8.6.1直線與直線垂直不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線。異面直線的定義:相交直線：有一個公共點

平行直線：無公共點異面直線：無公共點空間兩直線的位置關系基本事實４：在空間平行于同一條直線的兩條直線互相平行．空間中，如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．等角定理：復習引入異面直線的畫法αbaαβba注意：作圖時，需要一個或二個平面襯托異面直線所成的角

在平面內,兩條直線相交成四個角,其中不大于90度的角稱為它們的夾角,用以刻畫兩直線的錯開程度,如圖.在空間,如圖所示,正方體ABCD－EFGH中,異面直線AB與HF的錯開程度可以怎樣來刻畫呢?ABGFHEDCO問題提出復習引入abb′a′O思想方法:平移轉化成相交直線所成的角,即化空間圖形問題為平面圖形問題思考:

這個角的大小與O點的位置有關嗎?即O點位置不同時,這一角的大小是否改變?異面直線所成的角的范圍(0,90]oo如果兩條異面直線a,b所成的角為直角，我們就稱這兩條直線互相垂直,記為a⊥b注2a

″學習新知異面直線所成角的定義:

如圖,已知兩條異面直線a,b,經過空間任一點O作直線

則把

與

所成的銳角(或直角)叫做異面直線所成的角(或夾角).思考:

這個角的大小與O點的位置有關嗎?即O點位置不同時,這一角的大小是否改變?∵a′∥a,a″∥a∴a′∥

a″

(基本事實4),解答：

如圖設a′與b′相交所成的角為∠1,a

″與b

所成的角為∠2,同理b′∥b″,∴∠1=∠2

(等角定理)b′a′O∠1aa″b∠2

答:這個角的大小與O點的位置無關.學習新知（1）異面直線所成角的大小只和兩條異面直線的位置有關，而和點O的位置無關（2）異面直線所成的角的范圍是：（0°＜θ≤90°）（3）如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條直線互相垂直，兩條互相垂直的異面直線a，b，記作a⊥b這個很重要哦說明空間的垂直有相交垂直和異面垂直，區別在于一個是相交，一個是異面.學習新知求異面直線所成的角的步驟是:

一作(找)：作（或找）平行線二證：證明所作的角為所求的異面直線所成的角。三計算：在一恰當的三角形中求出角學習新知ABGFHEDC

如圖,正方體ABCD-EFGH中,O為側面ADHE的中心求(1)BE與CG所成的角？(2)FO與BD所成的角？

解:

(1)如圖:∵BF∥CG，∴∠EBF(或其補角)為異面直線BE與CG所成的角，又

BEF中∠EBF=45°，所以BE與CG所成的角是45°O連接HA、AF，依題意知O為AH中點,∴∠HFO=30o(2)連接FH，所以FO與BD所成的夾角是30o∴四邊形BFHD為平行四邊形，∴HF∥BD∴∠HFO(或其補角)為異面直線FO與BD所成的角∵HDEA，EAFB∴HDFB∥=∥=∥=則AH=HF=FA∴△AFH為等邊△典型例題例1、如圖，已知正方體ABCD－A'B'C'D'

中。（1）哪些棱所在的直線與直線AA'

垂直？（2）直線BA'

和CC'

所成的角是多少？（3）直線BA'

和AC

所成的角是多少？例題選講解:(1)棱AB,BC,CD,DA,A'B',B'C',C'D',D'A',所在直線分別與直線AA'

垂直（2）由

可知，

（或其補角）是異面直線

與所成的角,所以異面直線與所成的角為450。

例1、如圖，已知正方體ABCD－A'B'C'D'

中。（1）哪些棱所在的直線與直線AA'

垂直？（2）直線BA'

和CC'

所成的角是多少？（3）直線BA'

和AC

所成的角是多少？例題選講

在求作異面直線所成的角時,O點常選在其中的一條直線上

(如線段的端點,線段的中點等)注3學習新知

如圖,已知長方體ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解答：(1)∵GF∥BC∴∠EGF（或其補角）為所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG（或其補角）為所求,Rt△BFG中，求得∠FBG=60oABGFHEDC2鞏固練習例2如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點,求異面直線DB1與EF所成角的大小.分析先作出角,再證明角的兩邊分別與兩異面直線平行,最后在三角形中求角.法一如圖,連接A1C1,B1D1,并設它們相交于點O,取DD1的中點G,連接OG,則OG∥B1D,EF∥A1C1.∴∠GOA1(或其補角)為異面直線DB1與EF所成的角.∵GA1=GC1,O為A1C1的中點,∴GO⊥A1C1.∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.OG例題選講例2如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點,求異面直線DB1與EF所成角的大小.例題選講H1.作出角;2;證明角(或其補角);3.求角.法二如圖,連接A1D,取A1D的中點H,連接HE,則HE∥DB1,且HE=DB1.于是∠HEF(或其補角)為異面直線DB1與EF所成的角.∴HF2=EF2+HE2,∴∠HEF=90°,∴異面直線DB1與EF所成的角為90°.例2如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是A1B1,B1C1的中點,求異面直線DB1與EF所成角的大小.例題選講法三如圖,在原正方體的右側補上一個全等的正方體,連接B1Q,則B1Q∥EF.于是∠DB1Q（或其補角）為異面直線DB1與EF所成的角.通過計算,不難得到:B1D2+B1Q2=DQ2,從而異面直線DB1與EF所成的角為90°.求兩條異面直線所成的角是立體幾何中的重要題型之一,而求它的常用方法是空間問題平面化.(1)具體地,求兩條異面直線所成角的一般步驟是:①構造:恰當地選擇一個點(線段的端點或中點),用平移法構造異面直線所成的角;②證明:證明①中所作出的角或其補角就是所求異面直線所成的角;③計算:通過解三角形等知識,求出①中所構造的角的大小;④結論:假如所構造的角的大小為α,若0°<α≤90°,則α即為所求異面直線所成角的大小;若90°<α<180°,則180°-α即為所求.總結方法(2)作出異面直線所成的角,可通過多種方法平移產生,主要有三種方法:①直接平移法(可利用圖中已有的平行線);②中位線平移法;③補形平移法(在已知圖形中,補作一個相同的幾何體,以便找到平行線).【例3】空間四邊形ABCD中，AB=CD且AB與CD所成的角為50°，E，F分別是BC，AD的中點，則EF與AB所成角的大小為________.

分析：先構造出已知兩條異面直線所成角,尋求要求的角與已知角的關系.【解】取BD中點G,連接EG,FG,則由三角形中位線定理得EG∥CD，EG=CD，FG∥AB，FG=AB，所以EG=FG，EF與AB所成角為∠EFG，因為AB與CD所成的角為50°，所以∠EGF=50°或∠EGF=130°，所以EF與AB所成角的大小為25°或65°.典型例題練.(2019·南京高一檢測)在空間四邊形ABCD中，AD=2，BC=2，E，F分別是AB，CD的中點，EF=，則異面直線AD與BC所成角的大小為 (

)A.150°B.60°C.120°D.30°取AC的中點M，連接EM，FM.M則EM∥BC，FM∥AD，EM=FM=1，所以∠EMF或其補角即為異面直線AD與BC所成角.在△MEF中，cos∠EMF=所以∠EMF=150°.所以異面直線AD與BC所成角的大小為30°.鞏固練習D分析：要證明AO1⊥BD，應先構造直線AO1與BD所成的角，若能證明這個角是直角，即得AO1⊥BD.【證明】如圖，連接B1D1.∵ABCD－A1B1C1D1是正方體，∴BB1//DD1,BB1=DD1.∴四邊形BB1D1D是平行四邊形．∴B1D1∥BD.∴直線AO1與B1D1所成的角即為直線AO1與BD所成的角．典型例題F鞏固練習鞏固練習90度當已知條件中含有異面直線所成角時，應先作出該角，才能應用此條件，但要注意作出的角不一定是已知異面直線所成角，也可能是已知角的補角，應分情況討論.典型例題

【練】(2019·白城高一檢測)在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側面都是矩形，底面四邊形ABCD是菱形，且AB=BC=2，∠ABC=120°，若異面直線A1B和AD1所成的角是90°，則AA1的長度是________.

鞏固練習課堂小結1、異面直線所成角的定義:如圖,已知兩條異面直線a,b,經過空間任一點O作直線a′∥