柱無彎矩無剪力。Z1Z2X2X2PAB對稱結構在一般荷載作用下，如無法取對稱的基本體系，對稱和反對稱的未知力計算，也可將處于對稱位置的未知力分解為對稱和反對稱兩組，力法方程也就解偶為兩組，一組只包含對稱未知力，一組只包含反對稱未知力，一次計算出最后彎矩圖。X1X13）組合未知力(僅適用于力法)Pll/2l/2lABEIEIEI0.107Pl0.080Pl0.027Pl0.197PlM圖Pll/2l/2lPZ1Z2X1X1X2X2X1=1X1=1lX2=1X2=1ll2lPPl/28kN/m3m3m↑↑↑↑↑↑↑3m3kN/m↑↑↑↑↑↑↑X1=133X2=13333用力法計算作圖示結構的彎矩圖。184.54.59M圖(kN.m)X2X136對稱結構非對稱荷載作用時的處理方法：

①在對稱軸上解除多余約束，取對稱和反對稱未知力直接計算。②將荷載分為對稱和反對稱兩組，選等代結構計算，再疊加。集中結點力作用時常這樣處理。③在對稱位置解除約束，將多余未知力分為對稱和反對稱未知力兩組。無彎矩狀態的判定：在不考慮軸向變形的前提下，超靜定結構在結點集中力作用下有時無彎矩、無剪力，只產生軸力。常見的無彎矩狀態有以下三種：1）一對等值反向的集中力沿一直桿軸線作用，只有該桿有軸力。－PM=02）一集中力沿一柱軸作用，只有該柱有軸力.－PM=0M=03）無結點線位移的結構，受結點集中力作用，只有軸力。MP=0MP=0Δ1P=0δ11>0X1=Δ1P/δ11=0M=M1X1+MP=0PPPPPEI2EI1EI1PlhP/2P/2P/2P/2求圖示對稱剛架在水平荷載作用下的彎矩圖。M=0－P/2P/2等代結構X1基本體系l/2l/2X1=1MPP/2Pl/2EIlPhEIlhPh1211182221=·=DEIlEIhl2312244+=EIlllEIlhl211113222122····+··=dlIhIk12=lPhkk2166+-=XP1111D-=d41626Phkk·++4166Phkk·+41626Phkk·++4166Phkk·+41918Ph4Ph2Ph2Phk很小弱梁強柱k很大強梁弱柱4Ph41920Phk=3荷載作用下，內力只與各桿的剛度比值有關，而與各桿的剛度絕對值無關。內力分布與各桿剛度大小有關，剛度大者，內力也大。lIhIk12=例：試用對稱性計算圖示剛架，并繪彎矩圖。EI=CEAPPaaaaEI=CEAP/2P/2P/2P/2EI=CEAP/2P/2P/2P/2EI=CEAP/2P/2P/2P/2解：將荷載分為正對承和反對稱兩組正對稱結點荷載作用下各桿彎矩為零反對稱荷載作用取等代結構如下1、取基本結構；2、力法方程：=+P/2P/2等代結構00P/2P/2X1基本體系X1=1X1MP3、繪求系數自由項4、解方程：5、按繪彎矩圖。1512715127M圖a§10-7超靜定拱的計算方法16m3mX1d111HPD-=jcos1N-=1yM-=d01111Xp=D+d211dsEIy=òjcos2dsEA+ò01dsEIyMP-=Dò21dsEAN+òd2111dsEIM=òEI11dsMMPp=DòMP=M0X1=1xyX1=1由于拱是曲桿δ11Δ1P不能用圖乘法基本體系是曲梁，計算Δ1P時一般只考慮彎曲變形，計算δ11時，有時（在平拱中）還要考慮軸向變形jjcossin0HQN--=fjsincos0HQQ-=0HyMM-=求出H后，內力的計算與三鉸拱相同即：三鉸拱中：兩鉸拱中：d111HPD-=MP=M000＝≠E1A1H=1X1=1d111HPD-=MP=M0ò=DdsEIMMPP11òò+=dsEANdsEIM212111d落地式拱帶拉桿的拱作為屋蓋結構如果E1A1→∞，則H*→H，因而兩者的受力狀態基本相同。如果E1A1→0，則H*→0，這時，帶拉桿的三鉸拱實際一簡支曲梁，對拱肋的受力是很不利的。由此可見，為了減少拱肋的彎矩，改善拱的受力狀應適當的加大拉桿的剛度。H*=1例：EI=常數，求H。拱軸線方程為0.5l0.5lf↓↓↓↓↓↓↓qyxBA↓↓↓↓↓↓↓qql81ql83ql162()xlqlM810-=()lxl2<<qxqlxM221830-=fqlHP162111=D-=d()EIlfdxxlxlfEI???è?-=òddxyMdxyEIlpl10010211-=D=òòd解:簡化假定:只考慮彎曲變形;近似地取ds=dx,cos=1(平拱,f/l<0.2)。∴(0<x<0.5l)ql642ql642Mxx上例，兩鉸拱與三鉸拱的內力相等，這不是普遍性結論。如果在別的荷載作用下，或在計算位移時不忽略軸向變形的影響，兩者內力不一定相等。但是，在一般荷載作用下，兩鉸拱的推力與三鉸拱的推力及內力通常是比較接近的。M=M0－Hyql162M0－Hy例：圖示拱，EI=常數，求其水平推力H。拱軸線方程為0.5l0.5lf↓↓↓↓↓↓↓qyxBA↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2q/2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q/2X1對稱荷載下，取三鉸拱為基本體系，其MP=0∴Δ1P=0，X1=Δ1P/δ11=0，而M=M對稱=0基本體系＝＋在反對稱荷載下，對稱未知力X1=0↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑q/2q/2X1M反對稱=M1X1+MP=MP=M0-Hy而H==0＝＝↓↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑↑↑ql642ql642M0=M0＝M反對稱MP對稱無鉸拱的計算P1P2P1P2CC1OO1P1P2X1X2X3000333322221211212111=D+=D++=D++PPPXXXXXdddddX3X2X2X1X1對稱的基本體系=oyxjcos2-=-=N2yM001111===QNMd21212112++=òòòdsEANNdsGAQQkdsEIMMX1=1引起：X2=1引起：=0òò+￠-=dsEIadsEIy1ò-=dsEIy12dy‘yaò--=dsEIay￠òò￠=dsEIdsEIya1δ12=δ21=0→x’O點的物理含義：jsin2-=-=N2xMX3=1引起：òòò+=-=DdsEAdsEIydsEIyMPP22222cosjdEIEIòò==DdsdsMPP1111dòò==DdsxdsxMP2dEIEIP3331/EIaòò￠=dsEIdsEIya1y‘y‘x‘彈性中心O剛臂的端點O就是彈性面積的形心，叫彈性中心。例題10-3等截面圓弧無鉸拱求內力。l=10mΦ0Φ0RRf=2.5m↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓ADOq=10kN/mx’X2X2X1X1Φ0Φ0RR↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓AOq=10kN/my‘yayx解:求R和φ0

R=6.25mxφRdsMEIRdsMEIyayMM027.0855.1132222211121====￠-=-==òòddmEIdsdsEIyaRayyRx39.5cossin=￠==+=￠=òòjj三鉸拱的水平推力505.2810108220=··===￠kNfqlfMHC350507.51=-=￠￠-HHH%qqRdsMMEIqRdsMMEIxMPPPPP0223.0224.024223112-==D-==D=òòmkNRaXXMMmkNaRXXMkNXHBA.98.6)cos(.76.2)(7.510212102=-+===--===jkNqRXmkNqRXPP7.51827.0.1.47121.0222221111==D-===D-=ddpΦ0Φ0RRDOΦX1X2X3合理拱軸線M=0，Q=0，N=－pRMP=0，QP=0，NP=－pR例10-4求等截面圓形無鉸拱在均勻水壓力作用下的內力。解：1）忽略軸向變形，取三鉸拱為基本體系。Δ1P=0Δ2P=0Δ3P=0無鉸拱和三鉸拱均處于無彎矩狀態pRpRpR=2）考慮軸向變形，用彈性中心法計算將精確的內力狀態分為：X1X2X2yxcos012211-====jN-yMNM①不計軸向變形產生無彎矩狀態②單由軸向變形產生的附加內力狀態以無彎矩狀態作基本體系cos0221.==D=DòòjPPPdsEApRdsEANNMP=0，QP=0，NP=－pRMP=0，QP=0，NP=－pRMP=0，QP=0，NP=－pR基本體系cos22+=òòjdsEAEIdsy222222+=òòdEAdsNEIdsM如果在某一荷載作用下，三鉸拱處于無彎矩狀態，則在同一荷載作用下，與三鉸拱軸線形式相同的無鉸拱的內力在忽略軸向變形時也處于無彎矩狀態；考慮軸向變形時產生不大的彎矩，接近無彎矩狀態。X2X2§10.9溫度改變、支座移動時超靜定結構的內力由于超靜定結構由多余約束，所以在無荷載作用時，只要有發生變形的因素，如溫度改變、支座移動、材料收縮、制造誤差等，都可以產生內力（自內力）。1、溫度內力的計算（僅自由項計算不同）例9-6圖示剛架施工時的溫度為15°C，使用期間（冬季）溫度如圖。求溫度變化產生的內力。EI=常數。－35°－35°－35°+15°+15°+15°40cm60cm8m6mδ11X1+Δ1t=001523515t--=)35(15t--=D50C=o1111XNNXMM==111174.154326800EIEIXt-=-=D-=aad94.2N=－15.74M&N×αEIX1基本體系+15°+15°+15°－35°－35°－35°??D±Δit=MNhttwawa0X1X1=166=－25°Ct0C2t0C2t0C2t0C2t0C圖示封閉框溫度變化如圖，畫出彎矩圖的大致形狀。2t0C2t0C2t0C2t0C2t0C－t0C2、支座移動時的計算aΔ1=δ11x1+Δ1c=－aΔ1=δ11x1+Δ1c=θΔ1=δ11x1+Δ1c=0X1=1lX1=11Δ1c=δ11=X1=X1=1.51l/32l/3Δ1c=－θlδ11=a1）X1δ11=Δ1c=X1=MEIlaX12)aX13)X1=13)1/l1.5/l

θaθa2）系數計算同前；自由項ΔiC=－∑R·cc是基本體系支座位移。所以，基本體系的支座位移產生自由項。與多余未知力對應的支座位移出現在方程的右邊。3）內力全由多余未知力引起，且與桿件剛度EI的絕對值成正比。支座移動時的力法計算特點：1）取不同的基本體系計算時，不僅力法方程代表的位移條件不同，而且力法方程的形式也可能不一樣，方程的右邊可不為零（＝±與多余未知力對應的支座位移）。用力法求解單跨超靜定梁X1X2Δ1/l1/lX2=112M1MX1=11D=D=DlCC21=-=·-=EIllEI6312112112dd==·=EIllEI3322112211ddú?ùê?éD-+=ú?ùê?éD-+=llEIXllEIXABBA32232221qqqq=D++-=D+-lXEIlXEIllXEIlXEIlBA36632121qqΔθAθBX2X1θθl/32l/3X2X1θX1=11/2θX23/21qlEIX21=qlEIX22-=qC232=DqC21-=DdEIl4322=dEIl411=θ4iθ2iθM

當桿件兩端為剛結或固定，且無相對側移時，可在一端及距該端2/3處加鉸選基本體系，可使相應付系數等零。§10.10超靜定結構位移計算↑↑↑↑↑↑↑q=23kN/m6m6mEIEIEIAB198103.581135MkNmq=23kN/mX1基本體系↑↑↑↑↑↑↑X1X2X2Δ1=0Δ2=0當{原結構與基本體系受力和變形相同=36=－13.5求原結構的位移就歸結求基本體系的位移。X=16MCDDD求ΔDH16=——（2×6×135－6×81）

EI61134=——EI虛擬的單位荷載可以加在任一基本體系上，計算結果相同。例：ΔGVGG13M6×1.581729=－———·—=－——2EI24EI11.5超靜定結構在支座移動和溫度改變下的位移計算c1c2MNQMNQRP=1MNQt1t2MNQP=1GAkQEANEIM===gekhtD+at+a0htD+at+a0htD+at+a0htD+at+a0?-cR綜合影響下的位移計算公式aEIlM例9-7求例9-5中超靜定梁跨中撓度。P=1l/41/2P=1l/2l/2求超靜定結構因溫度改變、支座移動產生的位移時，若選原結構建立虛擬力狀態，計算將會更簡單。cEI,l,t0,ΔtP=1①②而：T12=W12Δc=－∑R*×c3Pl/16P=1aEIl例：求超靜定梁跨中撓度。5P/16例：求超靜定結構，各桿EI為常數，截面為矩形，h=0.1l，求A點水平位移。ll/2l/215°15°15°25°AP=11/21/2l/2l/2P=1－1/2＋1－1例：求超靜定結構，各桿EI為常數截面為矩形，h=0.1l，求C點豎向位移。ll/2l/215°15°15°25°CP=1P=1403l403l－3/40－1/2－1/2解：在原超靜定結構上虛擬單位荷載，并用力法求得其彎矩圖和軸力圖。1）重視校核工作，培養校核習慣。2）校核不是重算，而是運用不同方法進行定量校核；或根據結構的性能進行定性的判斷或近似的估算。3）計算書要整潔易懂，層次分明。4）分階段校核，及時發現小錯誤，避免造成大返工。力法校核1）階段校核：①計算前校核計算簡圖和原始數據，基本體系是否幾何不變。②求系數和自由項時，先校核內力圖，并注意正負號。③解方程后校核多余未知力是否滿足力法方程。§10.11超靜定結構計算的校核2）最后內力圖總校核：a）平衡條件校核4m2m2m4m200kN751251522.511.3＋＋＋－－Q圖（kN)147.522.5－－＋＋3.711.3N圖（kN)1501006020301540I=2I=2I=1I=1M圖（kN.m)B6040100∑M=02003.77515147.511.322.5∑X=3.7+11.3－15=0∑Y=75+147.5－200－22.5=0力法基本體系與原結構等價的條件是n個位移條件，(荷載作用下)Δ1=0、Δ2=0、……Δn=0將它們展開得到力法方程Δi=∑δijXj+Δ

iP=0i，j=1，2，……n其中：2)變形條件的校核+=?òòPijjidxEIMMdxXEIMM()+=ò?PjjidxMXMEIMEIòidxMM0=Di=0=D+?iPjijXd即：δijΔiPδijΔiPδijΔiPδijΔiP這樣，荷載作用下，超靜定結構的最后彎矩圖，與任意基本體系的任一多余未知力的單位彎矩圖圖乘結果如果等于零，則滿足變形條件。變形條件的一般校核方法是：任選一基本體系，任選一多余未知力，由最后內力圖計算出Xi方向的位移，并檢查是否與原結構對應位移相等。4m2m2m4m200kN1501006020301540I=2I=2I=1I=1M圖（kN.m)BAXA=144200