多自由度體系自由振動的重要特性：1)多自由度自振頻率和主振型的個數均與體系自由度的個數相等；2)每個自振頻率有其相應的主振型，而這些主振型就是多自由度體系能夠按單自由度體系振動時所具有的特定形式；3)多自由度體系的自振頻率和主振型是體系自身的固有動力特性，它們只取決于體系自身的剛度系數及其質量的分布情形，而與外部荷載無關。【例12-22】圖示框架，其橫梁為無限剛性。設質量集中在樓層上，試計算其自振頻率和主振型。解：本例兩層框架為兩個自由度體系，用剛度法計算較為方便。(1)求剛度系數kij(2)求自振頻率wi將m1=2m和m2=m以及已求出的kij代入所以由此得(3)求主振型（振型常數ri）第一主振型第二主振型(4)作振型曲線，如圖所示。第一主振型

第二主振型

2.柔度法作用下所產生的靜力位移（圖a）對于圖示體系，在自由振動中的任一時刻t，質量m1、m2的位移、應當等于體系在當時慣性力思路(1)運動方程的建立dij是體系的柔度系數也可寫為或以上運動方程，也可利用剛度法所建立的運動方程間接導出：因所以，有前乘以[d]，得注意：[d]與[K]雖然互為逆陣，但[d]中之dij與[K]中之kij元素一般并不互逆（僅單自由度體系例外）。(2)運動方程的求解(3)求自振頻率wi設特解代入運動方程，并消去公因子表明，主振型的位移幅值(Y1及Y2)，就是體系在此主振型慣性力幅值作用下引起的靜力位移，如圖所示。慣性力為:將式通除以稱為振型方程或特征向量方程。為了求得Y1、Y2不全為0的解，應使該系數行列式等于零，即稱為頻率方程或特征方程。由它可以求出w1和w2。令l

=，代入式(a)，得關于l

的二次方程展開，得(a)可解出l的兩個根，即約定l1>l2(從而滿足w1<w2)，于是求得(4)求主振型1)第一主振型：將w=w1代入2)第二主振型：將w=w2代入【例12-23】試求圖示結構的自振頻率及主振型。各桿EI為常數，彈性支座的剛度系數。解

(1)計算柔度系數dij應考慮彈性支座變形對位移的影響。圖圖圖(1)計算柔度系數dij(2)求自振頻率wi將m1=m2=m及已求得的dij代入(3)求主振型ri(4)作振型曲線第一主振型

第二主振型【例12-24】試求圖示等截面梁的自振頻率和主振型。質量m1=m2=m＝1000kg。E＝200GPa，I＝2×104cm4，l=4m。圖圖圖圖解:(1)求柔度系數dij(2)求自振頻率wi(3)求主振型ri第一主振型第二主振型(4)作振型曲線第一主振型（反對稱）第二主振型（對稱）

如果結構和質量布置都是對稱的，體系的振型必定是對稱或反對稱的,可以利用對稱性，取半邊結構計算體系的第一頻率,第二頻率。這樣，就將兩個自由度體系的計算問題，簡化為按兩個單自由度體系分別進行計算。反對稱半邊結構對稱半邊結構第一主振型（反對稱)

第二主振型（對稱）【例12-25】試計算圖示剛架的自振頻率和主振型。解：取集中質量m處豎向位移y和剛性桿CD繞C點的轉角q作為獨立的幾何位移。由于本題是由線位移和角位移耦合組成的振動，因此，不能簡單地利用前面按柔度法推出的公式計算自振頻率和主振型，而應從考慮結構整體平衡，建立運動方程入手。某一瞬時t，剛架上作用的慣性力如圖所示。由分布質量所產生的慣性力對C點的合力矩為(1)計算柔度系數dij圖圖慣性力建立運動方程:慣性力將及各柔度系數dij代入式(a)，經整理后，得(a)與運動方程對比可知：m1=m，(3)求自振頻率wi(4)求主振型ri(5)作振型曲線

第一主振型

第二主振型12.6.2（推廣）n個自由度體系的自由振動1.剛度法(1)運動方程的建立平衡方程為其中式中，kij是結構的剛度系數，即使j方向產生單位位移（其他各點的位移保持為零）時所在點i所需施加之力。即得自由振動微分方程組其矩陣形式為或簡寫為(2)運動方程的求解設特解(3)求自振頻率將和代入式，得這是關于位移幅值的齊次線性代數方程，稱為振型方程或特征方程。頻率方程為其展開形式為（4）求主振型令表示與頻率wi相應的第i個主振型向量，即將wi和代入振型方程，得令i=1,2,…,n，可得出n個振型方程，由此可求出n個主振型：可求出由振型方程可以惟一地確定主振型的形狀，即中各幅值的相對值，但不能惟一地確定它的幅值(因方程右端項干擾力為零)。（5）標準化主振型(規一化主振型)一般常用以下兩種作法：1)規定主振型中的某個元素為某個給定值。通常規定第一個元素Y1i或最后一個元素Yni等于1，也可以規定最大的一個元素等于1。2)規定主振型滿足【例12-26】試求圖示三層剛架的自振頻率和主振型（橫梁變形略去不計）。各層間側移剛度（亦稱抗剪剛度，為該層上下兩端發生單位水平相對位移時該層各柱剪力之和）分別為k1、k2、k3，其單位為MN/m。解：以各樓層的水平位移為幾何坐標。（1）求自振頻率wi1)建立剛度矩陣[K]k11=k1+k2=441k21=k12=-k2=-196k31=k13=0k22=k2+k3=294k32=k23=-k3=-98k33=k3=98于是，得到剛度矩陣為N/m2)建立質量矩陣[M]kg3)引入符號，并求自振頻率則頻率方程為其展開式為解得上式的三個根為于是得（2）求主振型設取各標準化振型的第一個元素Y1i為1，確定Y(i)的方程為可得為求第一標準化振型，令i=1，并將代入上式，利用其前兩個方程，得設Y11=1，解出Y21=2Y31=3將Y11、Y21、Y31三個元素匯總在一起，得第一振型為依照以上作法，可得第二和第三標準化振型為第一主振型第二主振型第三主振型2.柔度法(推廣到n個自由度)(1)振型方程剛度法導出的特征向量方程為用[d]左乘上式得上式通除以w2，再令可得柔度法的振型方程其展開式為由此得到關于l的n次代數方程，可解出n個根l1，l2，…，ln，進而可求n個頻率w1，w2，…，wn。將所有的頻率從小到大排列，得頻率譜。(3)主振型(2)頻率方程【例12-27】試求圖示剛架的自振頻率和主振型。已知各桿EI＝常數。解：本剛架具有三個自由度

(1)求柔度系數圖圖圖(2)求自振頻率體系的柔度矩陣和質量矩陣為頻率方程并解得故自振頻率為(3)求主振型并繪振型圖將li(i=1,2,3)分別代入振型方程并令Y3i＝1，即可求得各階各振型為:1)第一主振型2)第二主振型3)第三主振型主振型圖

第一主振型

第二主振型

第三主振型【例12-28】求圖示剛架的自振頻率和振型。已知m1=m4=100kg，m2=m3=150kg，EI1=6MN·m2，EI2=3EI1。五個自由度的體系

正對稱自由振動反對稱自由振動解：此剛架具有五個自由度。利用對稱性，分解為有兩個自由度的正對稱自由振動和有三個自由度的反對稱自由振動分別進行計算，其結果列于下面線框內。從小到大重新排列正對稱自由振動反對稱自由振動主振型圖

第一主振型

第二主振型第三主振型

第四主振型第五主振型12.7主振型的正交性●在同一體系中，不同的兩個固有振型之間，無論對于[M]或是[K]，都具有正交的性質（分別稱為第一正交性和第二正交性。●利用這一特性，一是可以將多自由度體系的強迫振動簡化為單自由度問題（主要應用在任意干擾力作用下的強迫振動）二是可以檢查主振型的計算是否正確，并判斷主振型的形狀特點。12.7.1主振型的第一正交性n個自由度體系的振型方程為設wi為第i個自振頻率，其相應的振型為；wj為第j個自振頻率，其相應的振型為。將它們分別代入上式，可得(a)(b)對式(a)兩邊左乘以，對式(b)兩邊左乘以，則有(c)(d)將式(c)減去式(e)，得當時，得為主振型的第一正交性，它表明，對于質量矩陣[M]，不同頻率的兩個主振型是彼此正交的。即將式(d)兩邊轉置，將有(e)12.7.2主振型的第二正交性將式(12-83a)代入式(c)，可得稱為主振型的第二正交性，它表明，對于剛度矩陣[K]，不同頻率的兩個主振型也是彼此正交的。12.7.3主振型正交性的物理意義1.第一正交性的物理意義將式分別乘以和，可以得出以下兩式式(a)說明第i主振型慣性力在第j主振型上所做的虛功為零；式(b)說明第j主振型慣性力在第i主振型上所做的虛功為零。因此，第一正交性的物理意義是：相應于某一主振型的慣性力不會在其他主振型上做功。(a)(b)2.第二正交性的物理意義由可知，第二正交性的物理意義是：相應于某一主振型的彈性力不會在其他主振型上做功。3.小結主振型的正交性可理解為：相應于某一主振型作簡諧振動的能量不會轉移到其他振型上去，也就不會引起其他振型的振動。因此，各主振型可單獨存在而不互相干擾。可推導出【例12-29】試驗算例12-26所求得的主振型是否滿足正交關系。解：由例12-26得知質量矩陣和剛度矩陣分別為又三個主振型分別為(1)驗算第一正交性同時，有(2)驗算第二正交性同時，有經以上檢驗表明，例12-26所求得的主振型是滿足第一、第二正交關系的，其計算是正確無誤的。12.8多自由度體系在簡諧荷載作用下的強迫振動(無阻尼)12.8.1剛度法1.運動方程的建立以質點為隔離體，其振動方程為2.運動方程的求解簡諧荷載，即(1)設特解形式(2)求位移幅值代入得由此可解得質點位移的幅值。位移幅值Yi為正號，表示與FPi(t)同方向達到最大值，負號表示與FPi